Étude de fonctions/Fonction dérivée

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**Fonction dérivée**
Leçon : Étude de fonctions

Chapitre 6
Chap. préc. :	Dérivation
Chap. suiv. :	Étude de fonctions

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Étude de fonctions/Fonction dérivée », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Définition
2 Écriture différentielle
3 Dérivées successives
4 Opérations et dérivées
- 4.1 Démonstration
5 Composée (théorème)
- 5.1 Démonstration
- 5.2 Corollaire
6 Sens de variation (théorème)
- 6.1 Extremum local (théorème)
7 Tableau des dérivés

[modifier] Définition

On dit qu'une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ si et seulement si elle admet un nombre dérivé en tout nombre réel de $I$ . La fonction qui à tout nombre réel $x$ de $I$ associe le nombre dérivé $f^{\prime}(x)$ est appelée fonction dérivée de $f$ et est noté $f^{\prime}$ .

[modifier] Écriture différentielle

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $f^{\prime}$ sa fonction dérivée.

$\forall x \in I$ , $f(x+h) = f(x)+h \times f^{\prime}(x)+h \times \phi(h)$ avec $\lim_{0}\phi = 0$

Posons $\Delta x = (x+h)-x = h\,$ et $\Delta y = f(x+h) - f(x)\,$ On a donc :

$\Delta y = h \times f^{\prime}(x)+h \times \phi(h)$

$\Rightarrow \Delta y = \Delta x \times f^{\prime}(x) + \Delta x \times \phi(h)$

$\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} = f^{\prime}(x) + \phi(h)$

de plus $\lim_{0}\phi = 0$ donc lorsque $Δ x$ devient infinitésimal, on écrit : $f^{\prime}(x) \approx \frac{\Delta y}{\Delta x}$ on note aussi : $\frac{dy}{dx}$

[modifier] Dérivées successives

Définition : Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ . Si sa fonction dérivée $f^{\prime}$ est dérivable sur cet intervalle $I$ alors elle admet une fonction dérivée sur $I$ appelée dérivée seconde de $f$ et notée $f^{\prime \prime}$ .

On dit alors que $f$ est deux fois dérivable sur $I$ . On peut ainsi définir les fonctions dérivées successives de $f$ sur $I$ si elles existent. On note $f (3)$ la fonction dérivée troisième de $f$ sur $I$ . Pour tout entier $n$ on note $f (n)$ la dérivée $n$ -ième avec $f^{(1)} = f^{\prime}$ et $f^{(0)} = f\,$ .

Avec la notation différentielle on écrit $f^{\prime} = \frac{df}{dx}$ $f^{\prime\prime} = \frac{d^2f}{dx^2}$ ... $f^{(n)} = \frac{d^nf}{dx^n}$

[modifier] Opérations et dérivées

Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$

Opération	Dérivée
Somme	$(u + v)^{\prime} = u^{\prime} + v^{\prime}$
Produit	$(u \times v)^{\prime} = u^{\prime} \times v + v^{\prime} \times u$
Produit par un réel	$(k \times u)^{\prime} = k \times u^{\prime}$
Carré d'une fonction	$\left(u^2\right)^{\prime} = 2u^{\prime}u$
Cube d'une fonction	$\left(u^3\right)^{\prime} = 3u^{\prime}u^2$
Inverse $u(x) \ne 0$ $\forall x \in I$	$\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime} = \frac{-u^{\prime}}{u^2}$
Quotient $v(x) \ne 0$ $\forall x \in I$	$\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime} = \frac{u^{\prime}v - v^{\prime}u}{v^2}$

Remarque : Les fonctions polynômes et rationnelles sont dérivables sur tout intervalle de $\R$ où elles sont définies

[modifier] Démonstration

Soit deux fonctions définies et dérivables sur $\R$ .

[modifier] Composée (théorème)

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $g$ une fonction dérivable sur un intervalle $J$ tel que $f(I) \subset J$ . Alors $g \circ f$ est dérivable sur $I$ et on a $(g \circ f)^{\prime} = f^{\prime} \times (g^{\prime} \circ f)$

[modifier] Démonstration

$\frac{\left(g \circ f\right)(a + h) - \left(g \circ f\right)(a)}{h} = \frac{g\left[f(a + h)\right] - g\left[f(a)\right]}{h} = T(h)$

$\approx \frac{g\left[f(a) + hf^{\prime}(a) + h\phi(h)\right] - g\left[f(a)\right)]}{h} \times \frac{f^{\prime}(a)}{f^{\prime}(a)}$

$\approx \frac{g\left[f(a) + hf^{\prime}(a)\right] - g\left[f(a)\right]}{hf^{\prime}(a)} \times f^{\prime}(a)$

or $\lim_{h \to 0}\frac{g(a + h) - g(a)}{h} = g^{\prime}(a)$

donc $\lim_{h \to 0}T(h) = g^{\prime}[f(a)] \times f^{\prime}(a)$

donc $(g \circ f)^{\prime} = g^{\prime}[f(a)] \times f^{\prime}(a)$

[modifier] Corollaire

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ . Pour tout entier naturel $n$ $n \ge 2$ $(u^n)^{\prime} = nu^{\prime}u^{n-1}$ .

Si $u$ est strictement positive sur $I$ $(\sqrt{u})^{\prime} = \frac{u^{\prime}}{2\sqrt{u}}$

[modifier] Sens de variation (théorème)

Soit une fonction $f$ définie et dérivable sur un intervalle $I$ .

Si pour tout $x \in I$ on a $f^{\prime}(x) \ge 0$ alors $f$ est croissante sur $I$ .

Si pour tout $x \in I$ on a $f^{\prime}(x) \le 0$ alors $f$ est décroissante sur $I$ .

Si pour tout $x \in I$ on a $f^{\prime}(x) > 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$ .

Si pour tout $x \in I$ on a $f^{\prime}(x) < 0$ alors $f$ est strictement décroissante sur $I$ .

[modifier] Extremum local (théorème)

Soit une fonction $f$ définie et dérivable sur un intervalle $I$ de $\R$ et $x 0$ un nombre de $I$ . Si $f$ admet un extremum local en $x 0$ alors $f^{\prime}(x_0) = 0$ .

[modifier] Tableau des dérivés

	$(ax + b)^{\prime} = a$
	$(u + v)^{\prime} = u^{\prime} + v^{\prime}$
	$(uv)^{\prime} = u^{\prime}v + v^{\prime}u$
	$(e^u)^{\prime} = u^{\prime}e^u$
	$(u \circ v)^{\prime} = (u^{\prime} \circ v) \times v^{\prime}$
$u > 0$	$(\ln u)^{\prime} = \frac{u^{\prime}}{u}$
Soit $n>1\,$ Soit $u \ne 0\,$ et $n \in \Z$ Soit $u>0\,$ et $n \in \mathbb{Q}$	$\left(u^n\right)^{\prime} = nu^{\prime}u^{n-1}$
$\forall \frac{-\pi}{2} < x + k\pi < \frac{\pi}{2}$ avec $k \in \Z$	$(\tan x)^{\prime} = 1 + \tan^2x = \frac{1}{\cos^2x}$
	$(\cos x)^{\prime} = - \sin x$
	$(\sin x)^{\prime} = \cos x$