Utilisateur:RM77/Rappels de cours
Ce cours est un récapitulatif des points importants du programme de mathématiques de Terminale S. Il peut servir notamment dans une optique de révision du baccalauréat.
Attention : il est important de considérer ce cours simplement comme un formulaire, pas comme une référence. De nombreuses démonstrations des théorèmes, propriétés et énoncés de ce cours sont à savoir pour le BAC.
Suite numérique[modifier | modifier le wikicode]
Suite convergente - Suite divergente[modifier | modifier le wikicode]
Notations[modifier | modifier le wikicode]
Une suite numérique est une application d’une partie de dans :
- formule à faire, problème de TeX
- un illustre inconnu te propose :
Au lieu de , on écrit . La suite se note ou plus simplement . On dit aussi que est le terme général de rang de la suite.
Définitions[modifier | modifier le wikicode]
- Soit une suite numérique et un nombre réel. On dit que admet pour limite le réel si tout intervalle ouvert contenant contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On note alors ou .
- On dit qu'un suite a pour limite (respectivement ) si tout intervalle de la forme (respectivement ) contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
On note alors (respectivement ).
- On dit que est convergente ou qu'elle converge s'il existe un réel tel que .
- On dit que est divergente ou qu'elle diverge si elle n’est pas convergente (la limite est , ou n'existe pas).
Propriétés[modifier | modifier le wikicode]
Limite - Continuité[modifier | modifier le wikicode]
Dérivation[modifier | modifier le wikicode]
Étude de fonctions[modifier | modifier le wikicode]
Fonctions logarithmes et exponentielles[modifier | modifier le wikicode]
Fonction exponentielle[modifier | modifier le wikicode]
Définition[modifier | modifier le wikicode]
Il existe une unique fonction , dérivable sur , telle que et , on la nomme fonction exponentielle, elle est notée exp. Par convention, on pose pour tout réel , .
Propriétés[modifier | modifier le wikicode]
- est dérivable sur et
- la fonction est strictement croissante sur
Généralisation[modifier | modifier le wikicode]
- Quel que soit , quelque que soit réel,
- Formules (quels que soient )
- Étude de la fonction :
à faire
Intégration[modifier | modifier le wikicode]
Primitive et intégrale d’une fonction continue[modifier | modifier le wikicode]
Définitions[modifier | modifier le wikicode]
On démontre qu'une fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives c'est-à-dire des fonctions admettant pour dérivée sur . Si l'une de primitives est , toutes les primitives de sur sont les fonctions où est une constante réelle arbitraire.
Il en existe une seule qui prend une valeur arbitraire donnée en un point donné de .
Le nombre , et étant des éléments quelconques de , se note ou encore et s’appelle l’intégrale, de à , de la fonction continue .
Interprétation géométrique[modifier | modifier le wikicode]
Propriétés[modifier | modifier le wikicode]
Relation de Chasles[modifier | modifier le wikicode]
Linéarité[modifier | modifier le wikicode]
Inégalités[modifier | modifier le wikicode]
Inégalités de la moyenne[modifier | modifier le wikicode]
Intégrales de fonctions continues paires, impaires ou périodiques[modifier | modifier le wikicode]
Intégration par parties[modifier | modifier le wikicode]
Théorème[modifier | modifier le wikicode]
Primitives usuelles[modifier | modifier le wikicode]
Calcul de volumes[modifier | modifier le wikicode]
L'espace étant rapporté à un repère orthonormé, le volume d’un solide est , étant l'aire de l'intersection par un plan de cote parallèle à , étant une fonction continue et le solide étant obtenu lorsque varie de à ().
- Remarque d’un illustre inconnu : il y a une erreur dans cet énoncé, à savoir que « S est continue. » Prend un cube par exemple… il y a deux discontinuités et pourtant… la formule marche sans problème. On peut tout à fait intégrer des fonctions non continues.
Équations différentielles[modifier | modifier le wikicode]
Résolution de l'équation [modifier | modifier le wikicode]
Les solutions de l'équation différentielles avec sont les fonctions définies sur par où est un réel quelconque.
Remarque : il existe une seule solution prenant une valeur donnée en un point de .
Résolution de l'équation [modifier | modifier le wikicode]
avec et .
Les solutions de l'équation différentielle avec et sont les fonctions définies sur par :
- où est un réel quelconque.