Signaux physiques - bis (PCSI)/Filtrage linéaire : gabarit d'un filtre, 2ème partie

**Filtrage linéaire : gabarit d'un filtre, 2ème partie**
Leçon : Signaux physiques - bis (PCSI)

Chapitre n^o 9
Chap. préc. :	Filtrage linéaire : gabarit d'un filtre, 1ère partie

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Signaux physiques - bis (PCSI) : Filtrage linéaire : gabarit d'un filtre, 2ème partie
Signaux physiques - bis (PCSI)/Filtrage linéaire : gabarit d'un filtre, 2ème partie », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Définition du gabarit d'un filtre[modifier | modifier le wikicode]

Voir le paragraphe « Définition du gabarit d'un filtre » du chap. $8$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

Établissement du gabarit d'un 1^er ordre fondamental, condition pour l'utiliser en moyenneur ou en intégrateur[modifier | modifier le wikicode]

Voir le paragraphe « Établissement du gabarit d'un 1^er ordre fondamental, condition pour l'utiliser en moyenneur ou en intégrateur » du chap. $8$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

Établissement du gabarit d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul, condition pour l'utiliser en dérivateur[modifier | modifier le wikicode]

Voir le paragraphe « Établissement du gabarit d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul, condition pour l'utiliser en dérivateur » du chap. $8$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

Établissement du gabarit d'un 2^ème ordre du type « réponse en intensité d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en dérivateur, intégrateur ou sélecteur d'harmonique[modifier | modifier le wikicode]

Voir le paragraphe « Établissement du gabarit d'un 2^ème ordre du type “ réponse en intensité d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante ”, condition pour l'utiliser en dérivateur, intégrateur ou sélecteur d'harmonique » du chap. $8$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

Établissement du gabarit d'un 2^ème ordre du type « réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en moyenneur ou double intégrateur[modifier | modifier le wikicode]

Voir le paragraphe « Établissement du gabarit d'un 2^ème ordre du type “ réponse en charge d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante ”, condition pour l'utiliser en moyenneur ou double intégrateur » du chap. $8$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

Établissement du gabarit d'un 2^ème ordre du type « réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en double dérivateur[modifier | modifier le wikicode]

Voir le paragraphe « Établissement du gabarit d'un 2^ème ordre du type “ réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante ”, condition pour l'utiliser en double dérivateur » du chap. $8$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

En complément, établissement du gabarit d'un 2^ème ordre du type « réponse en tension aux bornes de l'ensemble bobine parfaite et condensateur d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », condition pour l'utiliser en réjecteur d'un harmonique[modifier | modifier le wikicode]

Voir le paragraphe « Établissement du gabarit d'un 2^ème ordre du type “ réponse en tension aux bornes de l'ensemble bobine parfaite et condensateur d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante ”, condition pour l'utiliser en réjecteur d'un harmonique » du chap. $8$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».

Mise en cascade de filtres et intérêt de réaliser des filtres à faible impédance de sortie et forte impédance d'entrée[modifier | modifier le wikicode]

L'avantage de monter des filtres en cascade c'est de permettre de cumuler les propriétés de chaque filtre ^[1] mais il faut être prudent dans leur montage et respecter les règles suivantes $\;{\big (}$ règles exposées dans le cas où les fonctions de transfert sont les amplifications complexes en tension ${\big )}$ :

l'impédance de sortie du dernier étage doit être très faible de façon à ce que la charge sur laquelle il est branché ne modifie quasiment pas la tension de sortie $\;{\big (}$ impédance de sortie faible $\Rightarrow$ tension de sortie $\;\simeq \;$ tension de sortie à vide par chute ohmique aux bornes de l'impédance de sortie quasi nulle ${\big )}\;$ et par suite la fonction de transfert de ce dernier étage est pratiquement celle en sortie ouverte ;
l'impédance d'entrée du dernier étage doit être très grande de façon à ce que l'avant dernier étage étant fermé sur une charge d'impédance quasi infinie, la fonction de transfert de cet avant dernier étage soit quasi fixée égale à sa fonction de transfert à vide ;
l'impédance d'entrée de tous les étages $\;{\big (}$ à l'exception du 1^er pour lequel la condition n'est pas nécessaire ^[2] ${\big )}\;$ doit être grande pour la même raison que précédemment et ainsi la fonction de transfert de « tous les étages » $\;{\big (}$ y compris le 1^er ${\big )}\;$ est quasi fixée égale à sa fonction de transfert à vide ^[3] ;
dans ces conditions la fonction de transfert globale est le produit des fonctions de transfert individuelles $\;{\big (}\simeq \;$ à vide donc calculables indépendamment des autres étages ${\big )}$ .

Remarque : on rappelle un autre cas où la fonction de transfert globale est le produit des fonctions de transfert individuelles, c'est le cas où les étages sont identiques et que chaque étage de la chaîne d'étages successifs est fermé sur l'« impédance itérative » ^[4] de chacun des étages ^[5].

Étude du filtrage linéaire d'un signal non sinusoïdal à partir de son spectre[modifier | modifier le wikicode]

Préliminaire : A priori le signal n'est pas nécessairement périodique, mais seuls les signaux périodiques sont au programme de physique de P.C.S.I. ;
Préliminaire : cette étude ayant déjà été présentée en détails avec des signaux périodiques non sinusoïdaux pour valider la construction des divers gabarits considérés dans le chap. $8$ intitulé « Filtrage linéaire : gabarit d'un filtre, 1^ère partie » de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) », nous ne faisons que rappeler le principe d'étude ci-dessous :

Rappel du principe d'étude lors du filtrage d'un signal périodique non sinusoïdal :

faire l'analyse de Fourier ^[6] du signal d'entrée c.-à-d. déterminer sa « représentation fréquentielle $\;\left\lbrace C_{0,\,E}\;;\;{\underline {C_{p,\,e}}},\;p\in \mathbb {N} ^{*}\right\rbrace \;$ » ^[7]^, ^[8] en utilisant les « connaissances » ^[9] ou un logiciel de calcul,
déterminer la « réponse fréquentielle du filtre linéaire au signal d'entrée $\;\left\lbrace C_{0,\,S}\;;\;{\underline {C_{p,\,s}}},\;p\in \mathbb {N} ^{*}\right\rbrace \;$ » à l'aide de la représentation fréquentielle du signal d'entrée et de la fonction de transfert $\;{\underline {H}}(j\,2\,\pi \,f)\;$ du filtre selon « $\;C_{0,\,S}=H_{0}\;C_{0,\,E}\;$ » et « $\;{\underline {C_{p,\,s}}}={\underline {H}}(j\,2\,\pi \,p\,f_{e})\;{\underline {C_{p,\,e}}}\;$ pour $\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;$ » ;
faire la synthèse de Fourier ^[6] du signal de sortie c.-à-d. utiliser un logiciel de calcul pour ajouter tous les harmoniques permettant d'obtenir la réponse temporelle du filtre à partir de sa réponse fréquentielle.

Prolongement du principe d'étude lors du filtrage d'un signal non périodique $\;{\big (}$ traité en complément ${\big )}\;$ ^[10] :

la décomposition en série de Fourier ^[6] est remplacée par la « décomposition en intégrale de Fourier » ^[11], la « représentation fréquentielle du signal d'entrée étant $\;\left\lbrace C_{0,\,E}\;;\;{\underline {\widehat {e}}}(\omega ),\;\forall \;\omega \,\in \,\mathbb {R} ^{*}\right\rbrace \;$ » ^[12],
la détermination de la « réponse fréquentielle du filtre linéaire au signal d'entrée $\;\left\lbrace C_{0,\,S}\;;\;{\underline {\widehat {s}}}(\omega ),\;\forall \;\omega \,\in \,\mathbb {R} ^{*}\right\rbrace \;$ » à partir de la fonction de transfert $\;{\underline {H}}(j\,\omega )\;$ du filtre et de la représentation fréquentielle du signal d'entrée se fait exactement de la même façon, on obtient « $\;C_{0,\,S}=H_{0}\;C_{0,\,E}\;$ » et « $\;{\underline {\widehat {s}}}(\omega )={\underline {H}}(j\,\omega )\;{\underline {\widehat {e}}}(\omega ),\;\forall \;\omega \,\in \,\mathbb {R} ^{*}\;$ »,
enfin connaissant la réponse fréquentielle du filtre on utilise la transformation de Fourier ^[6] inverse ^[13] pour en déduire la réponse temporelle $\;s(t)\;$ du filtre au signal d'entrée $\;e(t)\;\ldots$

Retour sur la réponse d'un système linéaire à un échelon, notion de réponse indicielle[modifier | modifier le wikicode]

Rappel : détermination de l'équation différentielle du système linéaire à partir de la fonction de transfert harmonique de ce dernier[modifier | modifier le wikicode]

     Revoir le chap. $6$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » par exemples les paragraphes
     Revoir $\succ \;$ « réponse fréquentielle d'un système linéaire du 1^er ordre fondamental à un signal sinusoïdal de pulsation ω (équation différentielle en y_s) » ou
     Revoir $\succ \;$ « réponse fréquentielle d'un système linéaire du 1^er ordre non fondamental avec transfert statique nul à un signal sinusoïdal de pulsation ω (équation différentielle en y_s) » ou encore
     revoir le chap. $7$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » par exemple le paragraphe
     Revoir $\succ \;$ « réponse fréquentielle d'un système linéaire du 2^ème ordre “ du type réponse en u_R d'un R L C série soumis à une tension de valeur efficace constante ” à un signal sinusoïdal de pulsation ω (équation différentielle en y_s) » ;

le principe de la détermination de l'équation différentielle à partir de la fonction de transfert étant le même quel que soit l'ordre et quel que soit son « type », sa méthode est rappelée ci-dessous :

imposer une entrée $\;x_{e}(t)\;$ sinusoïdale de pulsation $\;\omega \;$ et chercher la réponse sinusoïdale forcée $\;y_{s}(t)\;$ en se plaçant en électricité « complexe » associée au r.s.f. ^[14] pour en déduire la fonction de transfert harmonique correspondante $\;{\underline {H}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {y_{s}}}(t)}{{\underline {x_{e}}}(t)}}={\dfrac {{\underline {N}}(j\,\omega )}{{\underline {D}}(j\,\omega )}}\;$ mise sous forme de quotient irréductible de polynômes en $\;j\,\omega$ , le polynôme du dénominateur $\;{\underline {D}}(j\,\omega )\;$ étant normalisé ^[15],
en déduire l'égalité du produit des extrêmes et des moyens $\;{\underline {D}}(j\,\omega )\left\lbrace {\underline {y_{s}}}(t)\right\rbrace ={\underline {N}}(j\,\omega )\left\lbrace {\underline {x_{e}}}(t)\right\rbrace \;$ et remplacer la « multiplication par $\;\left(j\,\omega \right)^{n}\;$ » par la « dérivation temporelle d'ordre n », on obtient alors l'« équation différentielle » ^[16] en $\;{\underline {y_{s}}}(t)\;$ en régime complexe associé au r.s.f. ^[14] mais $\;\ldots$
l'équation différentielle étant indépendante de la forme de l'excitation ^[17], c'est encore l'équation différentielle en $\;y_{S}(t)\;$ avec une entrée $\;x_{E}(t)=E\;Y(t)\;$ ou $\;x_{E}(t)=I_{0}\;Y(t)\;$ suivant que l'échelon d'entrée est une tension ou une intensité : dans le 2^nd membre « $\;{\underline {x_{e}}}(t)\;$ est remplacé par $\;E\;Y(t)\;$ ^[18] » ^[19], « $\;{\dot {\underline {x}}}_{e}(t)\;$ par $\;E\;\delta (t)\;$ ^[18] » ^[20], « $\;{\ddot {\underline {x}}}_{e}(t)\;$ par $\;E\;{\dot {\delta }}(t)\;$ ^[18] » ^[21].

