Transformée de Laplace en physique/Qu'appelle-t-on transformée de Laplace ?

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Soit E une équation différentielle ordinaire que nous voulons résoudre, la variable dépendante étant $y=f(t)$, et formons l'intégrale suivante :

$F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\ dt$

On appelle transformée de Laplace de f la fonction $F(s)$ .

Cette fonction $F(s)$ est souvent notée ${\mathfrak {L}}(f)$ où le caractère ${\mathfrak {L}}$ dénote l'opérateur de Laplace.

La transformée de Laplace inverse sera par ailleurs dénotée ${\mathfrak {L}}^{-1}$ et vaut : ${\mathfrak {L}}^{-1}(F)=f(t)$.

Existence de la transformée de Laplace

L'existence de la transformée de Laplace est conditionnée par la convergence de l'intégrale $\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\ dt$. Pourquoi ? Nous évitons la divergence de celle-ci d'une part si $f$ est continue par morçeau sur $[0,+\infty ]$ et d'autre part s'il existe une quantité M telle que $\mid f(t)\mid <Me^{bt}$.

Exercice : montrer que si une telle fonction existe alors sa transformée de Laplace est bornée par le quotient ${\frac {M}{s-b}}$. Conclusion ?

Ainsi, on admettra malgré cette restriction que dans la plupart des systèmes physiques étudiés la transformée de Laplace existe. Mais souvenons nous que notre problème ne s'arrête pas là. Qu'en est-il de la transformée de Laplace inverse ?

Pour répondre à cette question, montrons que cette restriction sur $f$ et donc l'existence de la transformée de Laplace ne permet pas toujours de garantir un retour à la fonction f. En effet, le produit $sF(s)$ est borné lorsque $s$ tend vers l'infini. Il s'en suit naturellement que $\lim _{s\rightarrow \infty }F(s)=0$. Autrement dit, une fonction telle que $F(s)=1$ ne convient pas.

Dans la suite de ce cours nous supposerons donc que notre fonction $f(t)$ satisfait aux deux conditions :

• f est continue par morceau $[0,+\infty ]$,
• $\mid f(t)\mid <Me^{bt}$.

Trois propriétés de la transformée de Laplace en exercice

• La transformée de Laplace d'une fonction f est un opérateur linéaire. Preuve ?
• Montrer que ${\mathfrak {L}}[e^{at}f(t)]=F(s-a)$ . Cette propriété est appelée translation en s.
• Montrer que si la transformée de Laplace d'une fonction f existe et est telle que ${\mathfrak {L}}[f]=F(s)$, et si de plus $g(t)={\begin{cases}f(t-a),&{\mbox{si }}t>a\\0,&{\mbox{si }}t<a\\\end{cases}}$, alors la transformée de Laplace de g est ${\mathfrak {L}}[g]=e^{-at}F(s)$. Cette propriété est appelée translation en t.

Exemples pratiques de calcul de la transformée de Laplace

Avec l'aide de ces trois propriétés, nous allons procéder au calcul des transformées de Laplace de fonctions classiques.

• Soit la fonction échelon unité de Heaviside $u_{0}(t)={\begin{cases}1,&{\mbox{si }}t>0\\0,&{\mbox{si }}t<0\\\end{cases}}$

Utilisant la définition de la transformée de Laplace, nous trouvons évidemment : ${\mathfrak {L}}[u_{0}]=\int _{0}^{\infty }u_{0}(t)e^{-st}\ dt=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\ dt={\frac {1}{s}}$

Exercice : montrer que ${\mathfrak {L}}[1]={\frac {1}{s}}$.

