Utilisateur:RM77/Rappels de cours

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Ce cours est un récapitulatif des points importants du programme de mathématiques de Terminale S. Il peut servir notamment dans une optique de révision du baccalauréat.
Attention : il est important de considérer ce cours simplement comme un formulaire, pas comme une référence. De nombreuses démonstrations des théorèmes, propriétés et énoncés de ce cours sont à savoir pour le BAC.

Sommaire

[modifier] Suite numérique

[modifier] Suite convergente - Suite divergente

[modifier] Notations

Une suite numérique est une application d'une partie \mathrm{E}\, de \scriptstyle \mathbb{N} dans \scriptstyle \R :

formule à faire, problème de TeX
un illustre inconnu te propose : \left(u_n\right)_{n \in \mathbb E} : E \subset \mathbb N \longrightarrow \R


Au lieu de (u_n)\,, on écrit u_n\,. La suite u\, se note (u_n)_{n\in\mathrm{E}} ou plus simplement (u_n)\,. On dit aussi que u_n\, est le terme général de rang n\, de la suite.

[modifier] Définitions

  • Soit (u_n)\, une suite numérique et l\, un nombre réel. On dit que (u_n)\, admet pour limite le réel l\, si tout intervalle ouvert contenant l\, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note alors \lim u_n = l\, ou \lim_{n\rightarrow +\infty} u_n = l.
  • On dit qu'un suite (u_n)\, a pour limite +\infty (respectivement -\infty) si tout intervalle de la forme \left [A;+\infty\right [ (respectivement \left ]-\infty ;A\right ]) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

On note alors \lim_{n\rightarrow +\infty} u_n = +\infty (respectivement \lim_{n\rightarrow +\infty} u_n = -\infty).

  • On dit que (u_n)\, est convergente ou qu'elle converge s'il existe un réel l\, tel que \lim_{n\rightarrow +\infty} u_n = l.
  • On dit que (u_n)\, est divergente ou qu'elle diverge si elle n'est pas convergente (la limite est +\infty, -\infty ou n'existe pas).

[modifier] Propriétés

[modifier] Limite - Continuité

[modifier] Dérivation

[modifier] Etude de fonctions

[modifier] Fonctions logarithmes et exponentielles

[modifier] Fonction exponentielle

[modifier] Définition

Il existe une unique fonction f\,, dérivable sur \mathbb{R}, telle que f'=f\, et f(0)=1\,, on la nomme fonction exponentielle, elle est notée exp. Par convention, on pose pour tout réel x\,, \exp{x} = e^x\,.

[modifier] Propriétés

Propriétés de la fonction exponentielle
  • \exp{0}=1\,
  • \exp\, est dérivable sur \mathbb{R} et (\exp{x})'=\exp{x}\,
  • \forall x\in \mathbb{R}, \exp{x}>0
  • la fonction \exp\, est strictement croissante sur \mathbb{R}

[modifier] Généralisation

  • Quel que soit a>0\,, quelque que soit x\, réel,
a^x=e^{x\ln{a}}\,
  • Formules (quels que soient a>0,b>0,(\alpha,\beta)\in \mathbb{R}^2)
    • a^{\alpha}\times a^{\beta} = a^{\alpha+\beta}\,
    • \frac{a^{\alpha}}{a^{\beta}} = a^{\alpha-\beta}
    • (a^{\alpha})^{\beta} = a^{\alpha \beta}\,
    • (ab)^{\alpha} = a^{\alpha}b^{\alpha}\,
    • \left (\frac{a}{b}\right )^{\alpha} = \frac{a^{\alpha}}{b^{\alpha}}\,
  • Étude de la fonction : x\longmapsto a^x

à faire

[modifier] Intégration

[modifier] Primitive et intégrale d'une fonction continue

[modifier] Définitions

On démontre qu'une fonction f\, continue sur un intervalle I\, admet une infinité de primitives c'est-à-dire des fonctions admettant pour dérivée f\, sur I\,. Si l'une de primitives est F\,, toutes les primitives de f\, sur I\, sont les fonctions F+C\, où C\, est une constante réelle arbitraire.
Il en existe une seule qui prend une valeur arbitraire donnée en un point donné de I\,.
Le nombre F(b)-F(a)\,, a\, et b\, étant des éléments quelconques de I\,, se note \left [F(t)\right ]_a^b ou encore \int_a^b f(t)\, \mathrm dt et s'appelle l’intégrale, de a\, à b\,, de la fonction continue f\,.

[modifier] Interprétation géométrique

[modifier] Propriétés

[modifier] Relation de Chasles

[modifier] Linéarité

[modifier] Inégalités

[modifier] Inégalités de la moyenne

[modifier] Intégrales de fonctions continues paires, impaires ou périodiques

[modifier] Intégration par parties

[modifier] Théorème

[modifier] Primitives usuelles

[modifier] Calcul de volumes

L'espace étant rapporté à un repère orthonormé, le volume d'un solide est V = \int_a^b S(z)\, \mathrm dz, S(z)\, étant l'aire de l'intersection par un plan de cote z\, parallèle à (xOy)\,, S\, étant une fonction continue et le solide étant obtenu lorsque z\, varie de a\, à b\, (a < b\,).

Remarque d'un illustre inconnu : il y a une erreur dans cet énoncé, à savoir que « S est continue. » Prend un cube par exemple... il y a deux discontinuités et pourtant... la formule marche sans problème. On peut tout à fait intégrer des fonctions non continues.

[modifier] Equations différentielles

[modifier] Résolution de l'équation y' = ay\,

Les solutions de l'équation différentielles y' = ay\, avec a \in \R^{*} sont les fonctions f_k\, définies sur \mathbb{R} par f_k(x) = ke^{ax}\, où k\, est un réel quelconque.
Remarque : il existe une seule solution prenant une valeur donnée y_0\, en un point x_0\, de \mathbb{R}.

[modifier] Résolution de l'équation y' = ay+b\,

avec a \neq 0 et b \neq 0.
Les solutions de l'équation différentielle y' = ay+b\, avec a \neq 0 et b \neq 0 sont les fonctions f_k\, définies sur \mathbb{R} par :

f_k(x) = ke^{ax}-\frac{b}{a} où k\, est un réel quelconque.

[modifier] Nombres complexes

[modifier] Calcul vectoriel - Barycentre - Produit scalaire

[modifier] Similitudes

[modifier] Dénombrement

[modifier] Probabilités

[modifier] Arithmétique

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