Rappel sur la résolution de l'équation différentielle en la réponse du système linéaire soumis à un échelon d'excitation, introduction de la réponse indicielle d'un filtre[modifier | modifier le wikicode]

     Revoir le chap. $26$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » par exemples les paragraphes
     Revoir $\succ \;$ « recherche de la réponse en tension aux bornes du condensateur d'un “ R C série ” soumis à un échelon de tension » pour un 1^er ordre fondamental ou
     Revoir $\succ \;$ « réponse en intensité de courant traversant le condensateur d'un “ R C série ” soumis à un échelon de tension » pour un 1^er ordre non fondamental à trasfert statique nul ou encore
     revoir le chap. $1$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » par exemples les paragraphes
     Revoir $\succ \;$ « établissement de la réponse en tension u_C(t) aux bornes du condensateur d'un “ R L C série ” soumis à un échelon tension, réduction canonique du “ R L C série ” (pulsation propre, cœfficient d'amortissement ou facteur de qualité), régime libre, réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire » pour un 2^ème ordre « du type réponse en charge d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » ou
     Revoir $\succ \;$ « établissement de la réponse en intensité i(t) du courant traversant le “ R L C série ” soumis à un échelon tension, réduction canonique, régime libre, absence de réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire » pour un 2^ème ordre « du type réponse en intensité du courant traversant le conducteur ohmique d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » ou encore
     Revoir $\succ \;$ « établissement de la réponse en tension u_L(t) aux bornes de la bobine (parfaite) du “ R L C série ” soumis à un échelon tension, réduction canonique, régime libre, absence de réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire » pour un 2^ème ordre « du type réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable » ;

le principe de la résolution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène $\;{\big (}$ ou homogène ${\big )}$ pour $\;t>0$ $\;{\big \{}$ l'excitation ^[17] résultant de l'imposition d'un échelon de tension $\;{\big (}$ ou de courant ${\big )}\;$ au circuit ${\big \}}$ , est le même quel que soit l'ordre et quel que soit son « type », sa méthode étant rappelée ci-dessous :

déterminer la solution libre par résolution de l'équation caractéristique,
écrire l'équation différentielle pour $\;t>0\;$ et, dans le cas où le 2^nd membre ne serait pas nul, déterminer la réponse forcée $\;{\big (}$ c.-à-d. sous forme d'une constante car de même forme que l'excitation ^[17] ${\big )}$ ,
déterminer la $\;{\big (}$ ou les ${\big )}\;$ C.I. ^[22] suivant l'« ordre » ^[23] de l'équation différentielle linéaire et le « numéro d'espèce de la discontinuité de l'excitation ^[17] » ^[24] sachant que ce dernier se reporte sur la plus « haute » dérivée temporelle de la réponse et qu'il diminue de une unité à chaque intégration $\;{\big (}$ au sens des distributions ${\big )}\;$ avec effet de stagnation au numéro « zéro » ^[25] ;
en conséquence, pour une équation différentielle du 2^ème ordre,
      $\;\succ \;$ si $\;y_{S}(t)\;$ et $\;{\dot {y_{S}}}(t)\;$ sont continues en $\;t=0$ , utiliser les connaissances de continuité de tension aux bornes d'un condensateur et d'intensité de courant traversant une bobine dans un circuit « réel » ^[26]^, ^[27] pour le justifier,
      $\;\succ \;$ si $\;y_{S}(t)\;$ est continue et $\;{\dot {y_{S}}}(t)\;$ discontinue de 1^ère espèce en $\;t=0\;$ ^[24], utiliser les connaissances de continuité de tension aux bornes d'un condensateur ou d'intensité de courant traversant une bobine dans un circuit « réel » ^[26] pour $\;y_{S}(t)\;$ ^[27] puis celles des deux continuités évoquées précédemment pour construire le circuit à $\;0^{+}\;$ ^[28] permettant de déterminer $\;{\dot {y_{S}}}(0^{+})$ ,
      $\;\succ \;$ si $\;y_{S}(t)\;$ est discontinue de 1^ère espèce et $\;{\dot {y_{S}}}(t)\;$ discontinue de 2^ème espèce en $\;t=0\;$ ^[24], utiliser les connaissances de continuité de tension aux bornes d'un condensateur et d'intensité de courant traversant une bobine dans un circuit « réel » ^[26] pour construire le circuit à $\;0^{+}\;$ ^[28] permettant de déterminer $\;y_{S}(0^{+})$ et « intégrer ^[29] l'équation différentielle écrite pour tout $\;t\;$ entre $\;0^{-}\;$ et $\;0^{+}\;$ pour déterminer $\;{\dot {y_{S}}}(0^{+})\;$ » ^[30],
la réponse « transitoire » ^[31] étant la somme de la réponse libre et de l'éventuelle réponse forcée ^[32], utiliser la $\;{\big (}$ ou les ${\big )}\;$ C.I. ^[22] pour déterminer la $\;{\big (}$ ou les ${\big )}\;$ constante(s) d'intégration, et par suite obtenir la « réponse temporelle du filtre à l'échelon d'excitation ^[33] ».

Définition de la réponse indicielle d'un filtre

Un filtre étant caractérisé par sa fonction de transfert harmonique ou par l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène associée, on appelle « réponse indicielle du filtre » la réponse temporelle du filtre à un échelon d'excitation ^[33] unité ^[34].

En conclusion, en notant « $\;y_{\text{indicielle}}(t)\;$ la réponse indicielle du filtre », « la réponse temporelle du filtre à l'échelon d'excitation ^[33] d'amplitude $\;E\;$ s'écrit $\;y_{S}(t)=E\;y_{\text{indicielle}}(t)\;$ ».

Lien entre la fonction de transfert harmonique du filtre et les propriétés de sa réponse indicielle[modifier | modifier le wikicode]

l'existence d'un transfert statique $\;H_{0}\neq 0\;$ ${\big [}$ c.-à-d. un filtre de type « passe-bas » ${\big ]}\;$ correspond à la présence d'une composante permanente dans la réponse indicielle, cette composante étant la réponse forcée $\;H_{0}\times 1\;$ ou encore « $\;y_{{\text{indicielle}},\,f}=H_{0}\times 1=\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,0}\!\left\lbrace {\underline {H}}(j\,\omega )\times 1\right\rbrace \;$ » ^[35] ;
l'absence d'un transfert H.F. ^[36] $\;\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,\infty }\!\left\lbrace {\underline {H}}(j\,\omega )\right\rbrace =0\;$ ${\big [}$ c.-à-d. un filtre de type « passe-bas » du 1^er ordre $\;{\big (}$ uniquement le « fondamental » ^[37] ${\big )}\;$ ou de type « passe-bas ou passe-bande » du 2^ème ordre ${\big ]}\;$ correspond à la continuité de la réponse indicielle en $\;t=0\;$ ${\Big [}$ en effet l'absence de transfert H.F. ^[36] nécessitant que le degré de $\;{\underline {N}}(j\,\omega )\;$ soit inférieur d'au moins une unité au degré de $\;{\underline {D}}(j\,\omega )$ , il s'en suit que le « numéro d'espèce de discontinuité ^[24] de l'excitation ^[17] au plus égal à l'ordre de l'équation différentielle » ^[38] se reporte sur la dérivée temporelle la plus « haute » de la réponse avec diminution d'une unité à chaque intégration ^[25], et par suite que le numéro « zéro » d'espèce de discontinuité ^[24] est atteint pour la réponse $\;{\big (}$ dans le cas où le numéro d'espèce de discontinuité ^[24] de l'excitation ^[17] est au plus égal à l'ordre de l'équation différentielle ${\big )}\;$ ou pour sa dérivée temporelle $\;{\big (}$ dans le cas où le numéro d'espèce de discontinuité ^[24] de l'excitation ^[17] est au plus inférieur de une unité à l'ordre de l'équation différentielle ${\big )}\;$ ce qui entraîne nécessairement que la réponse est elle-même discontinue de « 0^ème espèce » c.-à-d. continue ${\Big ]}\;$ et ceci se traduit mathématiquement sous la forme « $\;y_{\text{indicielle}}(0^{+})=\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,\infty }\!\left\lbrace {\underline {H}}(j\,\omega )\times 1\right\rbrace =0\;$ », le système étant initialement au repos ^[39] ;
l'existence d'un transfert H.F. ^[36] $\;\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,\infty }\!\left\lbrace {\underline {H}}(j\,\omega )\right\rbrace \neq 0\;$ ${\big [}$ c.-à-d. un filtre de type « passe-haut » du 1^er ordre $\;{\big (}$ sans ou avec transfert statique ^[40] ${\big )}\;$ ou de type « passe-haut ou coupe-bande ^[41] » du 2^ème ordre ${\big ]}\;$ correspond à la discontinuité de 1^ère espèce ^[24] de la réponse indicielle en $\;t=0\;$ ${\Big [}$ en effet la présence de transfert H.F. ^[36] nécessitant que le degré de $\;{\underline {N}}(j\,\omega )\;$ soit égal au degré de $\;{\underline {D}}(j\,\omega )$ , il s'en suit que le « numéro d'espèce de discontinuité ^[24] de l'excitation ^[17] plus grand d'une unité que l'ordre de l'équation différentielle » ^[42] se reporte sur la dérivée temporelle la plus « haute » de la réponse avec diminution d'une unité à chaque intégration ^[25], et par suite que le numéro « un » d'espèce de discontinuité ^[24] est atteint pour la réponse ${\Big ]}\;$ et ceci se traduit mathématiquement sous la forme « $\;y_{\text{indicielle}}(0^{+})=\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,\infty }\!\left\lbrace {\underline {H}}(j\,\omega )\times 1\right\rbrace \neq 0\;$ », le système étant initialement au repos ^[43] ;
l'absence d'un transfert H.F. ^[36] pour la fonction de transfert “ dérivée ” ^[44] $\;\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,\infty }\!\left\lbrace j\,\omega \;{\underline {H}}(j\,\omega )\right\rbrace =0\;$ ${\big [}$ c.-à-d. un filtre de type « passe-bas » du 2^ème ordre ${\big ]}\;$ correspond à la continuité de la dérivée temporelle de la réponse indicielle en $\;t=0\;$ ${\Big [}$ en effet l'absence de transfert H.F. ^[36] pour la fonction de transfert “ dérivée ” ^[44] nécessitant que le degré de $\;{\underline {N}}(j\,\omega )\;$ soit égal au degré de $\;{\underline {D}}(j\,\omega )\;$ diminué de deux unités ^[45], il s'en suit que le « numéro d'espèce de discontinuité ^[24] de l'excitation ^[17] égal à l'ordre de l'équation différentielle diminué d'une unité » ^[46] se reporte sur la dérivée temporelle la plus « haute » de la réponse avec diminution d'une unité à chaque intégration ^[25], et par suite que le numéro « zéro » d'espèce de discontinuité ^[24] est atteint pour la dérivée temporelle de la réponse ${\Big ]}\;$ et ceci se traduit mathématiquement sous la forme « $\;{\dfrac {dy_{\text{indicielle}}}{dt}}(0^{+})=\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,\infty }\!\left\lbrace j\,\omega \;{\underline {H}}(j\,\omega )\times 1\right\rbrace =0\;$ », le système étant initialement au repos ^[47] ;
l'existence d'un transfert H.F. ^[36] pour la fonction de transfert “ dérivée ” ^[44] $\;\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,\infty }\!\left\lbrace j\,\omega \;{\underline {H}}(j\,\omega )\right\rbrace \neq 0\;$ ${\big [}$ c.-à-d. par exemple un filtre de type « passe-bande » du 2^ème ordre ^[48] ${\big ]}\;$ correspond à la discontinuité de 1^ère espèce ^[24] de la dérivée temporelle de la réponse indicielle en $\;t=0\;$ ${\Big [}$ en effet la présence de transfert H.F. ^[36] pour la fonction de transfert “ dérivée ” ^[44] nécessitant que le degré de $\;{\underline {N}}(j\,\omega )\;$ soit égal au degré de $\;{\underline {D}}(j\,\omega )\;$ diminué d'une unité ^[49], il s'en suit que le « numéro d'espèce de discontinuité ^[24] de l'excitation ^[17] égal à l'ordre de l'équation différentielle » ^[50] se reporte sur la dérivée temporelle la plus « haute » de la réponse avec diminution d'une unité à chaque intégration ^[25], et par suite que le numéro « un » d'espèce de discontinuité ^[24] est atteint pour la dérivée temporelle de la réponse ${\Big ]}\;$ et ceci se traduit mathématiquement sous la forme « $\;{\dfrac {dy_{\text{indicielle}}}{dt}}(0^{+})=\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,\infty }\!\left\lbrace j\,\omega \;{\underline {H}}(j\,\omega )\times 1\right\rbrace \neq 0\;$ », le système étant initialement au repos ^[51].

Avantage de ces propriétés : rapidité d'obtention de la réponse indicielle uniquement à partir de la fonction de transfert « sans qu'il soit utile d'écrire l'équation différentielle ni de la résoudre » ^[52] $\;\ldots$

Exemple de filtrage non linéaire : redressement simple ou double alternance et propriétés d'un filtre non linéaire « enrichissement du spectre »[modifier | modifier le wikicode]

Redresseur simple alternance[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'un redresseur simple alternance[modifier | modifier le wikicode]

Définition

Un redresseur simple alternance positif est un quadripôle pour lequel $\;u_{S}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}u_{E}(t)\;\;{\text{si }}\;u_{E}(t)>0\\0\qquad \;\,{\text{si }}\;u_{E}(t)<0\end{array}}\right\rbrace \;$ et
Un redresseur simple alternance négatifest un quadripôlepour lequel $\;u_{S}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\qquad \;\,{\text{si }}\;u_{E}(t)>0\\u_{E}(t)\;\;{\text{si }}\;u_{E}(t)<0\end{array}}\right\rbrace$ .

Tentative de réalisation pratique d'un redresseur simple alternance[modifier | modifier le wikicode]

À l'aide d'une diode à jonction $\;{\big (}$ voir schéma ci-contre pour obtenir un redressement simple alternance « positif » ^[54] ${\big )}$ , la tension de seuil de la diode ^[55] étant « $\;U_{\text{seuil}}\simeq 0,6\,V\;$ » et la résistance dynamique ^[56] dans le sens passant « $\;r_{d}\simeq 1\,\Omega \;$ », la résistance de la charge $\;R_{u}\;$ étant choisie « de façon à être grande devant $\;r_{d}\;$ » et « telle que l'intensité du courant traversant la diode soit inférieure à son maximum toléré $\;I_{{\text{max}},\,d}\simeq 150\,mA\;$ ^[57] » ;

l'amplitude du signal d'entrée pouvant atteindre $\;10\,V$ , nous calculons la valeur minimale de la résistance d'utilisation pour que l'amplitude de l'intensité du courant dans le circuit ne dépasse pas $\;150\,mA\;$ soit « $\;I_{E,\,m}=I_{S,\,m}={\dfrac {U_{S,\,m}}{R_{u}}}\;$ qui doit être $\;<\;$ à $\;I_{{\text{max}},\,d}\;$ » ce qui nécessite « $\;R_{u}>{\dfrac {U_{S,\,m}}{I_{{\text{max}},\,d}}}\;$ » inégalité réalisée dans la mesure où « $\;R_{u}>{\dfrac {U_{E,\,m}}{I_{{\text{max}},\,d}}}$ $={\dfrac {10}{0,15}}\simeq 67\;\Omega \;$ » ^[58] ;

nous choisissons $\;R_{u}=100\,\Omega \;$ dont une conséquence est que « $\;r_{d}\ll R_{u}\;$ » et
nous choisissons $\;\color {transparent}{R_{u}=100\,\Omega }\;$ dont une autre est que nous pouvons adopter le « modèle idéal avec seuil » ^[59] pour la diode à jonction.

