Approfondissement sur les suites numériques/Définitions

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Leçon : Approfondissement sur les suites numériques

Chapitre 8
Chap. préc. :	Suites récurrentes d'ordre quelconque
Chap. suiv. :	Plan d'étude, représentation

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Approfondissement sur les suites numériques/Définitions », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Nous introduisons dans ce chapitre les notions générales qui seront utiles dans le reste de la leçon.

[modifier] Suite récurrente

Définition

On appelle suite récurrente d'ordre un un ensemble d'objets ordonnés, noté :

$\left( u_n \right)_{n \in I}, \; I \subset \N$

vérifiant pour tout n dans I une relation (dite relation de récurrence) de la forme :

$u_{n+1} = f \left( u_n \right)$

où ƒ est une fonction donnée. Dans toute la suite, nous considèreront le cas $I = \N$ pour pouvoir étudier la limite de telles suites en $+\infty$ .

On peut définir une telle suite de différentes manières, qui ne sont pas nécessairement aussi explicites.

Une des raisons pour lesquelles nous nous limitons aux relations de récurrence du premier ordre est qu'il n'existe pas de méthode générale pour étudier les suites vérifiant des relations d'ordre supérieur.

Dans l'absolu, une suite peut concerner tout objet mathématique abstrait (des matrices, des fonctions...). Nous nous limiterons ici à l'étude de suites de nombres, réels ou complexes.

Suites réelles ou complexes

On appelle suite réelle une suite de nombre réels, suite complexe une suite de nombres complexes. L'ensemble des suites réelles est noté :

$\mathbb R^{\N}$

et l'ensemble des suites complexes est noté :

$\mathbb C^{\N}$

Ces deux cas étant similaires, nous noterons de manière générique $\mathbb K = \R \, \mathrm{ou}\, \mathbb C$ . L'étude d'une suite complexe se fait en séparant partie réelle et partie imaginaire, qui constituent chacune une suite réelle.

[modifier] Convergence, divergence, limite

Suite convergente

Nous devons préciser la notion de convergence d'une suite. On dit qu'une suite (u_n) est convergente lorsqu'il existe $l \in \mathbb K$ tel que :

$\forall \varepsilon > 0, \; \exists N \in \N, \; \forall n \in \N,\qquad \left( n \geq N \right) \Rightarrow \left| u_n - l \right| \leq \varepsilon.$

Lorsqu'une suite (u_n) est convergente, on appelle limite de la suite la quantité :

$\lim_{n\to\infty} u_n$

Attention: on dit qu'une suite est divergente quand elle n'est pas convergente. Ainsi, la suite Un = n dont la limite en plus l'infini est plus l'infini diverge, mais la suite Un = sin n qui n'a pas de limite en plus l'infini diverge également!

[modifier] Point fixe

Point fixe d'une fonction

Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle I. On appelle point fixe de ƒ tout élément x de I vérifiant :

$f \left(x \right) = x \,$

[modifier] Intervalle, intervalle stable

Intervalle

Soit a et b deux éléments e $\R \cup \{-\infty; \, +\infty\}$ .

On appelle intervalle [a, b] l'ensemble des réels compris entre a et b.
On appelle intervalle ]a, b] l'ensemble des réels compris entre a et b, a exclus.
On appelle intervalle [a, b[ l'ensemble des réels compris entre a et b, b exclus.
On appelle intervalle ]a, b[ l'ensemble des réels compris entre a et b, a et b exclus.

Toute intersection d'intervalles est un intervalle. Une union d'intervalles est un intervalle si et seulement si cette union est connexe (s'il n'y a pas de trou). L'ensemble vide est un intervalle. Un intervalle peut être réduit à un point, lorsque a = b.

Intervalle stable

Soient un intervalle A et une fonction ƒ. On dit que A est un intervalle stable par ƒ lorsque :

$f\left( A \right) \subset A$

Si $\R$ est bien un intervalle, $\R^{*}$ , n'est pas un intervalle. De même, $\left[1, 2\right] \cup \left[3, 4\right]$ n'est pas un intervalle (il y a un «trou » entre 2 et 3). Ce sont des ensembles, pas des intervalles.

[modifier] Continuité, fonction lipschitzienne

Fonction continue

On dit qu'une fonction ƒ définie sur un intervalle I est continue lorsqu'elle vérifie :

$\forall \varepsilon > 0, \, \exists \eta > 0, \forall \left( x, y \right) \in I^2, \quad \left|x - y\right| \leq \eta \Rightarrow \left| f\left(x\right) - f\left(y\right) \right| \leq \varepsilon.$

Fonction lipschitzienne

On dit qu'une fonction ƒ définie sur un intervalle I est k-lipschitzienne lorsqu'il existe un réel k tel que :

$\forall \left(x, y \right) \in I^2, \qquad \left| f\left(x\right) - f\left(y\right) \right| \leq k \left|x - y \right|.$

On dit qu'une fonction est lipschitzienne lorsqu'elle est k-lipschitzienne. En particulier, le nombre k n'est pas unique — par convention, on essaye de choisir pour k le plus petit réel possible.

Il est facile de vérifier que toute fonction lipschitzienne est continue. Pour une fonction de classe C¹, on a :

$k = \sup_{x \in I} \left| f'(x) \right|$

d'après l'inégalité des accroissements finis.

Approfondissement sur les suites numériques

Suites récurrentes d'ordre quelconque

Plan d'étude, représentation

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Sommaire

[modifier] Suite récurrente

[modifier] Convergence, divergence, limite

[modifier] Point fixe

[modifier] Intervalle, intervalle stable

[modifier] Continuité, fonction lipschitzienne

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