Théorie des langages/Définitions

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Vous trouverez dans ce chapitre les notations et définitions permettant de travailler sur les langages par la suite

Notations

• La concaténation de deux caractères a et b se note $a.b$, ou par abus de notation $ab$
• La répétition d'un caractère a, n fois se note $a^{n},n\in \mathbb {N}$
• La répétition d'un caractère un nombre quelconque de fois entre 0 et $\infty$ se note $a^{*}$
• La répétition d'un caractère un nombre quelconque de fois strictement positif se note $a^{+}$
• Le mot vide (sans aucune lettre) est noté $\epsilon$ (ou parfois aussi $\Lambda$)

Début de l'exemple

Exemple

• L'expression $ab^{*}a$ peut correspondre aux mots : aa, aba, abba, ...
• L'expression $aa^{*}$ est équivalente à $a^{+}$

Fin de l'exemple

Définitions

Les mots

La structure de base d'un langage est un alphabet.

Définition

Alphabet : Ensemble $\Sigma$ fini non vide dont les éléments sont appelés lettres ou caractères

La structure supérieure à l'alphabet sont les mots, définis comme suit.

Définition : mot

L'ensemble des mots sur un alphabet $\Sigma$ est défini récursivement de la manière suivante :

• le mot vide $\epsilon$ est un mot sur $\Sigma$
• Si $a\in \Sigma$, et ω un mot sur $\Sigma$, alors $a.\omega$ est un mot sur $\Sigma$

On note $\Sigma ^{*}$ l’ensemble des mots sur $\Sigma$, et $\Sigma ^{+}$ l’ensemble des mots autres que $\epsilon$

Lorsque l’on travaille avec les mots, plusieurs choses sont à définir

Définition : longueur d'un mot

La longueur d'un mot ω est notée $|\omega |$ et est définie récursivement comme suit :

• $|\epsilon |=0|$
• si $\omega =a.\omega '$ avec $a\in \Sigma ,\omega '\in \Sigma ^{*}$, alors $|\omega |=1+|\omega '|$

La concaténation des mots

Définition : concaténation de mots

On étend la concaténation de deux caractères à des mots, définie par :

• $\epsilon .\omega =\omega$
• si $\omega '=a.u$ avec $a\in \Sigma$ et u un mot sur $\Sigma$, alors $\forall \omega \in \Sigma ^{*},\omega '.\omega =(a.u).\omega =a.(u.\omega )$

Les définitions suivantes permettent de travailler sur une partie des mots

Définition

• Préfixe : $u\in \Sigma ^{*}$ est un préfixe de $v\in \Sigma ^{*}$ si $\exists w\in \Sigma ^{*},v=u.w$
• Suffixe : $u\in \Sigma ^{*}$ est un suffixe de $v\in \Sigma ^{*}$ si $\exists w\in \Sigma ^{*},v=w.u$
• Facteur : $u\in \Sigma ^{*}$ est un facteur de $v\in \Sigma ^{*}$ si $\exists w_{1},w_{2}\in \Sigma ^{*},v=w_{1}.u.w_{2}$