Justification $\;{\big (}$ ou non ${\big )}\;$ du fonctionnement redresseur simple alternance positif :

« si $\;u_{E}(t)>0\;$ », la diode est « polarisée en direct » ^[60] et
$\;\succ \;$ « si $\;u_{E}(t)>U_{\text{seuil}}\;$ » elle est « vraisemblablement passante » ^[60], la tension $\;u_{S}(t)=u_{E}(t)-U_{\text{seuil}}\;$ par loi de maille est effectivement positive par hypothèse $\;u_{E}(t)>U_{\text{seuil}}\;$ et l'intensité $\;i_{S}(t)={\dfrac {u_{S}(t)}{R_{u}}}\;$ étant aussi $\;>0\;$ valide le caractère « passant » de la diode $\;{\big (}$ et aussi le caractère « polarisée en direct » ${\big )}\;$ d'où « $\;u_{E}(t)>U_{\text{seuil}}\;\Rightarrow \;u_{S}(t)=u_{E}(t)-U_{\text{seuil}}\;$ », alors que
$\;\succ \;$ « si $\;0<u_{E}(t)<U_{\text{seuil}}\;$ » elle est « vraisemblablement bloquante » ^[60], l'intensité $\;i_{S}(t)=0\;$ par même intensité dans des éléments en série et la tension $\;u_{S}(t)=R_{u}\;i_{S}(t)=0\;$ par loi d'Ohm, la tension aux bornes de la diode se déterminant par loi de maille selon $\;u_{D}=u_{E}(t)-u_{S}(t)\;$ et s'écrivant encore $\;u_{D}=u_{E}(t)\;$ laquelle étant $\;<\;$ à $\;U_{\text{seuil}}\;$ valide le caractère « bloquant » de la diode $\;{\big (}$ et aussi le caractère « polarisée en direct » par $\;u_{D}>0{\big )}\;$ d'où « $\;0<u_{E}(t)<U_{\text{seuil}}\;\Rightarrow \;u_{S}(t)=0\;$ » ;
« si $\;u_{E}(t)<0\;$ », la diode est « polarisée en inverse » ^[60] et par suite est « bloquante » ^[61], l'intensité $\;i_{S}(t)=0\;$ par même intensité dans des éléments en série et la tension $\;u_{S}(t)=R_{u}\;i_{S}(t)=0\;$ par loi d'Ohm, la tension aux bornes de la diode se déterminant par loi de maille selon $\;u_{D}=u_{E}(t)-u_{S}(t)\;$ et s'écrivant encore $\;u_{D}=u_{E}(t)\;$ laquelle étant $\;<0\;$ valide le caractère « polarisé en inverse » de la diode d'où « $\;u_{E}(t)<0\;\Rightarrow \;u_{S}(t)=0\;$ ».

En conclusion la tension de sortie est telle que « $\;u_{S}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}u_{E}(t)-U_{\text{seuil}}\;\;\,{\text{si }}\;u_{E}(t)>U_{\text{seuil}}\\0\qquad \qquad \qquad {\text{si }}\;u_{E}(t)<U_{\text{seuil}}\end{array}}\right\rbrace \;$ », c.-à-d. un redresseur simple alternance positif avec défaut de seuil ; ce défaut est minimisé si la valeur de crête positive de la tension d'entrée est grande devant la tension de seuil ^[55] c.-à-d. $\;u_{E,\,{\text{max}}}\gg U_{\text{seuil}}\;$ ^[62].

En bicourbe, tension d'entrée sinusoïdale de fréquence $\;f=$ $100\;Hz\;$ et d'amplitude $\;U_{e,\,{\text{max}}}=6\;V$ , tension de sortie d'un redresseur simple alternance positif avec défaut de seuil, la diode étant idéale avec une tension de seuil ^[55] $\;U_{\text{seuil}}=0,6\;V$

En courbe de Lissajous ^[63], tension d'entrée sinusoïdale de fréquence $\;f=$ $100\;Hz\;$ et d'amplitude $\;U_{e,\,{\text{max}}}=6\;V$ en abscisse et tension de sortie d'un redresseur simple alternance positif avec défaut de seuil en ordonnée, la diode étant idéale avec une tension de seuil ^[55] $\;U_{\text{seuil}}=0,6\;V$ , en pointillés la courbe de Lissajous avec redresseur simple alternance positif sans défaut de seuil

Ci-contre des deux côtés, avec une tension d'entrée sinusoïdale « $\;u_{E}(t)$ $=U_{e,\,{\text{max}}}\;\sin(2\,\pi \,f\,t)\;$ » avec « $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f=100\,Hz\\U_{e,\,{\text{max}}}=6\,V\end{array}}\right\rbrace \;$ »,

à gauche, en fonctionnement bicourbe $\;\left(y\,,\,t\right)$ , l'oscillogramme avec $\;u_{E}(t)\;$ sur la voie $\;CH1\;$ représentée en noir et $\;u_{S}(t)\;$ sur la voie $\;CH2\;$ représentée en rouge,
à droite, en fonctionnement $\;\left(x\,,\,y\right)$ , l'oscillogramme en courbe de Lissajous ^[63] $\;u_{E}(t)\;$ en abscisse obtenue par la voie $\;CH1\;$ et $\;u_{S}(t)\;$ en ordonnée obtenue par la voie $\;CH2$ .

Remarque : nous constatons que l'oscillogramme en bicourbe diffère, sur la voie $\;CH2$ , de celui d'un r.s.a.p. ^[64], on y observe un retrait de $\;U_{\text{seuil}}=0,6\;V\;$ sur la partie de la courbe pour $\;u_{E}(t)>U_{\text{seuil}}$ , le filtre obtenu étant appelé r.s.a.p. ^[64] avec défaut de seuil et

Remarque : nous constatons que la courbe de Lissajous ^[63] diffère de celle d'un r.s.a.p. ^[64] par la partie située dans le quadrant supérieur droit $\;{\big \{}$ pour un r.s.a.p. ^[64] la partie située dans le quadrant supérieur est portée par la 1^ère bissectrice, ici elle se compose d'un segment d'origine $\;(0\,,\,0)$ , de longueur $\;U_{\text{seuil}}$ , porté par l'axe des abscisses et d'une partie $\;\parallel \;$ à la 1^ère bissectrice issue de $\;\left(U_{\text{seuil}}\,,\,0\right)\!{\big \}}$ , cette courbe de Lissajous ^[63] est caractéristique d'un r.s.a.p. ^[64] avec défaut de seuil.

Caractère non linéaire du filtre « redresseur simple alternance »[modifier | modifier le wikicode]

Le filtre serait linéaire en A.R.Q.S. ^[65]^, ^[66] s'il y avait un lien d'équation différentielle linéaire à cœfficients constants entre la tension de sortie et la tension d'entrée, ce qui nécessiterait
Le filtre serait linéaire en A.R.Q.S. , s'il y avait un lien de proportionnalité en régime permanent, comme cette dernière condition n'est pas vérifiée, « le filtre n'est pas linéaire ».

Spectre d'un signal redressé simple alternance positif à tension d'entrée sinusoïdale[modifier | modifier le wikicode]

Spectre du signal de sortie d'un r.s.a.p. ^[64] avec un signal d'entrée sinusoïdal de fréquence $\;f=100\;Hz\;$ et d'amplitude $\;U_{e,\,{\text{max}}}=1\;V$

Nous supposons le redressement « sans défaut de seuil » ^[67], la décomposition en série de Fourier ^[68]^, ^[6] est alors assujettie à sa représentation fréquentielle ^[7] « $\;\left\lbrace C_{S,\,0}\;;\;{\underline {C_{s,\,p}}},\;p\in \mathbb {N} ^{*}\right\rbrace \;$ » ^[69] dont le spectre est représenté en rouge ci-contre en superposition du spectre du signal d'entrée en noir $\;{\big (}$ une seule raie à $\;f=100\;Hz{\big )}$ ,
la représentation fréquentielle ^[7] « $\;\left\lbrace C_{S,\,0}\;;\;{\underline {C_{s,\,p}}},\;p\in \mathbb {N} ^{*}\right\rbrace \;$ » ^[69] du signal de sortie étant :

« $\;C_{S,\,0}={\dfrac {U_{e,\,{\text{max}}}}{\pi }}\;$ » composante permanente représentant la valeur moyenne du signal redressé simple alternance positif,
« $\;{\underline {C_{s,\,1}}}=-j\,{\dfrac {U_{e,\,{\text{max}}}}{2}}\;$ » $\Rightarrow$ l'« harmonique fondamental $\;{\dfrac {U_{e,\,{\text{max}}}}{2}}\;\cos \!\left(2\,\pi \,f\,t-{\dfrac {\pi }{2}}\right)={\dfrac {U_{e,\,{\text{max}}}}{2}}\;\sin \!\left(2\,\pi \,f\,t\right)\;$ »,
« $\;{\underline {C_{s,\,2\,k+1}}}=0,\;\;\forall \;k\in \mathbb {N} ^{*}\;$ » $\Rightarrow$ l'harmonique fondamental est le seul harmonique de rang impair non nul,
« $\;{\underline {C_{s,\,2\,k}}}=-{\dfrac {2\;U_{e,\,{\text{max}}}}{\pi \left(4\,k^{2}-1\right)}},\;\;\forall \;k\in \mathbb {N} ^{*}\;$ » ^[70] d'où l'« harmonique de rang pair $\;{\big (}$ plus précisément de rang $\;2\;k,\;k\in \mathbb {N} ^{*}{\big )}\;$ selon $\;-{\dfrac {2\;U_{e,\,{\text{max}}}}{\pi \left(4\,k^{2}-1\right)}}\;\cos \!\left(4\,k\,\pi \,f\,t\right),\;k\in \mathbb {N} ^{*}\;$ ».

Caractéristique spectrale d'un filtrage non linéaire[modifier | modifier le wikicode]

Un filtrage non linéaire réalise « un enrichissement du spectre du signal de sortie » relativement à celui du signal d'entrée ${\big (}$ on trouve dans le signal de sortie des fréquences qui n'existaient pas dans le signal d'entrée ${\big )}$ ;
sur l'exemple ci-dessus le spectre du signal d'entrée est composé d'une raie, alors qu'il y a un nombre discret de raies dans le signal de sortie.

Redresseur double alternance[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'un redresseur double alternance[modifier | modifier le wikicode]

Définition

Un redresseur double alternance est un quadripôle pour lequel $\;u_{S}(t)=\vert u_{E}(t)\vert =\left\lbrace {\begin{array}{l}u_{E}(t)\quad \;{\text{si }}\;u_{E}(t)>0\\-u_{E}(t)\;\,{\text{si }}\;u_{E}(t)<0\end{array}}\right\rbrace$ .

Tentative de réalisation pratique d'un redresseur double alternance[modifier | modifier le wikicode]

À l'aide d'un pont de quatre diodes à jonction dit « pont de Graetz » ^[71] $\;{\big (}$ voir schéma ci-contre où le quadripôle limité par des tiretés définit le redresseur double alternance ^[72] ${\big )}$ , la tension de seuil des diodes supposées identiques ^[55] étant « $\;U_{\text{seuil}}$ $\simeq 0,6\,V\;$ » et la résistance dynamique ^[56] dans le sens passant « $\;r_{d}\simeq 1\,\Omega \;$ », la résistance de la charge $\;R_{u}\;$ étant choisie « de façon à être grande devant $\;r_{d}\;$ » et « telle que l'intensité du courant traversant chaque diode soit inférieure à son maximum toléré $\;I_{{\text{max}},\,d}$ $\simeq 150\,mA\;$ ^[57] » ;

les diodes à jonction sont montées de telle sorte que, suivant la polarisation de la tension d'entrée, le courant éventuel traverse la charge toujours dans le même sens, en effet il traverse

soit une diode $\;D_{1}$ , la charge et une diode $\;D_{2}$ ,
soit une diode $\;D_{3}$ , la charge dans le même sens et une diode $\;D_{4}$ ;

l'amplitude du signal d'entrée pouvant atteindre $\;10\,V$ , le calcul de la valeur minimale de la résistance d'utilisation pour que l'amplitude de l'intensité du courant dans le circuit ne dépasse pas $\;150\,mA\;$ s'obtient par la même méthode que celle utilisée lors de la « tentative de réalisation pratique d'un redresseur simple alternance » plus haut dans ce chapitre, impliquant « $\;R_{u}>{\dfrac {U_{S,\,m}}{I_{{\text{max}},\,d}}}\;$ » et dont l'inégalité est réalisée si « $\;R_{u}>{\dfrac {U_{E,\,m}}{I_{{\text{max}},\,d}}}={\dfrac {10}{0,15}}\simeq 67\;\Omega \;$ » ^[58] ;

nous choisissons $\;R_{u}=100\,\Omega \;$ dont une conséquence est que « $\;r_{d}\ll R_{u}\;$ » et
nous choisissons $\;\color {transparent}{R_{u}=100\,\Omega }\;$ dont une autre est que nous pouvons adopter le « modèle idéal avec seuil » ^[59] pour les diodes à jonction.

