Variables aléatoires sur les ensembles finis/Épreuve de Bernoulli

**Épreuve de Bernoulli**
Leçon : Variables aléatoires sur les ensembles finis

Chapitre n^o 4
Chap. préc. :	Propriétés de l'espérance et de la variance
Chap. suiv. :	Indépendance de variables aléatoires

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Variables aléatoires sur les ensembles finis/Épreuve de Bernoulli », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Épreuve de Bernoulli[modifier | modifier le wikicode]

Définition

Une épreuve de Bernoulli de paramètre p (réel compris entre 0 et 1) est une expérience aléatoire (c'est-à-dire soumise au hasard) comportant deux issues :

le succès
l'échec

Le réel p représente la probabilité d'un succès. Le réel q = 1 - p représente la probabilité d'un échec.

Exemples[modifier | modifier le wikicode]

Le lancer d'une pièce équilibrée est une expérience de Bernoulli de paramètre 0,5. Si le « succès » est l'obtention de pile, « l'échec » sera l'obtention de face.
On tire au hasard une boule dans une urne contenant 7 boules blanches et 3 boules noires. On considère comme un succès le fait de tirer une boule noire. Cette expérience est une expérience de Bernoulli de paramètre 0,3 car la probabilité de tirer une boule noire est de 3/10.

Loi de Bernoulli[modifier | modifier le wikicode]

Définition

On peut définir une variable aléatoire X prenant la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec.

Cette variable aléatoire suit une loi de Bernoulli.

La loi de probabilité ci-dessous est la loi de Bernoulli de paramètre p :

Issue	Succès	Échec
Probabilité	p	1 – p

Espérance et variance[modifier | modifier le wikicode]

Théorème

Une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre $p$ a pour espérance $E(X)=p$ et pour variance $V(X)=pq$ .

Démonstration

$E(X)=p\times 1+q\times 0=p$ et $V(X)=p\times (1-p)^{2}+q\times (0-p)^{2}=pq(q+p)=pq$ .

Exemple

Calculer l'espérance et la variance d'une loi de Bernoulli de paramètre 1/3.

Solution

$E(X)={\frac {1}{3}}$ et $V(X)={\frac {1}{3}}\left(1-{\frac {1}{3}}\right)={\frac {2}{9}}$ .

Schéma de Bernoulli[modifier | modifier le wikicode]

Pour schématiser la succession de plusieurs expériences de Bernoulli indépendantes, on peut construire un arbre de probabilité comportant 2ⁿ rameaux finaux. Cet arbre s’appelle un schéma de Bernoulli.

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Propriétés de l'espérance et de la variance

Indépendance de variables aléatoires