Variables aléatoires sur les ensembles finis/Espérance et variance d'une variable aléatoire
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| Chapitre 2 | |||
| Leçon : Variables aléatoires sur les ensembles finis | |||
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| Chap. préc. : | Loi de probabilité d'une variable aléatoire | ||
| Chap. suiv. : | Épreuve de Bernoulli | ||
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Variables aléatoires sur les ensembles finis/Espérance et variance d'une variable aléatoire », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Sommaire |
[modifier] Notation
Pour simplifier l'exposé des formules, nous utiliserons la notation 
pour signifier la somme sur toutes les valeurs prises par une variable aléatoire (v.a).
Par exemple : 
[modifier] Espérance d'une variable aléatoire
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Définition |
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Soit X une v.a dont les valeurs sont les xi (i variant de 1 à n). Soit pi la probabilité que X prenne la valeur xi. L'espérance de X se calcule ainsi :
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L'espérance de X représente ce que X vaut en moyenne, si on recommence l'expérience un grand nombre de fois. Cette remarque est justifiée par le fait que les fréquences des xi tendront alors vers les pi et que le calcul de E(X) est alors exactement celui d'une moyenne avec fréquences (voir Initiation aux statistiques)
[modifier] Exemple
Reprenons l'exemple du lancer de deux dés, où X représente la somme des deux résultats. La loi de probabilité de X s'écrit :
| xi | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| pi | 1/36 | 2/36 | 3/36 | 4/36 | 5/36 | 6/36 | 5/36 | 4/36 | 3/36 | 2/36 | 1/36 |
On calcule alors 
.
Ce résultat signifie que si on répète cette expérience un grand nombre de fois, la somme des deux dés est en moyenne de 7.
[modifier] Variance d'une variable aléatoire
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Définition |
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Soit X une v.a dont les valeurs sont les xi (i variant de 1 à n). Soit pi la probabilité que X prenne la valeur xi. Soit E(X) l'espérance de X La variance de X se calcule ainsi :
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La variance de X représente la moyenne des carrés des écarts à l'espérance de X.
Elle mesure la tendance de X à la dispersion autour de son espérance,
de manière similaire à la variance d'une série statistique.
[modifier] Exemple
Reprenons l'exemple du lancer de deux dés, où X représente la somme des deux résultats.
On calcule alors 
.
[modifier] Formule
La formule de la variance ci-dessus est utile pour comprendre la signification de ce nombre,
mais la formule suivante est plus intéressante pour le calcul effectif :
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Théorème |
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[modifier] Exemple
Calculer la variance de X dans l'exemple de la somme des résultats du lancer de deux dés.
[modifier] Écart-type
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Définition |
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L'écart-type d'une variable aléatoire X est la racine carrée de sa variance :
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L'écart-type mesure également la tendance à la dispersion de la v.a, et ce dans les mêmes unités que celle des xi (si les xi sont des euros, σ est en euros). On pourrait alors se demander quel est l'intérêt de la variance, puisqu'elle n'est pas exprimée dans la même unité que les xi ... Une réponse à cette question est que la variance est beaucoup plus facile à manier dans les exposés théoriques grâce à l'absence de racine carrée.
