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Sommaire 1 Exercice 3 1.1 Partie A : Question de cours 1.2 Partie A 1.3 Partie B

[modifier] Exercice 3

[modifier] Partie A : Question de cours

1. Soit f une fonction réelle définie sur . Compléter la phrase suivante :

On dit que f admet une limite finie L en si

2. Démontrer le "théorème des gendarmes".

Soient f, g et h trois fonctions définies sur et L un nombre réel.

Si g et h ont pour limite commune L quand x tend vers ,

et si pour tout x assez grand, ,

alors la limite de f quand x tend vers est égale à L.

[modifier] Partie A

Soit f la fonction définie sur par :

,

et soit (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan.

La droite (D) d'équation est asymptote à (C).

On a représenté la courbe (C) et la droite (D).

1. Soit a un nombre réel. Écrire, en fonction de a,

une équation de la tangente (T) à (C) au point M d'abscisse a.

2. Cette tangente (T) coupe la droite (D) au point N d'abscisse b. Vérifier que .

3. En déduire et effectuer une construction de la tangente (T) à (C)au point M d'abscisse 1,5.

On fera apparaître le point N correspondant.

[modifier] Partie B

1. Déterminer graphiquement le signe de f.

2. En déduire, pour tout entier naturel non nul n, les inégalités suivantes :

.

3. En utilisant l'inégalité (1), démontrer que, pour tout entier naturel non nul n :

4.

a) Déduire de l'inégalité (2) l'inégalité (3) suivante :

.

b) Démontrer que pour tout entier naturel non nul n :

c) En déduire que pour tout entier naturel non nul n :

.

5. Déduire des questions précédentes un encadrement de :

puis sa limite en .