Analyse vectorielle/Analyse vectorielle complexe

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Introduction

Dans certains cas, on est amené à considérer des champs sous la forme de solutions harmoniques, qui sont commodes en notation complexe. En effet, toute fonction « suffisamment régulière » peut être décomposée en somme de telles solutions, d’après le théorème de Fourier. Les outils d'analyse vectorielle s'adaptent à cette description.

Pour l'exemple, nous traiterons ici le cas très général du champ électrique ${\overrightarrow {E}}$.

Notations et rappels

Nous allons introduire les notations que nous utiliserons dans ce chapitre, à des fins simplificatrices. On suppose que le champ électrique est de la forme :

${\overrightarrow {E}}={\begin{pmatrix}E_{0,x}\cos(\omega t-k_{x}x+\phi _{x})\\E_{0,y}\cos(\omega t-k_{y}y+\phi _{y})\\E_{0,z}\cos(\omega t-k_{z}z+\phi _{z})\end{pmatrix}}$

Avec E_i des amplitudes de champs, ω la pulsation de l'onde, ${\overrightarrow {k}}=(k_{x},k_{y},k_{z})$ le vecteur d'onde (dont la norme est le nombre d'onde k) et Φ_i des éventuels déphasages. On rappelle que k est défini par k² = ω²/c².

On introduit la notation complexe :

${\mathcal {E}}={\begin{pmatrix}E_{0,x}e^{i(\omega t-k_{x}x+\phi _{x})}\\E_{0,y}e^{i(\omega t-k_{y}y+\phi _{y})}\\E_{0,z}e^{i(\omega t-k_{z}z+\phi _{z})}\end{pmatrix}}$

De sorte que le champ électrique véritable est la partie réelle de ce « vecteur complexe » :

${\overrightarrow {E}}=\Re ({\mathcal {E}})$

On peut réécrire :

${\mathcal {E}}={\begin{pmatrix}E_{0,x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0,y}e^{i\phi _{y}}\\E_{0,z}e^{i\phi _{z}}\end{pmatrix}}e^{i(\omega t-{\overrightarrow {k}}\cdot {\overrightarrow {r}})}={\mathcal {E}}_{0}e^{i(\omega t-{\overrightarrow {k}}\cdot {\overrightarrow {r}})}$

Il est important à ce stade de noter que la quantité ${\mathcal {E}}_{0}$ n’est pas élémentaire : il s'agit d'un vecteur dont les coordonnées sont des nombres complexes.

Par ailleurs, la dérivation temporelle se fait en multipliant le vecteur par la quantité $i\omega$.

Outils d'analyse vectorielle

On admet ici que le vecteur formel nabla prend dans l'espace de Fourier la forme suivante :

$\nabla =-i{\overrightarrow {k}}$

On retrouve ainsi les expressions des opérateurs vectoriels :

• Divergence : $\mathrm {div} {\overrightarrow {A}}=-i{\overrightarrow {k}}\cdot {\overrightarrow {A}}$
• Rotationnel : ${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}{\vec {A}}=-i{\overrightarrow {k}}\wedge {\vec {A}}$
• Laplacien : $\Delta {\vec {A}}=-||k||^{2}{\vec {A}}$

Exemples

Exemple simple (relation de structure)

Commençons par un exemple simple. Supposons que le champ se propage selon la seule direction x dans le vide, alors d’après l'équation de Maxwell-Gauss :

$\mathrm {div} \,{\overrightarrow {E}}=0$.

Avec ce qui précède, la divergence du champ électrique est la partie réelle de :

${\begin{aligned}-ik{\overrightarrow {e}}_{x}\cdot {\mathcal {E}}_{0}e^{i(\omega t-k{\overrightarrow {r}}\cdot {\overrightarrow {e}}_{x})}&=-ike^{i(\omega t-kx)}\left({\overrightarrow {e}}_{x}\cdot {\mathcal {E}}_{0}\right)\end{aligned}}$.

Ainsi, on a :

$\Re \left({\overrightarrow {e}}_{x}\cdot {\mathcal {E}}\right)={\overrightarrow {e}}_{x}\cdot {\overrightarrow {E}}=0$.

C'est-à-dire qu’à tout instant, le champ électrique est orthogonal à sa direction de propagation (cela est évident du point de vue des invariances, mais il est toujours bon de le vérifier).

Exemple moins simple (nombre d'onde)

Intéressons-nous plutôt à l'équation de propagation du champ électrique. En effet, on sait que, dans le vide :

$\Delta {\overrightarrow {E}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\overrightarrow {E}}}{\partial t^{2}}}=0$.

Réécrivons cela à la lumière des outils développés dans ce chapitre :

${\frac {\partial ^{2}{\overrightarrow {E}}}{\partial t^{2}}}=\Re \left(-\omega ^{2}{\mathcal {E}}\right)$ ;

$\Delta {\overrightarrow {E}}=\Re \left(-k^{2}{\mathcal {E}}\right)$.

On a ainsi :

${\begin{aligned}-k^{2}{\mathcal {E}}+{\frac {1}{c^{2}}}\omega ^{2}{\mathcal {E}}&=&0\\-k^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}&=&0\\k^{2}&=&{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\end{aligned}}$.

On retrouve la définition de $k=\|{\overrightarrow {k}}\|$, ce qui est rassurant.