Application multilinéaire/Formes n-linéaires
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| Chapitre 2 | |||
| Leçon : Application multilinéaire | |||
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| Chap. préc. : | Définitions | ||
| Chap. suiv. : | Applications bilinéaires | ||
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Théorème fondamental |
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Soit E un L'espace vectoriel des formes n-linéaires alternées sur E est une droite vectorielle. |
-espace vectoriel de dimension finie.|
Démonstration (en travaux) |
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On montre que f₀ est n-linéaire alternée non nulle |
![\begin{align}
f((x_i)_{1\leq i\leq n})&=\sum_{i_1=1}^na_{i_11} f(e_{i_1},x_2,\cdots,x_n)\\
&=\sum_{(i_u)_{1\leq u\leq n}\in[1..n]^n}\left(\left(\prod_{u=1}^n a_{i_u,u}\right)f((e_{i_u})_{1\leq u\leq n})\right)\\
&=\sum_{\sigma\in\mathfrak S_n}\left(\left(\prod_{i=1}^n a_{\sigma(i),i}\right)f((e_{\sigma(i)})_{1\leq i\leq n})\right)\\
&=\left(\sum_{\sigma\in\mathfrak S_n}\epsilon(\sigma)\left(\prod_{i=1}^n a_{\sigma(i),i}\right)\right)(f(e_i))_{1\leq i\leq n})\\
&=f_0((x_i)_{1\leq i\leq n})(f(e_i))_{1\leq i\leq n})\\
\end{align}](http://upload.wikimedia.org/math/1/8/3/1832b28c47320ba409d0b81692940eea.png)
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Définition |
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On pose |
![\det_e\left((x_i)_{1\leq i\leq n}\right)=\sum_{\sigma\in\mathfrak S_n} \left[\epsilon(\sigma)\prod_{i=1}^na_{\sigma(i),i}\right]](http://upload.wikimedia.org/math/3/7/d/37d294ccb5ab4c66055bbe3bf9b6f60b.png)
, appelé déterminant de la famille x dans la base e.
