Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants

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**Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants**
Leçon : Équation différentielle

Exercice 2
Chapitre du cours :	Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants
Cet exercice est de niveau 12.

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Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Équations sans second membre
2 Équations avec second membre
3 Avec conditions initiales
4 Problème
5 Avec des sinus et cosinus
6 Exercices plus complexes
- 6.1 Système différentiel
- 6.2 Exercice atypique

[modifier] Équations sans second membre

Résoudre sur $\R$ les équations suivantes :

1. $y''+2y'-3y=0\,$

2. $9y''-6y'+y=0\,$

3. $4y''+4y'+y=0\,$

4. $9y''+y=0\,$

5. $9y''-6y'=0\,$

Solution

1. $y''+2y'-3y=0\,$
L'équation est sous forme normale.
Équation caractéristique :
$r^2+2r-3=0 \Leftrightarrow (r-1)(r+3)=0 \,$ (en voyant que 1 est solution évidente)

$\Leftrightarrow r=1 \,$ ou $r=-3 \,$

Donc $y = \lambda\,e^x + \mu\,e^{-3x}\,,\,(\lambda;\mu) \in \mathbb{R}^2\,$

2. $9y''-6y'+y=0\,$
Mettons l'équation sous forme normale : $y''-\frac{2}{3}\,y'+\frac{1}{9}\,y=0\,$
Équation caractéristique :
$r^2-\frac{2}{3}\,r+\frac{1}{9}=0 \Leftrightarrow \left (r-\frac{1}{3}\right)^2=0 \,$ (on reconnait un carré parfait)

$\Leftrightarrow r=\frac{1}{3} \,$ (Solution double)

Donc $y = \left(\lambda\,x + \mu \right)\,e^{\frac{x}{3}}\,,\,(\lambda;\mu) \in \mathbb{R}^2 \,$

3. $4y''+4y'+y=0\,$
Mettons l'équation sous forme normale : $y''+y'+\frac{1}{4}\,y=0\,$
Équation caractéristique :
$r^2+r+\frac{1}{4}=0 \Leftrightarrow \left (r+\frac{1}{2}\right)^2=0 \,$ (on reconnait un carré parfait)

$\Leftrightarrow r=-\frac{1}{2} \,$ (Solution double)

Donc $y = \left (\lambda\,x + \mu \right)\,e^{-\frac{x}{2}}\,,\,(\lambda;\mu) \in \mathbb{R}^2 \,$

4. $9y''+y=0\,$
Mettons l'équation sous forme normale : $y''+\frac{1}{9}y=0\,$
Équation caractéristique :
$r^2+\frac{1}{9}r=0 \Leftrightarrow r=\pm \frac{i}{3} \,$

Donc $y = \lambda\,\cos \left(\frac{x}{3} \right) + \mu\,\sin \left (\frac{x}{3}\right)\,,\,(\lambda;\mu ) \in \mathbb{R}^2 \,$

5. $9y''-6y'=0\,$
Mettons l'équation sous forme normale : $y''-\frac{2}{3}\,y=0\,$
Équation caractéristique :
$r^2-\frac{2}{3}r=0 \Leftrightarrow r \left (r-\frac{2}{3}\right)=0 \,$

$\Leftrightarrow r=0 \,$ ou $r=\frac{2}{3} \,$

Donc $y = \lambda + \mu\,e^{\frac{2}{3}x}\,,\,(\lambda;\mu) \in \mathbb{R}^2 \,$

[modifier] Équations avec second membre

1. $y''-2y'-3y=5\,$

2. $y''+6y'+10y=4\,$

3. $y''-4y=t+1\,$

4. $y''-y=5x+2\,$

5. $y''-2y'+y =t^2-t+1\,$

6. $y''+y'-2y=t-1\,$

Solution

1. $y''-2y'-3y=5\,$
L'équation est sous forme normale.

Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''-2y'-3y=0\,$

Équation caractéristique :

$r^2-2r-3=0 \Leftrightarrow (r+1)(r-3)=0 \,$ (en voyant que -1 est solution évidente par exemple)

$\Leftrightarrow r=-1 \,$ ou $r=3 \,$

Donc $y = \lambda\,e^{-x} + \mu\,e^{3x}\,,\,(\lambda;\mu) \in \mathbb{R}^2\,$

Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $y''-2y'-3y=5\,$

$y=-\frac{5}{3} \,$ est solution constante évidente.

