Systèmes et représentations/Représentation des systèmes

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On ne considérera que les systèmes linéaires, continus et invariants.

Équation différentielle

Représentation

L'évolution d'un système dynamique linéaire et invariant est généralement représenté par un système d'équations différentielles à coefficients constants liant les grandeurs d'entrée et de sortie. Dans le cas d'une seule équation différentielle linéaire, de la forme : $a_{n}{\frac {d^{n}\,s(t)}{dt^{n}}}+\ldots +a_{1}{\frac {d\,s(t)}{dt}}+a_{0}\,s(t)=b_{m}{\frac {d^{m}e(t)}{dt^{m}}}+\ldots +b_{1}{\frac {d\,e(t)}{dt}}+b_{0}\,e(t)$, avec n>m, n est appelé ordre du système.

On a également : $a_{i}\in \mathbb {R} ,\;i\in \mathbb {N} \times \left[0;n\right]$ et $b_{i}\in \mathbb {R} ,\;i\in \mathbb {N} \times \left[0;m\right]$.

Résolution "classique"

Classiquement, une équation différentielle se résout en trois étapes :

• la résolution de l'équation sans second membre (solution générale), qui représente la solution transitoire du phénomène ;
• la détermination d'une solution particulière de l'équation avec second membre, qui représente la composante permanente du phénomène physique ;
• la solution "totale" est alors obtenue en réalisant la somme des deux solutions précédentes.

Résolution par transformation de Laplace

La méthode par transformation de Laplace permet de ramener l'équation différentielle à une équation polynomiale algébrique en tenant compte des conditions initiales.

La résolution est donc aisée. Par transformation inverse de Laplace, on peut retrouver la solution temporelle.

Transformation de Laplace

Définition

On appelle transformée de Laplace bilatérale d'une fonction de la variable temps f la fonction F de la variable p définie de la façon suivante :

$F(p)=\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\times e^{-p\times t}\,dt$ avec $p=\sigma +j.\omega$ et $\sigma >\sigma _{0}$ ($\sigma _{0}$ étant l'abscisse de convergence).

Pour une fonction causale, la transformée de Laplace est dite monolatérale, et on a :

$F(p)=\int _{0}^{+\infty }f(t)\times e^{-p\times t}\,dt$ avec $p=\sigma +j.\omega$ et $\sigma >\sigma _{0}$ ($\sigma _{0}$ étant l'abscisse de convergence).

Dans toute la suite, on notera les fonctions du domaine temporel en minuscules, et les fonctions du domaine de Laplace (domaine symbolique) en majuscules.

Si ${\mathcal {L}}\left[f(t)\right]=F(p)$, on dit que F est la transformée de Laplace de f.

Si ${\mathcal {L}}^{-1}\left[F(p)\right]=f(t)$, on dit que f est la transformée inverse de Laplace de F (ou l'original de F).

Propriétés

Unicité

À une fonction temporelle f donnée correspond une unique fonction F du domaine symbolique, et à une fonction F du domaine symbolique correspond une unique fonction temporelle f.

Linéarité

$\forall \left(\lambda ,\mu \right)\in \mathbb {R} ^{2},\;{\mathcal {L}}\left[\lambda \times f_{1}(t)+\mu \times f_{2}(t)\right]=\lambda \times {\mathcal {L}}\left[f_{1}(t)\right]+\mu \times {\mathcal {L}}\left[f_{2}(t)\right]$

Théorèmes fondamentaux

Théorème du facteur d'échelle

${\mathcal {L}}\left[f(a\times t)\right]={\frac {1}{a}}\times F\left({\frac {p}{a}}\right)$

Théorème du retard

${\mathcal {L}}\left[f(t-\tau )\right]=e^{-\tau \times p}\times F(p)$

Théorème de l'amortissement (ou décalage fréquentiel)

${\mathcal {L}}\left[f(t)\times e^{-\omega \times t}\right]=F(p+\omega )$

Théorème de dérivation par rapport au temps

• Dérivée première : ${\mathcal {L}}\left[{\frac {d\,f(t)}{dt}}\right]=p\times F(p)-f(O^{+})$
• Dérivée seconde : ${\mathcal {L}}\left[{\frac {d^{2}\,f(t)}{dt^{2}}}\right]=p^{2}\times F(p)-p\times f(0^{+})-f'(0^{+})$

On note :

• $f(0^{+})={\underset {t{\xrightarrow {t>0}}0}{\operatorname {lim} }}f(t)$
• $f'(0^{+})={\underset {t{\xrightarrow {t>0}}0}{\operatorname {lim} }}f'(t)$

Théorème d'intégration par rapport au temps

Si ${\mathcal {L}}\left[f(t)\right]=F(p)$ et $f(t)={\frac {d\,g(t)}{dt}}$, alors ${\mathcal {L}}\left[{\frac {d\,g(t)}{dt}}\right]=F(p)=p\times G(p)-g(0^{+})$.

Ainsi : $G(p)={\frac {F(p)}{p}}+{\frac {g(0^{+})}{p}}$

À noter que si les conditions initiales sont nulles (conditions de Heaviside), c'est-à-dire le système est causal, alors :

• dériver dans le domaine temporel revient à multiplier par p dans le domaine symbolique ;
• intégrer dans le domaine temporel revient à diviser par p dans le domaine symbolique.

Théorème du produit de convolution

${\mathcal {L}}\left[\int _{0}^{t}f(t-\tau )\times g(\tau )\,dt\right]=F(p)*G(p)$

• $\int _{0}^{t}f(t-\tau )\times g(\tau )\,dt$ est appelé produit de convolution de f par g et est noté $\left(f*g\right)(t)$
• $\tau$ est appelé variable muette

Attention : le produit de deux fonctions du temps n'a pas pour transformée de Laplace le produit des transformées : ${\mathcal {L}}\left[f(t)\times g(t)\right]\neq F(p)\times G(p)$

Théorème de la valeur initiale

${\underset {t\rightarrow 0}{\operatorname {lim} }}f(t)={\underset {p\rightarrow +\infty }{\operatorname {lim} }}p\times F(p)$

Théorème de la valeur finale

${\underset {t\rightarrow +\infty }{\operatorname {lim} }}f(t)={\underset {p\rightarrow 0}{\operatorname {lim} }}p\times F(p)$

Autres transformations

• ${\mathcal {L}}\left[\int _{0}^{t}f(u)\,du\right]={\frac {F(p)}{p}}$
• ${\mathcal {L}}\left[-t\,f(t)\right]=F'(p)$
• ${\mathcal {L}}\left[t^{2}\,f(t)\right]=F''(p)$

De façon plus générale:

• ${\mathcal {L}}\left[t^{n}\,f(t)\right]=(-1)^{(n)}F^{(n)}(p)$

Transformées usuelles

f(t)	F(p)
$\delta (t)$ (Dirac)	1
1	${\frac {1}{p}}$
$\sin(\omega t)$	${\frac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}$
$\cos(\omega t)$	${\frac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}$
$t^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$	${\frac {n!}{p^{n+1}}}$
$e^{-a\times t}$	${\frac {1}{p+a}}$
$\operatorname {sh} (\omega t)$	${\frac {\omega }{p^{2}-\omega ^{2}}}$
$\operatorname {ch} (\omega t)$	${\frac {p}{p^{2}-\omega ^{2}}}$