Soient X et Y deux variables aléatoires, chacune à valeurs dans un ensemble fini de nombres. Soit a {\displaystyle a} un nombre quelconque, alors :
Soit p i , j {\displaystyle p_{i,j}} la probabilité que (X, Y) prenne la valeur ( x i , y j ) {\displaystyle (x_{i},y_{j})} . Alors, la probabilité que X prenne la valeur x i {\displaystyle x_{i}} est q i = ∑ j p i , j {\displaystyle q_{i}=\sum _{j}p_{i,j}} et la probabilité que Y prenne la valeur y j {\displaystyle y_{j}} est r j = ∑ i p i , j {\displaystyle r_{j}=\sum _{i}p_{i,j}} , donc
E ( X + a Y ) = ∑ i , j p i , j ( x i + a y j ) = ∑ i , j p i , j x i + a ∑ i , j p i , j y j = ∑ i q i x i + a ∑ j r j y j = E ( X ) + a E ( Y ) {\displaystyle E(X+aY)=\sum _{i,j}p_{i,j}(x_{i}+ay_{j})=\sum _{i,j}p_{i,j}x_{i}+a\sum _{i,j}p_{i,j}y_{j}=\sum _{i}q_{i}x_{i}+a\sum _{j}r_{j}y_{j}=E(X)+aE(Y)} .
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble fini de nombres. Soit a {\displaystyle a} un nombre quelconque, alors :
V ( a X ) = E ( ( a X ) 2 ) − ( E ( a X ) ) 2 = a 2 E ( X 2 ) − a 2 ( E ( X ) ) 2 = a 2 V ( X ) {\displaystyle V(aX)=E\left((aX)^{2}\right)-\left(E(aX)\right)^{2}=a^{2}E(X^{2})-a^{2}\left(E(X)\right)^{2}=a^{2}V(X)} .