Triangles et parallèles/Conservation de l'aire

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Conservation de la surface d'un triangle

Soit un triangle ABC quelconque.

Soit (DE), une droite parallèle au côté BC du triangle.

Soient 2 points G et H appartenant à (DE). Soient 2 autres points F et I appartenant à BC tels que les droites (FG) et (HI) soient perpendiculaires au côté BC et à la droite (DE).

De ce fait, le quadrilatère FIHG est un rectangle et les longueurs FG et HI sont égales.

Soit un premier triangle BGC et un second triangle BHC.

L'expression de la surface du premier triangle BGC est donc : $S_{1}={\frac {BC\times FG}{2}}$

L'expression de la surface du deuxième triangle est donc : $S_{2}={\frac {BC\times HI}{2}}$

Ces deux triangles ayant la même base et des longueurs différentes, mais des hauteurs identiques, sont donc de surface égales.

Donc, quelle que soit alors la position du point J sur la droite (DE), le triangle BJC aura toujours la même surface.