Justification $\;{\big (}$ ou non ${\big )}\;$ du fonctionnement redresseur double alternance :

« si $\;u_{E}(t)>0\;$ », $\;u(t)\;$ l'est aussi ^[73],
« si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)>0}\;$ », si le pont de diodes conduit, « $\;i(t)\;$ est $\;>0\;$ » ^[60] $\Rightarrow$
« si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)>0}\;$ », $\;\succ \;$ la diode $\;D_{4}\;$ est bloquante ^[74] et la diode $\;D_{1}\;$ passante ^[74] si la tension $\;u_{d,\,1}(t)\;$ est suffisante ;
« si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)>0}\;$ », $\;\succ \;$ à la sortie de la diode $\;D_{1}$ , la diode $\;D_{3}\;$ étant bloquante ^[74], le courant $\;{\big (}$ en rouge sur le schéma ${\big )}\;$ traverse le conducteur ohmique de résistance $\;R_{u}\;$ dans le sens $\;+\;$ de $\;i_{S}\;$ d'où « $\;i_{S}(t)=i(t)\;$ » puis traverse la diode $\;D_{2}\;$ qui est passante ^[74] si la tension $\;u_{d,\,2}(t)\;$ est, là encore, suffisante ;
« si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)>0}\;$ », $\;\color {transparent}{\succ }\;$ dans ce cas on a « $\;u(t)=u_{d,\,1}(t)+u_{S}(t)+u_{d,\,2}(t)=2\;U_{\text{seuil}}+u_{S}(t)\;$ » soit finalement « $\;u_{S}(t)=u_{E}(t)-2\;U_{\text{seuil}}\;$ » ^[75] ;
« si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)>0}\;$ », il faut valider que le pont de diodes conduit en vérifiant « $\;i(t)>0\;$ »,
« si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)>0}\;$ », il faut valider que le pont de diodes conduit or « $\;u(t)=2\;U_{\text{seuil}}+u_{S}(t)=2\;U_{\text{seuil}}+R_{u}\;i_{S}(t)\;$ » $\Rightarrow$ « $\;i_{S}(t)={\dfrac {u(t)-2\;U_{\text{seuil}}}{R_{u}}}=i(t)>0\;$ » si « $\;u(t)=u_{E}(t)>2\;U_{\text{seuil}}\;$ » ;
« si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)>0}\;$ », il faut valider que le pont de diodes conduit dans le cas où « $\;0<u_{E}(t)<2\;U_{\text{seuil}}\;$ », la seule possibilité est « $\;i(t)=0\;$ » ${\big (}$ toutes les diodes sont bloquantes ${\big )}$ ,
« si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)>0}\;$ », il faut valider que le pont de diodes conduit dans le cas où « $\;\color {transparent}{0<u_{E}(t)<2\;U_{\text{seuil}}}\;$ », aucun courant ne traverse le conducteur ohmique de résistance $\;R_{u}\;$ d'où « $\;i_{S}(t)=0\;$ » et
« si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)>0}\;$ », il faut valider que le pont de diodes conduit dans le cas où « $\;\color {transparent}{0<u_{E}(t)<2\;U_{\text{seuil}}}\;$ », aucun courant ne traverse le conducteur ohmique de résistance $\;\color {transparent}{R_{u}}\;$ d'où « $\;u_{S}(t)=0\;$ » aussi ;
« si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)>0}\;$ », en résumé « $\;u_{S}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}u_{E}(t)-2\;U_{\text{seuil}}\;\;{\text{si }}\;u_{E}(t)>2\;U_{\text{seuil}}\\0\qquad \qquad \qquad \;\;{\text{si }}\;0<u_{E}(t)<2\;U_{\text{seuil}}\end{array}}\right\rbrace \;$ » ;
« si $\;u_{E}(t)<0\;$ », $\;u(t)\;$ l'est aussi ^[73] et « $\;-u(t)\;$ est $\;>0\;$ »,
« si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)<0}\;$ », si le pont de diodes conduit, « $\;i'(t)=-i(t)\;$ est $\;>0\;$ » ^[60] $\Rightarrow$
« si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)<0}\;$ », $\;\succ \;$ la diode $\;D_{2}\;$ est bloquante ^[74] et la diode $\;D_{3}\;$ passante ^[74] si la tension $\;u_{d,\,3}(t)\;$ est suffisante ;
« si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)<0}\;$ », $\;\succ \;$ à la sortie de la diode $\;D_{3}$ , la diode $\;D_{2}\;$ étant bloquante ^[74], le courant $\;{\big (}$ en bleu sur le schéma ${\big )}\;$ traverse le conducteur ohmique de résistance $\;R_{u}\;$ dans le sens $\;+\;$ de $\;i_{S}\;$ d'où « $\;i_{S}(t)=i'(t)=-i(t)>0\;$ » puis traverse la diode $\;D_{4}\;$ qui est passante ^[74] si la tension $\;u_{d,\,4}(t)\;$ est, là encore, suffisante ;
« si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)<0}\;$ », $\;\color {transparent}{\succ }\;$ dans ce cas on a « $\;-u(t)=u_{d,\,3}(t)+u_{S}(t)+u_{d,\,4}(t)=2\;U_{\text{seuil}}+u_{S}(t)\;$ » soit finalement « $\;u_{S}(t)=-u_{E}(t)-2\;U_{\text{seuil}}\;$ » ^[76] ;
« si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)<0}\;$ », il faut valider que le pont de diodes conduit en vérifiant « $\;i'(t)>0\;$ » ${\big [}$ ou « $\;i(t)=-i'(t)<0\;$ » ${\big ]}$ ,
« si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)<0}\;$ », il faut valider que le pont de diodes conduit or « $\;-u(t)=2\;U_{\text{seuil}}+u_{S}(t)=2\;U_{\text{seuil}}+R_{u}\;i_{S}(t)\;$ » $\Rightarrow$ « $\;i_{S}(t)={\dfrac {-u(t)-2\;U_{\text{seuil}}}{R_{u}}}=i'(t)>0\;$ » si $\;\cdots$
« si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)<0}\;$ », il faut valider que le pont de diodes conduit or « $\;\color {transparent}{-u(t)=2\;U_{\text{seuil}}+u_{S}(t)=2\;U_{\text{seuil}}+R_{u}\;i_{S}(t)}\;$ » $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « $\;-u(t)=-u_{E}(t)>2\;U_{\text{seuil}}\;$ » $\Leftrightarrow$ « $\;u_{E}(t)<-2\;U_{\text{seuil}}\;$ » ;
« si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)<0}\;$ », il faut valider que le pont de diodes conduit dans le cas où « $\;-2\;U_{\text{seuil}}<u_{E}(t)<0\;$ », la seule possibilité est « $\;i'(t)=0\;$ » ${\big (}$ toutes les diodes sont bloquantes ${\big )}$ ,
« si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)<0}\;$ », il faut valider que le pont de diodes conduit dans le cas où « $\;\color {transparent}{-2\;U_{\text{seuil}}<u_{E}(t)<0}\;$ », aucun courant ne traverse le conducteur ohmique de résistance $\;R_{u}\;$ d'où « $\;i_{S}(t)=0\;$ » et
« si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)<0}\;$ », il faut valider que le pont de diodes conduit dans le cas où « $\;\color {transparent}{-2\;U_{\text{seuil}}<u_{E}(t)<0}\;$ », aucun courant ne traverse le conducteur ohmique de résistance $\;\color {transparent}{R_{u}}\;$ d'où « $\;u_{S}(t)=0\;$ » ;
« si $\;\color {transparent}{u_{E}(t)<0}\;$ », en résumé « $\;u_{S}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}-u_{E}(t)-2\;U_{\text{seuil}}\;\;{\text{si }}\;u_{E}(t)<-2\;U_{\text{seuil}}\\0\qquad \qquad \qquad \quad \;{\text{si }}\;-2\;U_{\text{seuil}}<u_{E}(t)<0\end{array}}\right\rbrace \;$ ».

     En conclusion « $\;u_{S}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}u_{E}(t)-2\;U_{\text{seuil}}\quad \;{\text{si }}\;u_{E}(t)>2\;U_{\text{seuil}}\\0\qquad \qquad \qquad \quad \;{\text{si }}\;-2\;U_{\text{seuil}}<u_{E}(t)<2\;U_{\text{seuil}}\\-u_{E}(t)-2\;U_{\text{seuil}}\;\;{\text{si }}\;u_{E}(t)<-2\;U_{\text{seuil}}\end{array}}\right\rbrace \;$ » ou,
     En conclusion « $\;u_{S}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}\vert u_{E}(t)\vert -2\;U_{\text{seuil}}\;\;\,{\text{si }}\;\vert u_{E}(t)\vert >2\;U_{\text{seuil}}\\0\qquad \qquad \qquad \quad \;{\text{si }}\;\vert u_{E}(t)\vert <2\;U_{\text{seuil}}\end{array}}\right\rbrace \;$ » sachant que $\;\vert u_{E}(t)\vert =\left\lbrace {\begin{array}{l}u_{E}(t)\quad \,\,{\text{si }}\;u_{E}(t)>0\\-u_{E}(t)\;\;{\text{si }}\;u_{E}(t)<0\end{array}}\right\rbrace$ , c.-à-d. que
     En conclusion c'est la tension de sortie d'un redresseur double alternance avec défaut de seuil ; ce défaut est minimisé si la valeur de crête positive de la tension d'entrée ainsi que la valeur absolue de la valeur de crête négative de la tension d'entrée sont grandes devant deux fois la tension de seuil ^[55] c.-à-d. $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}u_{E,\,{\text{max}}}\\{\text{et}}\\\vert u_{E,\,{\text{min}}}\vert \end{array}}\right\rbrace \gg 2\;U_{\text{seuil}}\;$ ^[77].

En bicourbe, tension d'entrée sinusoïdale de fréquence $\;f=$ $100\;Hz\;$ et d'amplitude $\;U_{e,\,{\text{max}}}=6\;V$ , tension de sortie d'un redresseur double alternance avec défaut de seuil, la diode étant idéale avec une tension de seuil ^[55] $\;U_{\text{seuil}}=0,6\;V$

Ci-contre des deux côtés, avec une tension d'entrée sinusoïdale « $\;u_{E}(t)$ $=U_{e,\,{\text{max}}}\;\sin(2\,\pi \,f\,t)\;$ » avec « $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f=100\,Hz\\U_{e,\,{\text{max}}}=6\,V\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[78],

à gauche, en fonctionnement bicourbe $\;\left(y\,,\,t\right)$ , l'oscillogramme avec $\;u_{E}(t)\;$ sur la voie $\;CH1\;$ représentée en noir et $\;u_{S}(t)\;$ sur la voie $\;CH2\;$ représentée en rouge,
à droite, en fonctionnement $\;\left(x\,,\,y\right)$ , l'oscillogramme en courbe de Lissajous ^[63] $\;u_{E}(t)\;$ en abscisse obtenue par la voie $\;CH1\;$ et $\;u_{S}(t)\;$ en ordonnée obtenue par la voie $\;CH2$ .

Remarque : nous constatons que l'oscillogramme en bicourbe diffère, sur la voie $\;CH2$ , de celui d'un r.d.a. ^[79], on y observe un retrait de $\;2\;U_{\text{seuil}}=1,2\;V\;$ sur la partie de la courbe pour $\;u_{E}(t)>U_{\text{seuil}}$ ainsi que sur la partie de la courbe inversée pour $\;u_{E}(t)<-U_{\text{seuil}}$ , le filtre obtenu étant appelé r.d.a. ^[79] avec défaut de seuil et

Remarque : nous constatons que la courbe de Lissajous ^[63] diffère de celle d'un r.d.a. ^[79] par la partie située dans le quadrant supérieur droit $\;{\big \{}$ pour un r.d.a. ^[79] la partie située dans le quadrant supérieur droit est portée par la 1^ère bissectrice, ici elle se compose d'un segment d'origine $\;(0\,,\,0)$ , de longueur $\;2\;U_{\text{seuil}}$ , porté par l'axe des abscisses et d'une partie $\;\parallel \;$ à la 1^ère bissectrice issue de $\;\left(2\;U_{\text{seuil}}\,,\,0\right)\!{\big \}}\;$ ainsi que par la partie située dans le quadrant supérieur gauche $\;{\big \{}$ pour un r.d.a. ^[79] la partie située dans le quadrant supérieur gauche est portée par la 2^ème bissectrice, ici elle se compose d'un segment d'origine $\;(0\,,\,0)$ , de longueur $\;2\;U_{\text{seuil}}$ , porté par l'axe des abscisses mais en sens inverse et d'une partie $\;\parallel \;$ à la 2^ème bissectrice issue de $\;\left(-2\;U_{\text{seuil}}\,,\,0\right)\!{\big \}}$ , cette courbe de Lissajous ^[63] est caractéristique d'un r.d.a. ^[79] avec défaut de seuil.