Donc $y = \lambda\,e^{-x} + \mu\,e^{3x}-\frac{5}{3}\,,\,(\lambda;\mu) \in \mathbb{R}^2\,$

2. $y''+6y'+10y=4\,$
L'équation est sous forme normale.

Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''+6y'+10y=0\,$

Équation caractéristique :

$r^2+6r+10=0 \Leftrightarrow r=-3+i\,$ ou $r=-3-i\,$

Donc $y = e^{-3x} \left (\lambda\,\cos(x) + \mu\,\sin(x) \right)\,,\,(\lambda;\mu) \in \mathbb{R}^2\,$

Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $y''+6y'+10y=4\,$

$y=\frac{4}{10}\,$ est solution constante évidente.

Donc $y = e^{-3x} \left(\lambda\,\cos(x) + \mu\,\sin(x) \right) + \frac{2}{5}\,,\,(\lambda;\mu) \in \mathbb{R}^2\,$

3. $y''-4y=t+1\,$
L'équation est sous forme normale.

Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''-4y=0\,$

Équation caractéristique :

$r^2-4=0 \Leftrightarrow r=\pm 2 \,$

Donc $y = \lambda\,e^{2x} + \mu\,e^{-2x}\,,\,(\lambda;\mu) \in \mathbb{R}^2\,$

Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $y''-4y=t+1\,$

$y = -\frac{t+1}{4}\,$ est solution évidente.

Donc $y=\lambda\,e^{2x}+\mu\,e^{-2x}-\frac{t+1}{4}\,,\,(\lambda;\mu) \in \mathbb{R}^2\,$

4. $y''-y=5x+2\,$
L'équation est sous forme normale.

Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''-y=0\,$

Équation caractéristique :

$r^2-1=0 \Leftrightarrow r=\pm 1\,$

Donc $y=\lambda\,e^{x}+\mu\,e^{-x}\,,\,(\lambda;\mu) \in \mathbb{R}^2\,$

Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $y''-y=5x+2\,$

$y=-(5x+2)\,$ est solution évidente.

Donc $y=\lambda\,e^{x}+\mu\,e^{-x}-5x-2\,,\,(\lambda;\mu) \in \mathbb{R}^2\,$

5. $y''-2y'+y =t^2-t+1\,$
L'équation est sous forme normale.

Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''-2y'+y=0\,$

Équation caractéristique :

$r^2-2r+1=0 \Leftrightarrow \left (r-1 \right )^2=0 \,$ (on reconnait un carré parfait)

$\Leftrightarrow r=1 \,$ (Solution double)

Donc $y = \left (\lambda\,t + \mu \right)\,e^{t}\,,\,(\lambda;\mu) \in \mathbb{R}^2\,$

Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $y''-2y'+y =t^2-t+1\,$

On cherche une solution particulière sous la forme $y_1=a t^2 + b t + c\,$

$y_1'=2a t + b\,$

$y_1''= 2a\,$

Donc $y_1''-2y_1'+y_1 =t^2-t+1 \Leftrightarrow (2a) + (-4at-2b) + (at^2+bt+c) = t^2-2t+1\,$

$\Leftrightarrow a t^2 + (b-4a) t + (2a-2b+c) = t^2-2t+1 \,$

$\Leftrightarrow \begin{cases} a=1 \\ b-4a=-1 \\ 2a-2b+c=1 \end{cases} \,$

$\Leftrightarrow \begin{cases} a=1 \\ b=3 \\ c=5 \end{cases} \,$

Une solution particulière est donc $y_1= t^2 + 3t + 5\,$

Donc $y = \left (\lambda\,t + \mu \right) e^{t} + t^2 + 3t + 5\,,\,(\lambda;\mu) \in \mathbb{R}^2 \,$

6. $y''+y'-2y=t-1\,$
L'équation est sous forme normale.

Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''+y'-2y=0\,$

Équation caractéristique :

$r^2+r-2=0 \Leftrightarrow (r-1)(r+2)=0 \,$ (en voyant que 1 est solution évidente)

$\Leftrightarrow r=1 \,$ ou $r=-2 \,$

Donc $y = \lambda\,e^t + \mu\,e^{-2t}\,,\,(\lambda;\mu) \in \mathbb{R}^2 \,$

Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $y''+y'-2y=t-1\,$

On cherche une solution particulière sous la forme $y_1=a t + b\,$

$y_1'=a\,$

$y_1''=0\,$

Donc $y''+y'-2y=t-1 \Leftrightarrow 0 + a - 2at - 2b = t-1 \,$

$\Leftrightarrow \begin{cases} -2a=1 \\ a-2b=-1 \end{cases}\,$

$\Leftrightarrow \begin{cases} a = - \frac{1}{2} \\ b = \frac{1}{4} \end{cases}\,$

Une solution particulière est donc $y_1= - \frac{1}{2}t + \frac{1}{4}\,$

Donc $y=\lambda\,e^t+\mu\,e^{-2t}-\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}\,,\,(\lambda;\mu) \in \mathbb{R}^2\,$

[modifier] Avec conditions initiales

Déterminer la solution de $(E)\,$ vérifiant les conditions initiales données.

1. $y''+4y'-5y=10\,$ ; $f(0) = 4\,$ ; $f'(0) = 0\,$

2. $y''+4y'+5y=10x-2\,$ ; $f(0) = 1\,$ ; $f'(0) = 1\,$

3. $2y''-5y'-3y=-3t^2-10t+4\,$ ; $f(0) = 0\,$ ; $f'(0) = -1\,$

Solution

1. $y''+4y'-5y=10\,$
$f(0) = 4\,$
$f'(0) = 0\,$
L'équation est sous forme normale.

Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''+4y'-5y=0\,$

Équation caractéristique :

$r^2+4r-5=0 \Leftrightarrow (r-1)(r+5)=0\,$ (en voyant que 1 est solution évidente par exemple)

$\Leftrightarrow r=1 \,$ ou $r=-5\,$

Donc $y = \lambda e^t + \mu e^{-5t}\,,\,(\lambda;\mu) \in \mathbb{R}^2\,$

Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $y''+6y'+10y=4\,$

$y = -\frac{10}{5} \,$ est solution constante évidente.

Donc $y\,$ est de la forme $y = \lambda e^t + \mu e^{-5t} -2\,,\,(\lambda;\mu) \in \mathbb{R}^2\,$

Détermination de $\lambda\,$ et de $\mu\,$ :

$\begin{cases} f(0) = 4 \\ f'(0) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \lambda + \mu - 2 = 4 \\ \lambda - 5 \mu = 0 \end{cases}\,$

$\Leftrightarrow \begin{cases} \mu = 1 \\ \lambda = 5 \end{cases}\,$

Donc $y = 5 e^t + e^{-5t} -2\,$

2. $y''+4y'+5y=10x-2\,$
$f(0) = 1\,$
$f'(0) = 1\,$
L'équation est sous forme normale.

Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''+4y'+5y=0\,$

Équation caractéristique :

$r^2+4r+5=0 \Leftrightarrow (r+2)^2+1=0\,$ (en reconnaissant le début d'un carré parfait)

$\Leftrightarrow r=-2+i\,$ ou $r=-2-i\,$

Donc $y = e^{-2x} \left(\lambda \cos x + \mu \sin x \right)\,,\,(\lambda;\mu) \in \mathbb{R}^2\,$

Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $y''+4y'+5y=10x-2\,$

On cherche une solution particulière sous la forme $y_1=ax + b\,$

$y_1'=a\,$

$y_1''= 0\,$

Donc $y_1''+4y_1'+5y_1 =10x-2 \Leftrightarrow 4a + 5ax +5b = 10x-2\,$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 5a=10 \\ 4a+5b=-2 \end{cases}\,$

$\Leftrightarrow \begin{cases} a=2 \\ b=-2 \end{cases}\,$

Une solution particulière est donc $y_1= 2x-2\,$

Donc $y\,$ est de la forme $y = e^{-2x} \left(\lambda \cos x + \mu \sin x \right) + 2(x-1)\,,\,(\lambda;\mu) \in \mathbb{R}^2\,$

Détermination de $\lambda\,$ et de $\mu\,$ :

$\begin{cases} f(0) = 1 \\ f'(0) = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \lambda - 2 = 1 \\ -2 \lambda + \mu + 2 = 1 \end{cases}\,$

$\Leftrightarrow \begin{cases} \lambda = 3 \\ \mu = 5 \end{cases}\,$

Donc $y = e^{-2x} \left(3 \cos x + 5 \sin x \right) + 2(x-1)\,$

3. $2y''-5y'-3y=-3t^2-10t+4\,$
$f(0) = 0\,$
$f'(0) = -1\,$
Mettons l'équation sous forme normale : $y''-\frac{5}{2}y'-\frac{3}{2}y=\frac{-3t^2}{2}-5t+2\,$

Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''-\frac{5}{2}y'-\frac{3}{2}y=0\,$

Équation caractéristique :

$r^2-\frac{5}{2}r-\frac{3}{2}=0 \Leftrightarrow (r-3)(r+\frac{1}{2})=0\,$ (en voyant que 3 est solution évidente par exemple)

$\Leftrightarrow r=3 \,$ ou $r=-\frac{1}{2}\,$

Donc $y = \lambda e^{3t} + \mu e^{-\frac{1}{2}t}\,,\,(\lambda;\mu) \in \mathbb{R}^2\,$

Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $y''-\frac{5}{2}y'-\frac{3}{2}y=\frac{-3t^2}{2}-5t+2\,$

$y_1= t^2\,$ est une solution particulière relativement évidente.

Donc $y\,$ est de la forme $y = \lambda e^{3t} + \mu e^{-\frac{1}{2}t} + t^2\,,\,(\lambda;\mu) \in \mathbb{R}^2\,$

Détermination de $\lambda\,$ et de $\mu\,$ :

$\begin{cases} f(0) = 0 \\ f'(0) = -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \lambda + \mu = 0 \\ 3\lambda - \frac{1}{2}\mu = -1 \end{cases}\,$

$\Leftrightarrow \begin{cases} \lambda = -\frac{2}{7} \\ \mu = \frac{2}{7} \end{cases}\,$

Donc $y = -\frac{2}{7} e^{3t} + \frac{2}{7} e^{-\frac{1}{2}t} + t^2\,$

[modifier] Problème

1. Résoudre l'équation différentielle :

$y''+4y=0\,$

2. Déterminer la solution particulière $f\,$ de la variable t vérifiant les conditions $f(0)=1\,$ et $f\left (\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{3}\,$ .

3. Déterminer les réels $K > 0$ , $\omega > 0\,$ et $\phi \in ]-\pi;\pi]\,$ tels que f(t) s'écrive :

$f(t) = Kcos(\omega\,t -\phi)\,$ .

4. Résoudre, dans $\R$ , l'équation $f(t) = -\sqrt{2}\,$ .

Solution

1. Résolution de l'équation $y''+4y=0\,$ :
L'équation est sous forme normale et sans second membre.
Équation caractéristique : $r^2+4=0 \Leftrightarrow r=\pm 2i \,$

Donc $y = \lambda\,\cos (2t) + \mu\,\sin (2t)\,,\,(\lambda;\mu) \in \mathbb{R}^2\,$

2. Détermination de $\lambda\,$ et de $\mu\,$ :

$\begin{cases} f(0) = 1 \\ f\left (\frac{\pi}{4}\right )=\sqrt{3} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \lambda = 1 \\ \mu = \sqrt{3} \end{cases} \,$

Donc $f(t) = \cos\,(2t) + \sqrt{3}\,\sin\,(2t) \,$

3. Détermination de $K\,$ , $\omega\,$ et $\phi\,$ :
$\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2} = 2\,$
$\arctan {\left (\frac{\sqrt{3}}{1}\right)} = \frac{\pi}{3}\,$

Donc $f(t) = \cos\,(2t) + \sqrt{3}\,\sin\,(2t) = 2\,\cos \left(2t-\frac{\pi}{3}\right)\,$

4. Résolution de l'équation $f(t) = -\sqrt{2}\,$

$f(t) = -\sqrt{2} \Leftrightarrow \cos \left (2t-\frac{\pi}{3}\right ) = \frac{-\sqrt{2}}{2}\,$

$\Leftrightarrow 2t- \frac{\pi}{3} \equiv \frac{3 \pi}{4} [2 \pi] \,$ ou $2t-\frac{\pi}{3} \equiv - \frac{3\,\pi}{4} [2 \pi]\,$

$\Leftrightarrow t \equiv \frac{13 \pi}{24} [\pi] \,$ ou $t \equiv - \frac{5 \pi}{24} [\pi] \,$

Donc $S = \left\{\frac{13\,\pi}{24} + k\,\pi ; - \frac{5\,\pi}{24} + k\,\pi\,,\,k \in \R \right\}\,$

[modifier] Avec des sinus et cosinus

Intégrer l'équation $y''+4y=\sin t\,$

Solution

$y''+4y=\sin t\,$
L'équation est sous forme normale.

Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''+4y=0\,$

Équation caractéristique :

$r^2+4=0 \Leftrightarrow r=\pm 2i \,$

Donc $y = \lambda \cos (2t) + \mu \sin (2t) , ( \lambda ; \mu ) \in \mathbb{R}^2 \,$

Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $y''+4y=\sin t\,$

Pour cela on écrit $\sin (t) = \Im \left (e^{it} \right )\,$

Et on cherche une solution particulière sous la forme $z_1=a e^{it}\,$ solution de $y''+4y= e^{it}\,$

$z_1'=ai e^{it} \,$

$z_1'=-a e^{it} \,$

Donc $y''+4y= e^{it} \Leftrightarrow -a + 4a = 1 \,$ (en simplifiant directement par $e^{it}\,$ )

$\Leftrightarrow a = \frac{1}{3} \,$

Donc $z_1=\frac{1}{3} e^{it} \,$

Or $y_1 = \Im \left (z_1 \right ) \,$

Donc $y_1 = \frac{1}{3} \sin t \,$ est solution particulière à l'équation complète.

Donc $y = \lambda \cos (2t) + \mu \sin (2t) + \frac{1}{3} \sin t , ( \lambda ; \mu ) \in \mathbb{R}^2 \,$

[modifier] Exercices plus complexes

[modifier] Système différentiel

Résoudre le système différentiel suivant : $\begin{cases} y'=2y+z-5t : (E_1) \\ z'=3y+4z+6 : (E_2) \end{cases}\,$

où $\begin{cases} y:t \to y(t) \\ z:t \to z(t) \end{cases}\,$ sont dérivables.

Solution

On remarque que l'on ne peut pas procéder par équivalences.

Conditions nécessaires :

On part de $(E_1)\,$ que l'on dérive :

$y''=2y'+z'-5\,$

Or d'après $(E_2)\,$ , $z'=3y+4z+6\,$

Donc $y''=2y'+3y+4z+1\,$

Et d'après $(E_1)\,$ , $z=y'-2y+5t\,$

Donc $y''=6y'-5y+20t+1\,$

$\Leftrightarrow y''-6y'+5y=20t+1\,$

L'équation est sous forme normale.

Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''-6y'+5y=0\,$

Équation caractéristique :

$r^2-6r+5=0 \Leftrightarrow (r-1)(r-5)=0 \,$ (en voyant que 1 est solution évidente par exemple)

$\Leftrightarrow r=1 \,$ ou $r=5 \,$

Donc $y = \lambda\,e^{t} + \mu\,e^{5t}\,,\,(\lambda;\mu) \in \mathbb{R}^2\,$

Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $y''-6y'+5y=20t+1\,$

On cherche une solution particulière sous la forme $y_1=at + b\,$

$y_1'=a\,$

$y_1''= 0\,$

Donc $(E_1) \Leftrightarrow -6a + 5at + 5b = 20t+1 \,$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 5a=20 \\ -6a+5b=1 \end{cases} \,$

$\Leftrightarrow \begin{cases} a=4 \\ b=5 \end{cases} \,$

Une solution particulière est donc $y_1=4t+5\,$

Donc $y = \lambda\,e^{t} + \mu\,e^{5t}+4t+5\,,\,(\lambda;\mu) \in \mathbb{R}^2\,$

Conditions suffisantes :

Prenons $y = \lambda\,e^{t} + \mu\,e^{5t}+4t+5\,$ .

Or $z=y'-2y+5t\,$

$\Leftrightarrow z=\lambda\,e^{t} + 5\mu\,e^{5t}+4-2\lambda\,e^{t}-2\mu\,e^{5t}-8t-10+5t\,$

$\Leftrightarrow z=-\lambda\,e^{t} + 3\mu\,e^{5t}-3t-6\,$ .

Alors $(E_1)\,$ est vérifiée et $(E_2)\,$ aussi.

Donc toutes les fonctions $\begin{cases} y = \lambda\,e^{t} + \mu\,e^{5t}+4t+5 \\ z=-\lambda\,e^{t} + 3\mu\,e^{5t}-3t-6 \end{cases}\,$ sont solutions $\forall\,(\lambda;\mu) \in \mathbb{R}^2\,$