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Sommaire

[modifier] DS 1 de Mathématiques, 28/09

[modifier] DS 1, Exo 1

Résoudre l'équation différentielle (E) : y''+2my'+y = \sin{x}\, dépendant du paramètre réel m > 0\,, avec les conditions initiales y(0)=y'(0)=0\,

[modifier] Solution

Il s'agit d'une équation différentielle du second ordre, linéaire, à coefficients constants. Par conséquent, la solution générale est obtenue comme somme d'une solution homogène et d'une solution particulière.

Solutions homogènes

L'équation homogène associée à (E) est :

(H) : y''+2my'+y = 0\,

Que l'on sait résoudre aisément en posant le trinôme caractéristique :

x^2+2mx+1 = 0\,

Dont le discriminant est :

\Delta = 4m^2 - 4 = 4 \left(m^2 - 1\right)

Il faut alors distinguer, selon la valeur de m, si ce discriminant est positif, négatif ou nul :

  • Δ = 0 lorsque m = 1 ou m = -1 ;
  • Δ < 0 lorsque |m| < 1 ;
  • Δ > 0 lorsque |m| > 1 ;

Selon le cas, nous aurons une solution pseudo-périodique, amortie ou critique. Solution particulière

Pour trouver une solution particulière, on utilise la méthode de « variation de la constante ».

[modifier] DS 1, Exo 2

On considère le système linéaire (S) : \begin{cases} mx+y+2z=a \\ 2x+my+z=b \\ x+2y+mz=c \end{cases}

dépendant des paramètres réels m,a,b,c\,
  1. Donner une expression factorisée du déterminant de (S)\, .
  2. Discuter et résoudre le système (S)\, .


[modifier] Solution

Le déterminant du système est :

m \left( mm - 2\right) - 2 \left(m - 4\right) + \left(1 - 2m\right)
= m^3 - 2m - 2m + 8 + 1- 2m \,
= m^3 - 8m + 9 \,

On vérifie aisément que ce trinôme n'admet qu'une racine (environ -3,27), qu'il est strictement négatif avant et strictement positif après. Si on considère uniquement les cas où ce déterminant est non-nul, alors le système admet une unique solution, donnée par la méthode de Cramer.

[modifier] DS 1, Exo 3

  1. Représenter géométriquement l'ensemble des nombres complexes \{ z=1+e^{i\theta}\, /\, \theta\in [0,2\pi[ \}
  2. Donner, suivante les valeurs de \theta\in [0,2\pi[\,, le module et l'argument de 1+e^{i\theta}\, .
  3. Résoudre dans \mathbb{C} l'équation Z^5=(1+e^{i\theta})^5\, .

[modifier] Solution

1. Il s'agit du cercle de centre (1, 0) et de rayon 1 ;

2. On développe le complexe en question sous forme algébrique :

1 + eiθ = 1 + cosθ + isinθ

Son argument φ est solution de :

\tan \theta = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}

On peut prendre l'arctangente pour l'obtenir, modulo un arc de cercle.

Son module est \left|m\right| = \sqrt{\left(1 + \cos \theta\right)^2 + \sin^2 \theta}

3. Z^5 est solution si et seulement si son module et son argument égalent ceux de la partie de droite. On a ainsi :

Z = \sqrt[5]{\left|m\right|} e^{i \phi/5}

[modifier] DS 1, Exo 4

On trouve, dans les livres d'optique, que la luminance énergétique spectrale d'un corps noir est une fonction f_T\, de la longueur d'onde, dépendant de la température absolue, donnée par :

f_T(\lambda) = \frac{a\lambda^{-5}}{\exp\left (\frac{b}{\lambda T}\right )-1}
où a et b sont constantes > 0, T > 0 est la température en kelvin et λ > 0 la longueur d'onde.
  1. Montrer que f_T\, peut être prolongée en 0 en une continue sur \mathbb{R}_+ . La fonction prolongée est-elle dérivable en 0 ?
  2. Donner la limite de f_T\, quand \lambda \rightarrow +\infty\, .
  3. Étudier la position relative des courbes des f_T\, .
  4. Étudier les variations de la fonction g donnée par g(x)=xe^x-5e^x+5\, .
  5. Montrer que l'équation g(x)=0\, admet une unique solution α dans \mathbb{R}_+^* .
  6. Exprimer la dérivée de f_T\, au moyen de la fonction g.
  7. Donner les variations de f_T\, sur \mathbb{R}_+ .
  8. Donner, par son équation, la courbe des points à tangente horizontale.
  9. Tracer sur un même graphique la courbe des points à tangente horizontale et quelques une des courbes des f_T\, .
  10. Calculer une valeur approchée de α à 10 − 2 près.
  11. Sachant que a=1,19.10^{-16}\,W.m^{-2} et b=1,44.10^{-2}\,m.K, donner, pour T=5500\, K température superficielle du Soleil, une valeur approchée de la valeur de λ pour laquelle f_T\, atteint son maximum.

[modifier] Solution

1.

On fait un développement limité de :

f_T(\lambda) = \frac{a\lambda^{-5}}{\exp\left (\frac{b}{\lambda T}\right )-1}

Ce qui donne :

\begin{align}f_T(\lambda) & = \frac{1}{\lambda^5} \cdot \frac{a}{\exp\left (\frac{b}{\lambda T}\right )-1}\\ \ & = \frac{a}{\lambda^5\exp\left (\frac{b}{\lambda T}\right )-\lambda^5}\\ \ & = \frac{a}{\lambda^5 \left( 1 + \frac{b}{\lambda T} + \frac{b^2}{2\lambda^2 T^2} + \frac{b^3}{6\lambda^3 T^3} + \frac{b^4}{24\lambda^4 T^4} + \frac{b^5}{120\lambda^5 T^5} + \mathrm{o} \left( \frac{1}{\lambda^5} \right)\right)-\lambda^5}\end{align}

Lorsque λ tend vers 0, tous les termes du développement s'annulent sauf celui en 1/λ5. On a ainsi :

f_T(\lambda) \to \frac{a 120 T^5}{b^5}

Par conséquent, la fonction peut être prolongée par continuité en 0, car elle y admet une limite finie. Elle n'est cependant pas dérivable en ce point.

2. Trivialement, la fonction tend vers 0 en l'infini.

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