Caractère non linéaire du filtre « redresseur double alternance »[modifier | modifier le wikicode]

Là encore le filtre serait linéaire en A.R.Q.S. ^[65]^, ^[66] s'il y avait un lien d'équation différentielle linéaire à cœfficients constants entre la tension de sortie et la tension d'entrée, ce qui nécessiterait
Là encore le filtre serait linéaire en A.R.Q.S. , s'il y avait un lien de proportionnalité en régime permanent, comme cette dernière condition n'est pas vérifiée, « le filtre n'est pas linéaire ».

Spectre d'un signal redressé double alternance à tension d'entrée sinusoïdale[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : les harmoniques de la réponse d'un filtre à un signal d'entrée périodique sont toujours définis relativement à la fréquence du signal d'entrée,
     Préliminaire : pour un filtre linéaire, le signal de sortie étant périodique de même fréquence que le signal d'entrée, ses harmoniques sont aussi définis relativement à la fréquence du signal de sortie mais
     Préliminaire : pour un filtre non linéaire, si le signal de sortie est périodique, sa fréquence n'est pas nécessairement celle du signal d'entrée et dans ce cas ses harmoniques définis relativement à la fréquence du signal d'entrée ont un rang différent de celui qu'ils auraient si ses harmoniques étaient définis relativement à la fréquence du signal qu'ils constituent $\;{\big \{}$ en définissant les harmoniques du signal de sortie relativement à la fréquence du signal d'entrée, l'harmonique fondamental du signal de sortie est la sortie de l'harmonique fondamental du signal d'entrée et non l'harmonique de même fréquence que celle du signal de sortie étudié, c'est le cas du filtre r.d.a. ^[79] ${\big \}}$ , de plus
     Préliminaire : pour un filtre non linéaire, il est possible que le signal de sortie ne soit pas périodique, dans ce cas le développement en série de Fourier ^[6] doit être remplacé par un développement en intégrale de Fourier ^[11] et la notion de rang d'harmonique pour le signal de sortie n'a plus de sens $\;\ldots$

Spectre du signal de sortie d'un r.d.a. ^[79] avec un signal d'entrée sinusoïdal de fréquence $\;f=100\;Hz\;$ et d'amplitude $\;U_{e,\,{\text{max}}}=1\;V$

Spectres $\;{\big (}$ en rouge ${\big )}\;$ du signal de sortie d'un r.d.a. ^[79] et $\;{\big (}$ en bleu ${\big )}\;$ du signal de sortie d'un r.s.a.p. ^[64], tous deux avec un signal d'entrée sinusoïdal de fréquence $\;f=100\;Hz\;$ et d'amplitude $\;U_{e,\,{\text{max}}}=1\;V$

Nous supposons le redressement « sans défaut de seuil » ^[80], la décomposition en série de Fourier ^[68]^, ^[6] est alors assujettie à sa représentation fréquentielle ^[7] « $\;\left\lbrace C_{S,\,0}\;;\;{\underline {C_{s,\,p}}},\;p\in \mathbb {N} ^{*}\right\rbrace \;$ » ^[69] pour laquelle les harmoniques du signal redressé double alternance sont définis relativement à la fréquence du signal d'entrée et dont le spectre est représenté en rouge ci-contre en superposition du spectre du signal d'entrée en noir $\;{\big (}$ une seule raie à $\;f=100\;Hz{\big )}$ ,
la représentation fréquentielle ^[7] « $\;\left\lbrace C_{S,\,0}\;;\;{\underline {C_{s,\,p}}},\;p\in \mathbb {N} ^{*}\right\rbrace \;$ » ^[69] du signal de sortie étant :

« $\;C_{S,\,0}={\dfrac {2\;U_{e,\,{\text{max}}}}{\pi }}\;$ » ^[81] composante permanente représentant la valeur moyenne du signal redressé double alternance,
« $\;{\underline {C_{s,\,1}}}=0\;$ » $\Rightarrow$ il n'y a pas d'harmonique de fréquence égale à celle du signal d'entrée $\;{\bigg \{}$ la justification est que le signal redressé double alternance étant de « période $\;T_{s}={\dfrac {T}{2}}\;$ », sa fréquence est « $\;f_{s}=2\;f\;$ » d'où l'harmonique fondamental du redressé double alternance $\;{\big (}$ défini relativement à la fréquence de ce dernier et non relativement à la fréquence du signal d'entrée ${\big )}\;$ est de fréquence « $\;f_{s}=2\;f\;$ » ce qui correspond à l'harmonique de rang $\;2\;$ du redressé double alternance $\;{\big (}$ défini relativement à la fréquence du signal d'entrée et non relativement à la fréquence du signal de sortie étudié ${\big )}{\bigg \}}\;\ldots$
« $\;{\underline {C_{s,\,2\,k+1}}}=0,\;\;\forall \;k\in \mathbb {N} \;$ » $\Rightarrow$ il n'y a donc pas d'harmoniques de rang impair du signal redressé double alternance $\;{\big (}$ définis relativement à la fréquence du signal d'entrée et non relativement à la fréquence du signal de sortie étudié ${\big )}$ $\;{\bigg \{}$ ceci résultant du fait qu'un harmonique de rang impair selon la référence précédente ne peut être un multiple de la fréquence du signal redressé double alternance car $\;{\dfrac {(2\,k+1)\;f}{f_{s}}}={\dfrac {2\,k+1}{2}}\not \in \mathbb {N} {\bigg \}}\;\ldots$
« $\;{\underline {C_{s,\,2\,k}}}=-{\dfrac {4\;U_{e,\,{\text{max}}}}{\pi \left(4\,k^{2}-1\right)}},\;k\in \mathbb {N} ^{*}\;$ » ^[82] d'où l'« harmonique de rang pair $\;{\big (}$ plus précisément de rang $\;2\;k,\;k\in \mathbb {N} ^{*}{\big )}\;$ ${\big (}$ défini relativement à la fréquence du signal d'entrée et non relativement à la fréquence du signal de sortie étudié ${\big )}\;$ s'écrivant $\;-{\dfrac {4\;U_{e,\,{\text{max}}}}{\pi \left(4\,k^{2}-1\right)}}\;\cos \!\left(4\,k\,\pi \,f\,t\right),\;k\in \mathbb {N} ^{*}\;$ » $\Rightarrow$ l'harmonique de rang $\;2\;$ ${\big (}$ défini relativement à la fréquence du signal d'entrée et non relativement à la fréquence du signal de sortie étudié ${\big )}\;$ du signal redressé double alternance $\;{\big \{}$ c.-à-d. son harmonique fondamental $\;{\big (}$ défini relativement à sa fréquence et non à la fréquence du signal d'entrée ${\big )}{\big \}}\;$ « $-{\dfrac {4\;U_{e,\,{\text{max}}}}{3\;\pi }}\;\cos \!\left(4\,\pi \,f\,t\right)\;$ » ^[83].

ci-contre le spectre du signal de sortie d'un r.d.a. ^[79] en rouge en superposition des spectres du signal d'entrée en noir et du signal de sortie d'un r.s.a.p. ^[64] en bleu $\;{\big \{}$ mis à part l'absence d'harmonique de fréquence $\;100\;Hz\;$ dans le signal de sortie d'un r.d.a. ^[79] alors qu'il est présent dans le signal de sortie d'un r.s.a.p. ^[64], tous les harmoniques du signal de sortie d'un r.d.a. ^[79] ont une amplitude double des harmoniques de même fréquence du signal de sortie d'un r.s.a.p ^[64] pour un même signal d'entrée ${\big \}}$ .

Caractéristique spectrale d'un filtrage non linéaire[modifier | modifier le wikicode]

Là encore on constate qu'un filtrage non linéaire réalise « un enrichissement du spectre du signal de sortie » relativement à celui du signal d'entrée $\;{\big (}$ on trouve dans le signal de sortie des fréquences qui n'existaient pas dans le signal d'entrée ${\big )}$ ;
sur l'exemple ci-dessus le spectre du signal d'entrée est composé d'une raie, alors qu'il y a un nombre discret de raies dans le signal de sortie.

Remarque : sur l'exemple du r.d.a. ^[79] on constate la disparition de la fréquence du signal d'entrée dans le spectre du signal de sortie ce qui a pour conséquence que la fréquence du signal de sortie est supérieure à celle du signal d'entrée $\;{\big (}$ plus précisément, sur cet exemple, la fréquence du signal de sortie est le double de la fréquence du signal d'entrée ${\big )}$ .

Quelques notions de filtrage en mécanique[modifier | modifier le wikicode]

La notion de filtrage n'est pas spécifique aux circuits électriques, elle existe dans tous les domaines de la physique dès lors qu'apparaissent des grandeurs variant avec le temps $\;{\big (}$ qu'elles soient périodiques ou non ${\big )}$ ;

dans le programme de physique de P.C.S.I., on se limite à évoquer le prolongement de la notion de filtrage dans le domaine mécanique $\;\ldots$

Analogue mécanique d'un « passe-bas » : « sismomètre » avec réponse en élongation d'une excitation ondulatoire pour un faible facteur de qualité[modifier | modifier le wikicode]

Revoir le paragraphe « analogie électromagnétique, résonance en élongation d'un oscillateur mécanique amorti par frottement fluide linéaire soumis à une force excitatrice sinusoïdale » du chap. $4$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) », on rappelle qu'il s'agit d'un « passe-bas sans résonance » si le facteur de qualité $\;Q\lesssim {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;\ldots$

Voir aussi les articles de wikipédia sur les sismomètres et sur la mesure en sismologie $\;\ldots$

Sur le site « http://lyc.lumiere.luxeuil.free.fr/lycee_lumiere/import/SitesIn/physique/sismologie/EOST/fiche3/sismo_int.htm » est développé le fonctionnement d'un sismomètre $\;\ldots$

Analogue mécanique d'un « passe-haut » : « accéléromètre » avec réponse en accélération d'une excitation ondulatoire pour un faible facteur de qualité[modifier | modifier le wikicode]

Revoir le paragraphe « établissement du gabarit d'un 2^ème ordre du type “ réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante ”, condition pour l'utiliser en double dérivateur » du chap. $8$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » ainsi que l'exercice « réponse en tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable, lien avec la réponse en tension aux bornes du condensateur » de la série d'exercices du chap. $4$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) », on rappelle qu'il s'agit d'un « passe-haut sans résonance » si le facteur de qualité $\;Q\lesssim {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;\ldots$

Voir aussi l'article de wikipédia sur les accéléromètres et celui de wikiversity sur les capteurs d'accélération - accéléromètres $\;\ldots$

Analogue mécanique d'un « coupe-bande » : « amortisseur » avec réponse complémentaire de celle en vitesse d'une excitation ondulatoire[modifier | modifier le wikicode]

On se place dans le cas où on souhaite un amortissement important pour une fréquence particulièrement gênante, cette fréquence devant donc être la fréquence d'antirésonance du filtre ^[84], l'antirésonance étant réalisée quelle que soit la valeur du facteur de qualité, lequel représente l'acuité de l'antirésonance $\;\ldots$

Remarque : Un exemple cinématographique de passe-bande en mécanique ^[85] se trouve dans le film Le Salaire de la peur réalisé en $\;1952\;$ par Henri-Georges Clouzot (1907 - 1977) scénariste, dialoguiste, réalisateur et producteur de cinéma français ; on y observe le phénomène de résonance du camion relié à ses roues par suspension et excité sinusoïdalement par le passage de ses roues sur une tôle ondulée ^[86] à une certaine vitesse ; pour étudier plus simplement le phénomène il est intéressant d'introduire la notion de pseudo-force d'inertie d'entraînement voir ci-dessous :

Remarque : notion de pseudo-force d'inertie d'entraînement : la r.f.d.n. ^[87] appliquée à un solide ponctuel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ s'écrit, dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen ^[88], « $\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}(M,\,t)=$ $m\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}(M,\,t)\;$ » ^[89] dans laquelle $\;{\vec {F}}_{k}(M,\,t)\;$ est la force que le système $\;\left(\Sigma _{k}\right)\;$ exerce sur $\;M\;$ à l'instant $\;t$ $\;{\big \{}$ l'indice $_{k}\;$ définissant un des systèmes parmi tous ceux ayant une action sur $\;M{\big \}}\;$ et $\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}(M,\,t)\;$ le vecteur accélération de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen ;
Remarque : notion de pseudo-force d'inertie d'entraînement : dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ en translation de vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}({\mathcal {R}},\,t)\neq {\vec {0}}\;$ par rapport au référentiel galiléen ^[88]^, ^[90] pour lequel on peut appliquer la loi de composition des accélérations suivante « $\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}(M,\,t)={\vec {a}}_{{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}({\mathcal {R}},\,t)+{\vec {a}}_{\mathcal {R}}(M,\,t)\;$ » ^[91], la r.f.d.n. ^[87] peut être réécrit selon « $\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}(M,\,t)-m\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}({\mathcal {R}},\,t)=$ $m\;{\vec {a}}_{\mathcal {R}}(M,\,t)\;$ », c.-à-d. que la r.f.d.n. ^[87] est encore applicable dans $\;{\mathcal {R}}\;$ référentiel non galiléen en translation par rapport $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ ${\big (}$ référentiel galiléen ${\big )}\;$ à condition d'ajouter aux forces appliquées $\;{\big (}$ invariantes par changement de référentiel ${\big )}\;$ une pseudo-force dite d'inertie d'entraînement $\;{\vec {f}}_{\text{inertie d'entraîn}}(M,\,t)=-m\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}({\mathcal {R}},\,t)\;$ ${\big [}$ cette pseudo-force ne dépendant que de la masse de $\;M\;$ et non du mouvement de ce dernier dans l'un ou l'autres des deux référentiels ${\big ]}$ , la r.f.d.n. ^[87] appliqué à $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ s'écrivant alors « $\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}(M,\,t)+{\vec {f}}_{\text{inertie d'entraîn}}(M,\,t)=m\;{\vec {a}}_{\mathcal {R}}(M,\,t)\;$ » ;