• Soit la fonction exponentielle $f(t)=e^{at}$ et employons la propriété de translation en s :

${\mathfrak {L}}[e^{at}]=F(s-a)$ montre que $F(s)={\frac {1}{s}}$. Or par simple substitution de s par $s-a$, on en conclut que ${\mathfrak {L}}[e^{at}]={\frac {1}{s-a}}$

Exercice : en utilisant la propriété de translation dans le temps, montrer que la fonction échelon unité $u_{a}(t)={\begin{cases}1,&{\mbox{si }}t>a\\0,&{\mbox{si }}t<a\\\end{cases}}$ a pour transformée de Laplace ${\mathfrak {L}}[u_{a}]={\frac {1}{s}}e^{-as}$

• Soient f et g les fonctions telles que $f(t)=\sin {\omega t}$ et $g(t)=\cos {\omega t}$ .

Nous allons employer la relation d'Euler $e^{i\theta }=\cos {\theta }+i\sin {\theta }$, ainsi que les propriétés de translation en s et de linéarité de la transformée de Laplace pour calculer ${\mathfrak {L}}[\sin {\omega t}]$ et ${\mathfrak {L}}[\cos {\omega t}]$.

Par translation en s, il vient : ${\mathfrak {L}}[e^{i\omega t}]={\frac {1}{s-i\omega }}={\frac {1}{s-i\omega }}{\frac {s+i\omega }{s+i\omega }}={\frac {s+i\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}={\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}+i{\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}$.

Par linéarité de la transformée de Laplace, nous avons : ${\mathfrak {L}}[e^{i\omega t}]={\mathfrak {L}}[\cos {\omega t}+i\sin {\omega t}]={\mathfrak {L}}[\cos {\omega t}]+{\mathfrak {L}}[\sin {\omega t}]$.

Enfin en identifiant les parties réelle et imaginaires de deux précédents résultats, nous obtenons : ${\mathfrak {L}}[\sin {\omega t}]={\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}$ et ${\mathfrak {L}}[\cos {\omega t}]={\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}$.

Notez que ces deux résultats peuvent aussi être obtenus en utilisant directement la définition de la transformée de Laplace et en intégrant deux fois par parties.

• Soit f le monôme défini par $f(t)=t^{k}$.

La transformée de Laplace de $t^{k}$ est donnée par ${\mathfrak {L}}[t^{k}]=\int _{0}^{\infty }t^{k}e^{-st}\ dt$.

Pour intégrer cela, faisons la substitution suivante : $u=st$ et $dt={\frac {du}{s}}$ :

${\mathfrak {L}}[t^{k}]=\int _{0}^{\infty }t^{k}e^{-st}\ dt={\frac {1}{s^{k+1}}}\int _{0}^{\infty }u^{k}e^{-u}\ du={\frac {1}{s^{k+1}}}\Gamma (k+1)$, où $\Gamma$ est la fonction Gamma.

Comme k est un entier, nous avons la propriété suivante : $\Gamma (k+1)=k!$, et donc nous obtenons :

${\mathfrak {L}}[t^{k}]={\frac {k!}{s^{k+1}}}$

• Soit f la fonction cosinus hyperbolique $f(t)=\cosh {\omega t}$ et employons la propriété de linéarité pour calculer la transformée de Laplace :

On a par définition : $\cosh {\omega t}={\frac {1}{2}}(e^{\omega t}+e^{-\omega t})$.

La transformée de Laplace est alors : ${\mathfrak {L}}[\cosh {\omega t}]={\mathfrak {L}}[{\frac {1}{2}}e^{\omega t}+{\frac {1}{2}}e^{-\omega t}]={\frac {1}{2}}{\mathfrak {L}}[e^{\omega t}]+{\frac {1}{2}}{\mathfrak {L}}[e^{-\omega t}]$.

Or ${\mathfrak {L}}[e^{\omega t}]={\frac {1}{s-\omega }}$ et ${\mathfrak {L}}[e^{-\omega t}]={\frac {1}{s+\omega }}$.

Ainsi, il vient que : ${\mathfrak {L}}[\cosh {\omega t}]={\frac {1}{2(s-\omega )}}+{\frac {1}{2(s+\omega )}}={\frac {s}{s^{2}-\omega ^{2}}}$.

Exercice : calculer de la même manière ${\mathfrak {L}}[\sinh {\omega t}]$.