Remarque : appliqué à l'exemple du camion relié à ses roues par suspension et passant sur une tôle ondulée ^[86] à une certaine vitesse, on simplifie l'étude en la menant dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ lié aux centres d'inertie des roues, référentiel non galiléen car en translation de mouvement vertical oscillant par rapport au référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ se déplaçant à vitesse constante horizontale relativement à l'hypothétique route horizontale, le châssis $\;{\mathcal {C}}\;$ du camion étant alors soumis aux composantes verticales des forces ^[92] suivantes

actions des ressorts liés aux axes des roues,
composante verticale de la résistance à l'avancement dans l'air $\;{\big (}$ nous supposons cette résistance linéaire ${\big )}$ ,

Remarque : mais le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ étant non galiléen et en translation par rapport à un galiléen il faut ajouter, pour appliquer la r.f.d.n. ^[87] au châssis $\;{\mathcal {C}}\;$ du camion, une pseudo-force d'inertie d'entraînement $\;{\vec {f}}_{\text{inertie d'entraîn}}({\mathcal {C}},\,t)=$ $-m_{\mathcal {C}}\;{\vec {a}}_{{\mathcal {R}}_{\text{gal}}}({\mathcal {R}},\,t)$ laquelle joue le rôle de « force » excitatrice verticale sinusoïdale $\;{\big (}$ la fréquence d'excitation ^[33] étant proportionnelle à la vitesse de déplacement de $\;{\mathcal {R}}_{g}\;$ par rapport à la route horizontale ${\big )}$ $\;{\big \{}$ voir aussi le paragraphe « analogie électromécanique d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable : pendule élastique amorti par frottement fluide linéaire auquel on applique une force sinusoïdale d'amplitude constante et de fréquence variable selon l'axe du ressort (façon la plus simple d'obtenir l'équivalent d'une force excitatrice sinusoïdale …) » du chap. $4$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » ${\big \}}$ .

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

↑ Dans la mesure où ces propriétés sont compatibles bien sûr.
↑ En effet l'impédance d'entrée d'un étage servant d'impédance de charge de l'étage précédent, celle-ci n'intervient pas pour le 1^er étage à défaut d'étage le précédant.
↑ Pour tous les étages sauf le dernier la raison est la fermeture sur une impédance d'entrée de l'étage suivant quasi infinie alors que pour le dernier étage la raison est l'existence d'une impédance de sortie quasi nulle $\;{\big (}$ pour les tous les étages sauf le dernier il n'est donc pas nécessaire d'avoir une impédance de sortie quasi nulle dans la mesure où l'impédance d'entrée de l'étage suivant est quasi infinie ${\big )}$ .
↑ Revoir le paragraphe « définition de l'impédance complexe itérative (ou des impédances complexes itératives) d'un Q.L.P. » du chap. $7$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ Revoir le paragraphe « système linéaire à plusieurs étages identiques, le dernier étage étant fermé sur son impédance complexe itérative » du chap. $7$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ ^6,0 ^6,1 ^6,2 ^6,3 ^6,4 ^6,5 et ^6,6 Joseph Fourier (1768 – 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes (évoqués ici) et leur application au problème de la propagation de la chaleur $\ldots$
↑ ^7,0 ^7,1 ^7,2 ^7,3 et ^7,4 Voir le paragraphe « analyse spectrale d'un signal périodique (représentation fréquentielle d'un signal périodique) » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ $\;C_{0,\,E}\;$ étant l'éventuelle composante permanente et $\;{\underline {C_{p,\,e}}}\;$ la valeur efficace complexe de l'harmonique de rang $\;p\;$ ${\big (}$ de fréquence $\;p\,f_{e}{\big )}$ .
↑ Ce qui est le cas par exemple pour un signal créneau symétrique impair « $\;C_{0,\,E}=0$ , $\;{\underline {C_{2\,k+1,\,e}}}={\dfrac {-2\,j\,U_{m}\,{\sqrt {2}}}{\pi \left(2\,k+1\right)}},\;k\in \mathbb {N} \;$ et $\;{\underline {C_{2\,k,\,e}}}=0,\;k\in \mathbb {N} ^{*}\;$ » $\;{\Big \{}$ voir les paragraphes « exemple d'un signal créneau symétrique (preuve des valeurs d'amplitudes - en complément) » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » et « passage du 1^er au 2^nd développement en série de Fourier » du chap. $5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » où ce sont, dans ces paragraphes, les amplitudes de la réponse fréquentielle et non les valeurs efficaces qui sont fournies, d'où la nécessité de diviser ces résultats par $\;{\sqrt {2}}\;$ en maintenant la signification de valeur de crête supérieure du créneau pour $\;U_{m}$ , la valeur efficace complexe étant définie à partir des cœfficients du 2^ème développement en série de Fourier par $\;{\underline {C_{p,\,e}}}=C_{p,\,e}\;\exp \!\left(j,\,\varphi _{p,\,e}\right),\,p\in \mathbb {N} ^{*}\;$ ou, à partir de ceux du 1^er $\;{\underline {C_{p,\,e}}}=A_{p,\,e}-j\,B_{p,\,e},\,p\in \mathbb {N} ^{*}{\Big \}}$ ; la représentation temporelle du créneau définie selon « $\;\sum \limits _{k\,=\,0}^{\infty }\Re \!\left\lbrace {\underline {C_{2\,k+1,\,e}}}\,{\sqrt {2}}\,\exp \!\left[j\,2\,\pi \,f_{e}\left(2\,k+1\right)t\right]\right\rbrace \;$ » se réécrit, à l'aide de la représentation fréquentielle, sous forme réelle « $\;u_{\text{créneau}}(t)=\sum \limits _{k\,=\,0}^{\infty }\left\lbrace {\dfrac {4\,U_{m}}{\pi \left(2\,k+1\right)}}\;\sin \!\left[2\,\pi \,f_{e}\left(2\,k+1\right)t\right]\right\rbrace \;$ » ou
Ce qui est le cas par exemple pour un signal triangulaire symétrique impair « $\;C_{0,\,E}=0$ , $\;{\underline {C_{2\,k+1,\,e}}}={\dfrac {-4\,j\,U_{m}\,{\sqrt {2}}}{\pi ^{2}\left(2\,k+1\right)^{2}}},\;k\in \mathbb {N} \;$ et $\;{\underline {C_{2\,k,\,e}}}=0,\;k\in \mathbb {N} ^{*}\;$ » $\;{\Big \{}$ voir les paragraphes « exemple d'un signal triangulaire symétrique (preuve des valeurs d'amplitudes - en complément) » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » et « passage du 1^er au 2^nd développement en série de Fourier » du chap. $5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » où ce sont les amplitudes de la réponse fréquentielle et non les valeurs efficaces qui sont fournies, d'où la nécessité de diviser ces résultats par $\;{\sqrt {2}}\;$ en maintenant la signification de valeur de crête supérieure du triangulaire pour $\;U_{m}$ , la valeur efficace complexe étant définie à partir des cœfficients du 2^ème développement en série de Fourier par $\;{\underline {C_{p,\,e}}}=C_{p,\,e}\;\exp \!\left(j,\,\varphi _{p,\,e}\right),\,p\in \mathbb {N} ^{*}\;$ ou, à partir de ceux du 1^er $\;{\underline {C_{p,\,e}}}=A_{p,\,e}-j\,B_{p,\,e},\,p\in \mathbb {N} ^{*}{\Big \}}$ ; la représentation temporelle du triangulaire définie selon « $\;\sum \limits _{k\,=\,0}^{\infty }\Re \!\left\lbrace {\underline {C_{2\,k+1,\,e}}}\,{\sqrt {2}}\,\exp \!\left[j\,2\,\pi \,f_{e}\left(2\,k+1\right)t\right]\right\rbrace \;$ » se réécrit, à l'aide de la représentation fréquentielle, sous forme réelle « $\;u_{\text{triangul.}}(t)=\sum \limits _{k\,=\,0}^{\infty }\left\lbrace {\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}\left(2\,k+1\right)^{2}}}\;\sin \!\left[2\,\pi \,f_{e}\left(2\,k+1\right)t\right]\right\rbrace \;$ ».
↑ La principale différence lors du passage d'un signal périodique à un signal non périodique est que le spectre d'un signal non périodique est continu alors que celui d'un signal périodique est discret.
↑ ^11,0 et ^11,1 Voir le paragraphe « définition de la transformée de Fourier d'une fonction réelle d'une variable réelle intégrable » du chap. $26$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
le passage d'une fonction du temps $\;e(t)\;$ à sa représentation fréquentielle est appelée « transformation de Fourier » dont l'image de la fonction temporelle $\;e(t)\;$ est notée $\;{\mathcal {F}}\!\left\lbrace e\right\rbrace ={\underline {\widehat {e}}}\;$ et est définie selon « $\;{\underline {\widehat {e}}}(\omega )=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }e(t)\;\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\,dt\;$ », $\;{\mathcal {F}}\!\left\lbrace e\right\rbrace \;$ étant une fonction de la variable réelle $\;\omega$ ;
dans le cas physique où $\;e(t)\;$ est réelle, la transformée de Fourier obéit à « $\;{\underline {\widehat {e}}}(-\omega )=\left[{\underline {\widehat {e}}}(\omega )\right]^{*}\;$ » ${\big \{}$ la transformée de Fourier d'une fonction réelle est donc “ à symétrie hermitienne $\;{\big (}$ au sens des électroniciens ${\big )}\;$ ${\big [}$ voir la note « ⁴⁹ » du chap. $26$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ ” ${\big \}}\;$ donnant une signification aux valeurs négatives de la pulsation.
↑ $\;C_{0,\,E}\;$ étant l'éventuelle composante continue et $\;{\underline {\widehat {e}}}(\omega )\;d\omega \;$ l'amplitude complexe du quasi harmonique de pulsation $\;\omega \;$ à $\;d\omega \;$ près, $\;{\underline {\widehat {e}}}(\omega )\;$ étant la transformée de Fourier $\;{\big (}$ directe ${\big )}\;$ de $\;e(t)$ ;
avec $\;e(t)\;$ réelle et dans le cas $\;\omega <0$ , « $\;{\underline {\widehat {e}}}(\omega )\;d\omega =-{\underline {\widehat {e}}}(-\vert \omega \vert )\;d\vert \omega \vert =-\left[{\underline {\widehat {e}}}(\vert \omega \vert )\right]^{*}\;d\vert \omega \vert \;$ » d'après la note « ¹¹ » plus haut dans ce paragraphe, soit,
avec $\;\color {transparent}{e(t)}\;$ réelle en couplant les amplitudes complexes des quasi-harmoniques de pulsations opposées avec $\;\omega >0$ , « $\;{\underline {\widehat {e}}}(\omega )\;d\omega -{\underline {\widehat {e}}}(-\omega )\;d\omega =$ $\;\left\lbrace {\underline {\widehat {e}}}(\omega )-\left[{\underline {\widehat {e}}}(\omega )\right]^{*}\right\rbrace d\omega =2\;j\;\Im \!\left\lbrace {\underline {\widehat {e}}}(\omega )\right\rbrace \,d\omega \;$ » permettant de ramener le domaine de pulsations aux seules valeurs positives $\;\ldots$
↑ Voir le paragraphe « expression de la transformée de Fourier inverse d'une fonction complexe à symétrie hermitienne (au sens des électronciciens) d'une variable réelle sous conditions d'existence et d'intégrabilité » du chap. $26$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
le passage de la représentation fréquentielle $\;{\underline {\widehat {e}}}(\omega )\;$ de la variable réelle $\;\omega \;$ à sa représentation temporelle est appelée « transformation de Fourier inverse » et est notée « $\;{\mathcal {F}}^{-1}\!\left\lbrace {\underline {\widehat {e}}}\right\rbrace =e\;$ fonction de la variable réelle $\;t\;$ », elle est définie selon « $\;e(t)={\dfrac {1}{2\,\pi }}\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\underline {\widehat {e}}}(\omega )\;\exp \!\left(i\;\omega \;t\right)\,d\omega \;$ ».
↑ ^14,0 et ^14,1 Régime Sinusoïdal Forcé.
↑ C.-à-d. de monôme de degré zéro égal à $\;1$ .
↑ L'équation différentielle n'est pas normalisée au sens habituel de normalisation d'une équation différentielle, ici c'est le cœfficient de $\;{\underline {y_{s}}}(t)\;$ qui vaut $\;1$ , nous gardons cette forme d'équation différentielle dans la suite de l'exposé.
↑ ^17,00 ^17,01 ^17,02 ^17,03 ^17,04 ^17,05 ^17,06 ^17,07 ^17,08 et ^17,09 C.-à-d. le 2^nd membre de l'équation différentielle linéaire.
↑ ^18,0 ^18,1 et ^18,2 Si l'échelon d'entrée est un échelon de tension et, dans le cas où l'échelon d'entrée est un échelon de courant, on remplace $\;E\;$ par $\;I_{0}$ .
↑ Voir le paragraphe « échelon unité (ou fonction d'Heaviside) » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte, ayant commencé sa carrière en tant qu'opérateur de télégraphe, développé de façon intuitive le calcul opérationnel pour résoudre des équations différentielles en les transformant en équations algébriques, travaillé sur la propagation des courants électriques dans des conducteurs et développé la fonction portant son nom $\;{\big (}$ encore appelée échelon ou marche ${\big )}\;$ utilisée dans l'étude de systèmes en automatique.
↑ Voir le paragraphe « pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside) » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
   Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en $\;1933$ , on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français Laurent Schwartz (1915 - 2002) dans sa théorie des distributions ; Paul Dirac fut colauréat du prix Nobel de Physique en $\;1933\;$ pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à Erwin Schrödinger pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger.
   Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la mécanique quantique $\;{\big (}$ connu sous le nom de mécanique ondulatoire ${\big )}$ ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en $\;1933\;$ avec Paul Dirac lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à Erwin Schrödinger l'expérience de pensée proposée à Albert Einstein en $\;1935\;$ et connue sous le nom chat de Schrödinger.
   Werner Karl Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, ayant obtenu le prix Nobel de physique en $\;1932\;$ pour la création de la mécanique quantique, dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène.
   Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $\;1896\;$ puis suisse en $\;1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $\;1905$ , la relativité générale en $\;1916\;$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $\;1921\;$ pour son explication de l'effet photoélectrique.
   Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte : voir la note « ¹⁹ » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
↑ Voir le paragraphe « évaluation de la dérivée temporelle seconde de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K et “ modélisation ” » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », « la dérivée $\;{\big (}$ au sens des distributions ${\big )}\;$ du pic de Dirac d'impulsion unité $\;\delta (t)\;$ » est notée $\;{\big (}$ notation personnelle ${\big )}$ $\;{\dot {\delta }}(t)\;$ et appelée « double pic de Dirac inversé » $\;{\big (}$ appellation personnelle ${\big )}$ .
Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en $\;1933$ , voir la note « ²⁰ » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
↑ ^22,0 et ^22,1 Condition(s) Initiale(s).
↑ Une équation différentielle linéaire du 1^er ordre nécessite une C.I. et une du 2^ème ordre deux C.I. $\;{\big \{}$ l'ensemble des solutions libres d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du n^ème ordre étant un $\mathbb {R}$ -espace vectoriel de dimension $\;n$ $\;{\big [}$ généralisation de la propriété énoncée dans le paragraphe « propriété (admise) de l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou 2^ème ordre homogène » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}{\big \}}$ .
↑ ^24,00 ^24,01 ^24,02 ^24,03 ^24,04 ^24,05 ^24,06 ^24,07 ^24,08 ^24,09 ^24,10 ^24,11 ^24,12 ^24,13 et ^24,14
   Une grandeur est discontinue de 1^ère espèce en $\;t=0\;$ si elle y subit un saut fini en étant continue de part et d'autre dans le voisinage de $\;t=0$ , exemple l'échelon unité $\;Y(t)$ $\;{\big (}$ ou fonction d'Heaviside ${\big )}$ $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « discontinuité de 1^ère espèce de l'échelon de tension d'amplitude E » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}$ ;
   Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte : voir la note « ¹⁹ » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
   Une grandeur est discontinue de 2^ème espèce en $\;t=0\;$ si elle y subit un saut infini en étant continue de part et d'autre dans le voisinage de $\;t=0$ , elle est usuellement $\;\propto \;$ à la dérivée $\;{\big (}$ au sens des distributions ${\big )}\;$ d'une grandeur discontinue de 1^ère espèce en $\;t=0$ , exemple le pic de Dirac d'impulsion unité $\;\delta (t)={\dot {Y}}(t)$ $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « discontinuité de 2^ème espèce du pic de Dirac de tension d'impulsion E » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}$ ;
   Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en $\;1933$ , voir la note « ²⁰ » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
   Une grandeur sera dite « discontinue de 3^ème espèce en $\;t=0\;$ » $\;{\big (}$ appellation personnelle ${\big )}\;$ si elle est $\;\propto \;$ à la dérivée $\;{\big (}$ au sens des distributions ${\big )}\;$ d'une grandeur discontinue de 2^ème espèce en $\;t=0$ $\;{\big (}$ ou $\;\propto \;$ à la dérivée seconde $\;{\big (}$ au sens des distributions ${\big )}\;$ d'une grandeur discontinue de 1^ère espèce en $\;t=0{\big )}$ , exemple le « double pic de Dirac inversé $\;{\big (}$ appellation personnelle ${\big )}\;$ » $\;{\dot {\delta }}(t)={\ddot {Y}}(t)$ $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « évaluation de la dérivée temporelle seconde de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K et “ modélisation ” » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}$ .
   Par abus une grandeur continue en $\;t=0\;$ pourra être qualifiée de « discontinue de 0^ème espèce en $\;t=0\;$ ».
↑ ^25,0 ^25,1 ^25,2 ^25,3 et ^25,4 Voir les paragraphes « nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 1^er ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation », « nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation » et « retour sur la nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2^ème ordre sachant que l'excitation est “ discontinue de 3^ème espèce ” en t = 0 » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^26,0 ^26,1 et ^26,2 Revoir le paragraphe « notion de circuit “ réel ” et propriété de la puissance instantanée électrique fournie par les générateurs d'un circuit “ réel ” » du chap. $22$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ ^27,0 et ^27,1 Voir les paragraphes « continuité de l'énergie électrostatique (instantanée) stockée dans un condensateur parfait d'un circuit “ réel ” et conséquences » et « continuité de l'énergie électromagnétique (instantanée) stockée dans une bobine parfaite d'un circuit “ réel ” et conséquences » du chap. $22$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ ^28,0 et ^28,1 Si un condensateur parfait est initialement déchargé, la tension initiale à ses bornes $\;u_{C}(0^{-})=0\;$ et par continuité de cette tension on en déduit $\;u_{C}(0^{+})=0\;$ c.-à-d. que le condensateur parfait est équivalent à un court-circuit dans le circuit à $\;0^{+}$ ,
   si un condensateur parfait est initialement chargé, la tension initiale à ses bornes $\;u_{C}(0^{-})\neq 0\;$ et par continuité de cette tension on en déduit $\;u_{C}(0^{+})=u_{C}(0^{-})\neq 0\;$ c.-à-d. que le condensateur parfait est équivalent à une source de tension parfaite de f.e.m. $\;u_{C}(0^{-})\neq 0\;$ dans le circuit à $\;0^{+}$ .
   Si une bobine parfaite n'est initialement traversée par aucun courant, l'intensité du courant la traversant est $\;i_{L}(0^{-})=0\;$ et par continuité de cette intensité on en déduit $\;i_{L}(0^{+})=0\;$ c.-à-d. que la bobine parfaite est équivalente à un interrupteur ouvert dans le circuit à $\;0^{+}$ ,
   si un bobine parfaite est initialement traversée par un courant, l'intensité du courant la traversant est $\;i_{L}(0^{-})\neq 0\;$ et par continuité de cette intensité on en déduit $\;i_{L}(0^{+})=i_{L}(0^{-})\neq 0\;$ c.-à-d. que la bobine parfaite est équivalente à une source de courant parfaite de c.e.m. $\;i_{L}(0^{-})\neq 0\;$ dans le circuit à $\;0^{+}$ .
↑ Au sens des distributions.
↑ Ici la méthode du programme consistant à chercher la dernière loi de Kirchhoff avant la dérivation finale donnant l'équation différentielle ne peut être appliquée car l'équation différentielle n'a pas été déterminée par utilisation des lois de Kirchhoff mais par fonction de transfert harmonique $\;\ldots$
Gustav Robert Kirchhoff (1824 – 1887) est l'un des plus grands physiciens d'origine allemande $\;{\big (}$ prussienne ${\big )}\;$ du XIX^ème siècle ; bien qu'il doive sa célébrité aux lois relatives au courant électrique dans les circuits, lois qu'il a établies alors qu'il était encore étudiant, c'est surtout en tant que fondateur, avec Robert Whilhelm Bunsen (1811 - 1899) chimiste allemand, de la spectroscopie qu'il a apporté sa plus grande contribution à la science.
↑ Nom donnée à la solution complète de l'équation différentielle linéaire.
↑ Voir le paragraphe « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^33,0 ^33,1 ^33,2 et ^33,3 Excitation au sens de source envoyée à l'entrée du filtre.
↑ C.-à-d. que l'échelon d'excitation $\;{\big (}$ au sens de source envoyée à l'entrée du filtre ${\big )}\;$ imposé au circuit est d'amplitude unité, le 2^nd membre de l'équation différentielle écrite pour tout $\;t\;$ contient alors l'une au moins des trois fonctions ou distributions $\;Y(t)$ , $\;\delta (t)\;$ et $\;{\dot {\delta }}(t)$ .
↑ Dans le cas où l'échelon d'excitation $\;{\big (}$ au sens de source envoyée à l'entrée du filtre ${\big )}\;$ est d'amplitude $\;E\;$ la réponse forcée s'obtient par $\;y_{S,\,f}=H_{0}\times E=\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,0}\!\left\lbrace {\underline {H}}(j\,\omega )\times E\right\rbrace$ .
↑ ^36,0 ^36,1 ^36,2 ^36,3 ^36,4 ^36,5 ^36,6 et ^36,7 Haute Fréquence.
↑ On rappelle qu'un filtre du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul peut être un passe-bas, un passe-haut ou un passe-tout, ce type de filtre est donc exclu pour la propriété énoncée.
↑ En effet pour un système du 1^er ordre, $\;{\underline {D}}(j\,\omega )\;$ est de degré un et $\;{\underline {N}}(j\,\omega )$ au plus de degré zéro, l'excitation $\;{\big (}$ c.-à-d. le 2^nd membre de l'équation différentielle linéaire ${\big )}\;$ est donc discontinue de 1^ère espèce correspondant à la discontinuité de $\;Y(t)$ , et
   En effet pour un système du 2^ème ordre, $\;{\underline {D}}(j\,\omega )\;$ est de degré deux et $\;{\underline {N}}(j\,\omega )$ au plus de degré un,
   En effet pour un système avec un degré zéro l'excitation $\;{\big (}$ c.-à-d. le 2^nd membre de l'équation différentielle linéaire ${\big )}\;$ est discontinue de 1^ère espèce correspondant à la discontinuité de $\;Y(t)\;$ et
   En effet pour un système avec un degré un l'excitation $\;{\big (}$ c.-à-d. le 2^nd membre de l'équation différentielle linéaire ${\big )}\;$ est discontinue de 2^ème espèce correspondant à la discontinuité de $\;\delta (t)={\dot {Y}}(t)$ .
↑ Dans le cas où l'échelon d'excitation $\;{\big (}$ au sens de source envoyée à l'entrée du filtre ${\big )}\;$ est d'amplitude $\;E\;$ la valeur initiale de la réponse temporelle du filtre à l'échelon d'excitation $\;{\big (}$ au sens de source envoyée à l'entrée du filtre ${\big )}\;$ s'obtient par « $\;y_{S}(0^{+})=$ $\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,\infty }\!\left\lbrace {\underline {H}}(j\,\omega )\times E\right\rbrace =0\;$ ».
↑ Un filtre du 1^er ordre non fondamental à transfert statique non nul pouvant être un passe-bas, un passe-haut ou un passe-tout, mais le degré du numérateur $\;{\underline {N}}(j\,\omega )\;$ étant égal à celui du dénominateur $\;{\underline {D}}(j\,\omega )$ de la fonction de transfert, ce type de filtre est donc autorisé pour la propriété énoncée.
↑ À condition que l'acuité d'antirésonance ne soit pas trop petite sinon il s'agit d'un « passe-tout » $\;{\big (}$ appellation personnelle ${\big )}$ .
↑ En effet pour un système du 1^er ordre, $\;{\underline {D}}(j\,\omega )\;$ est de degré un et $\;{\underline {N}}(j\,\omega )$ est aussi de degré un, l'excitation $\;{\big (}$ c.-à-d. le 2^nd membre de l'équation différentielle linéaire ${\big )}\;$ est donc discontinue de 2^ème espèce correspondant à la discontinuité de $\;\delta (t)={\dot {Y}}(t)$ , et
En effet pour un système du 2^ème ordre, $\;{\underline {D}}(j\,\omega )\;$ est de degré deux et $\;{\underline {N}}(j\,\omega )$ est aussi de degré deux, l'excitation $\;{\big (}$ c.-à-d. le 2^nd membre de l'équation différentielle linéaire ${\big )}\;$ est donc discontinue de 3^ème espèce correspondant à la discontinuité de $\;{\dot {\delta }}(t)={\ddot {Y}}(t)$ .
↑ Dans le cas où l'échelon d'excitation $\;{\big (}$ au sens de source envoyée à l'entrée du filtre ${\big )}\;$ est d'amplitude $\;E\;$ la valeur initiale de la réponse temporelle du filtre à l'échelon d'excitation $\;{\big (}$ au sens de source envoyée à l'entrée du filtre ${\big )}\;$ s'obtient par « $\;y_{S}(0^{+})=$ $\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,\infty }\!\left\lbrace {\underline {H}}(j\,\omega )\times E\right\rbrace \neq 0\;$ ».
↑ ^44,0 ^44,1 ^44,2 et ^44,3 C.-à-d. donnant le signal dérivé de la réponse étudiée en fonction de l'excitation d'entrée $\;{\big (}$ appellation personnelle ${\big )}$ ; elle correspond à « $\;{\underline {H'}}(j\,\omega )={\dfrac {{\dot {\underline {y_{s}}}}(t)}{{\underline {x_{e}}}(t)}}={\dfrac {j\,\omega \;{\underline {y_{s}}}(t)}{{\underline {x_{e}}}(t)}}=$ $j\,\omega \;{\underline {H}}(j\,\omega )\;$ ».
↑ En effet $\;{\underline {D}}(j\,\omega )\;$ est de degré deux et $\;{\underline {N}}(j\,\omega )\;$ de degré zéro.
↑ En effet le système étant du 2^ème ordre, $\;{\underline {D}}(j\,\omega )\;$ est de degré deux et $\;{\underline {N}}(j\,\omega )$ est de degré zéro, l'excitation $\;{\big (}$ c.-à-d. le 2^nd membre de l'équation différentielle linéaire ${\big )}\;$ est donc discontinue de 1^ère espèce correspondant à la discontinuité de $\;Y(t)$ .
↑ Dans le cas où l'échelon d'excitation $\;{\big (}$ au sens de source envoyée à l'entrée du filtre ${\big )}\;$ est d'amplitude $\;E\;$ la valeur initiale de la dérivée temporelle de la réponse temporelle du filtre à l'échelon d'excitation $\;{\big (}$ au sens de source envoyée à l'entrée du filtre ${\big )}\;$ s'obtient par « $\;{\dot {y}}_{S}(0^{+})=$ $\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,\infty }\!\left\lbrace j\,\omega \;{\underline {H}}(j\,\omega )\times E\right\rbrace =0\;$ ».
↑ En fait ce n'est pas la seule possibilité de 2^ème ordre mais c'est la seule parmi les 2^èmes ordres étudiés.
↑ En effet $\;{\underline {D}}(j\,\omega )\;$ est de degré deux et $\;{\underline {N}}(j\,\omega )\;$ de degré un.
↑ En effet le système étant du 2^ème ordre, $\;{\underline {D}}(j\,\omega )\;$ est de degré deux et $\;{\underline {N}}(j\,\omega )$ est de degré un, l'excitation $\;{\big (}$ c.-à-d. le 2^nd membre de l'équation différentielle linéaire ${\big )}\;$ est donc discontinue de 2^ème espèce correspondant à la discontinuité de $\;\delta (t)={\dot {Y}}(t)$ .
↑ Dans le cas où l'échelon d'excitation $\;{\big (}$ au sens de source envoyée à l'entrée du filtre ${\big )}\;$ est d'amplitude $\;E\;$ la valeur initiale de la dérivée temporelle de la réponse temporelle du filtre à l'échelon d'excitation $\;{\big (}$ au sens de source envoyée à l'entrée du filtre ${\big )}\;$ s'obtient par « $\;{\dot {y_{S}}}(0^{+})=$ $\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,\infty }\!\left\lbrace j\,\omega \;{\underline {H}}(j\,\omega )\times E\right\rbrace \neq 0\;$ ».
↑ Sauf dans le cas d'un passe-haut du 2^ème ordre ou d'un coupe-bande où seule la C.I. sur la réponse peut être trouvée à partir de la fonction de transfert, la fonction de transfert “ dérivée ” d'un passe-haut du 2^ème ordre ou d'un coupe-bande ayant un transfert H.F. infini, il est impossible de déterminer la C.I. sur la dérivée temporelle de la réponse $\;{\big [}$ il faut donc écrire l'équation différentielle pour tout $\;t\;$ et l'intégrer entre $\;0^{-}\;$ et $\;0^{+}\;$ au sens des distributions ${\big ]}$ .
↑ ^53,0 et ^53,1 Voir la note « ¹⁰ » du chap. $22$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ Le redresseur simple alternance négatif s'obtiendrait en inversant le branchement de la diode.
↑ ^55,0 ^55,1 ^55,2 ^55,3 ^55,4 ^55,5 ^55,6 et ^55,7 Voir le paragraphe « modélisation linéaire par morceaux de la caractéristique statique courant - tension d'une diode Zener (tension de seuil) » du chap. $25$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la caractéristique directe d'une diode à jonction étant de même forme que celle d'une diode Zener.
Clarence Melvin Zener (1905 - 1993) physicien américain qui fut le 1^er $\;{\big (}$ en $\;1934{\big )}\;$ à décrire le phénomène de claquage des isolants électriques qui rendit possible la diode portant son nom ; il fut également opérationnel dans bien d'autres domaines de la physique grâce à ses connaissances mathématiques allant de la supraconductivité à la métallurgie en passant par le ferromagnétisme, l’élasticité, la mécanique de la rupture, la diffusion ; entre $\;1951\;$ et $\;1965\;$ il développa ses méthodes d'optimisation de forme en paramétrant par des fonctions mathématiques les proportions des pièces.
↑ ^56,0 et ^56,1 Voir le paragraphe « résistance dynamique d'un dipôle passif en un point de fonctionnement de polarisation de ce dernier » du chap. $25$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ ^57,0 et ^57,1 Intensité maximale du courant dans le sens passant sans risque $\;{\big (}$ le constructeur laisse une marge mais il y a néanmoins un risque de « griller » la jonction si on la dépasse ${\big )}$ .
↑ ^58,0 et ^58,1 En effet $\;U_{S,\,m}<U_{E,\,m}\;$ fait que $\;R_{u}>{\dfrac {U_{E,\,m}}{I_{{\text{max}},\,d}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;R_{u}>{\dfrac {U_{S,\,m}}{I_{{\text{max}},\,d}}}$ .
↑ ^59,0 et ^59,1 C.-à-d. sans résistance dynamique dans le sens passant mais avec une tension de seuil.
↑ ^60,0 ^60,1 ^60,2 ^60,3 ^60,4 et ^60,5 Et il faut valider cette hypothèse sur la conclusion que l'on en déduit.
↑ C'est l'hypothèse « polarisée en inverse » de la diode qui implique son caractère « bloquant ».
↑ Ce qui est réalisé à au moins $\;10\,\%\;$ près, avec $\;U_{\text{seuil}}\simeq 0,6\,V$ , si $\;u_{E,\,{\text{max}}}\gtrsim 6\,V\;$ par exemple $\;u_{E,\,{\text{max}}}=10\,V$ .
↑ ^63,0 ^63,1 ^63,2 ^63,3 ^63,4 ^63,5 ^63,6 et ^63,7 Jules-Antoine Lissajous (1822 - 1880) physicien français, essentiellement connu pour ses travaux sur les ondes, on lui doit en particulier la méthode de Lissajous utilisée en électronique et permettant de calculer le déphasage temporel entre deux signaux sinusoïdaux en étudiant l'ellipse qu'ils forment dans le mode X-Y d'un oscilloscope $\;{\big (}$ la courbe obtenue dans ce mode étant encore appelée courbe de Lissajous ${\big )}$ .
↑ ^64,00 ^64,01 ^64,02 ^64,03 ^64,04 ^64,05 ^64,06 ^64,07 ^64,08 et ^64,09 Redresseur Simple Alternance Positif.
↑ ^65,0 et ^65,1 Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires.
↑ ^66,0 et ^66,1 Voir le paragraphe « notion d'A.R.Q.S. et condition d'application en fonction de la taille du circuit et de la fréquence » du chap. $21$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ Par définition, un redressement simple alternance positif $\;{\big (}$ ou négatif ${\big )}\;$ est « sans défaut de seuil », ce n'est que dans la façon expérimentale vue précédemment qu'apparaît un « défaut de seuil », mais il y a d'autres méthodes expérimentales pour réaliser un redressement simple alternance où n'apparaît pas de défaut de seuil $\;{\big \{}$ par exemple à base d'une diode à jonction et d'un A.O. « amplificateur opérationnel » $\;{\big [}$ octopôle utilisé dans le montage suiveur $\;{\big (}$ voir sa description dans le paragraphe « utilisation d'un montage suiveur interposé entre le multimètre et le G.B.F. pour mesurer la f.e.m. efficace d'un G.B.F. » du chap. $24$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\big )}{\big ]}{\big \}}\;$ toutefois nous n'en verrons aucune dans la mesure où celles-ci ne sont pas explicitement au programme de physique de PCSI $\;\ldots$
↑ ^68,0 et ^68,1 On choisit le « 2^ème développement en série de Fourier » $\;s(t)=C_{0}+\sum \limits _{p=1}^{\infty }\left[C_{p}\,\cos(2\,\pi \,f_{p}\,t+\varphi _{p})\right]\;$ avec $\;f_{p}=p\,f,\;\;p\in \mathbb {N} ^{*}$ introduit au chap. $5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et on associe à l'harmonique physique $\;C_{p}\,\cos(2\,\pi \,f_{p}\,t+\varphi _{p})\;$ l'harmonique complexe $\;{\underline {C_{p}}}\,\exp(2\,j\,\pi \,f_{p}\,t)\;$ avec $\;{\underline {C_{p}}}=C_{p}\;\exp(j\,\varphi _{p})\;$ l'amplitude complexe de l'harmonique complexe.
↑ ^69,0 ^69,1 ^69,2 et ^69,3 Laquelle est à peine plus compliquée à établir « à la main » que celle d'un signal créneau impair symétrique $\;{\big [}$ exposée dans le paragraphe « exemple d'un créneau symétrique (preuve des valeurs d'amplitudes - en complément) » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\big ]}\;$ ou
                           Laquelle est à peine plus compliquée à établir « à la main » que celle d'un signal triangulaire pair symétrique $\;{\big [}$ exposée dans le paragraphe « exemple d'un triangulaire symétrique (preuve des valeurs d'amplitudes - en complément) » du même chap. $2$ de la même leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\big ]}$ ,
                           Laquelle est à peine plus compliquée à établir « à la main » ces calculs utilisant le 1^er développement en série de Fourier n'auraient guère été plus compliqués à partir du 2^ème développement en série de Fourier ;
   les formules des cœfficients du 2^ème développement en série de Fourier peuvent être déduites du chap. $5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », en effet on trouve dans le paragraphe « 1^er développement en série de Fourier » « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{p}=2\times \left\langle s(t)\,\cos(2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle ={\dfrac {2}{T}}\displaystyle \int _{0}^{T}s(t)\,\cos(2\,\pi \,p\,f\,t)\,dt\\B_{p}=2\times \left\langle s(t)\,\sin(2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle ={\dfrac {2}{T}}\displaystyle \int _{0}^{T}s(t)\,\sin(2\,\pi \,p\,f\,t)\,dt\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;$ » et dans le paragraphe « passage du 1^er au 2^ème développement en série de Fourier » $\;C_{p}=$ ${\sqrt {A_{p}^{2}+B_{p}^{2}}}\;$ et $\;\varphi _{p}\;$ tel que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\cos(\varphi _{p})={\dfrac {A_{p}}{C_{p}}}\\\sin(\varphi _{p})=-{\dfrac {B_{p}}{C_{p}}}\end{array}}\right.\;$ $\;\Rightarrow \;$ « $\;{\underline {C_{p}}}=C_{p}\;\exp(j\,\varphi _{p})=C_{p}\,\cos(\varphi _{p})+j\,C_{p}\,\sin(\varphi _{p})=A_{p}-j\,B_{p},\;\;\forall \;p\;\in \mathbb {N} \;$ » et, par conséquent « $\;{\underline {C_{p}}}=2\times \left\langle s(t)\,\exp(-2\,j\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle ={\dfrac {2}{T}}\displaystyle \int _{0}^{T}s(t)\,\exp(-2\,\pi \,p\,f\,t)\,dt\;$ avec $\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;$ », la composante permanente se déterminant par « $\;C_{0}=$ $A_{0}=\left\langle s(t)\right\rangle ={\dfrac {1}{T}}\displaystyle \int _{0}^{T}s(t)\,dt\;$ ».
↑ Décroissance de l'amplitude aussi rapide que celle de l'amplitude des harmoniques d'un triangulaire, ici l'amplitude de l'harmonique de rang $\;6\;$ vaut $\;1,8\;10^{-2}\;U_{e,\,{\text{max}}}\;$ et
Décroissance de l'amplitude aussi rapide que celle de l'amplitude des harmoniques d'un triangulaire, ici l'amplcelle de l'harmonique de rang $\;8\;$ vaut $\;1,0\;10^{-2}\;U_{e,\,{\text{max}}}$ .
↑ Léo Graetz (1856 - 1941) physicien allemand qui s'occupa, entre autres, de magnétisme, d'électricité et de modèles atomiques.
↑ La présence d'un transformateur d'isolement est nécessaire pour qu'il n'y ait pas de points reliés à la Terre dans le circuit situé à la sortie du transformateur, alors qu'à l'entrée de ce dernier il y a nécessairement une des bornes reliée à la masse du générateur de fonctions, laquelle est reliée à la Terre par l'intermédiaire du fil de secteur ; on peut ainsi visualiser simultanément la tension d'entrée $\;u_{E}(t)\;$ sur la voie $\;CH1\;$ d'un oscilloscope, la masse de ce dernier étant reliée à la borne d'entrée du transformateur reliée à la masse du générateur et la tension de sortie $\;u_{S}(t)\;$ sur la voie $\;CH2\;$ du même oscilloscope, la masse de l'oscilloscope pouvant être reliée à $\;B'\;$ sans problème puisqu'aucun point de ce circuit n'est relié à la Terre.
↑ ^73,0 et ^73,1 À condition que les bornes $\;E\;$ et $\;A\;$ soient en regard et non $\;E\;$ et $\;B$ .
↑ ^74,0 ^74,1 ^74,2 ^74,3 ^74,4 ^74,5 ^74,6 et ^74,7
Si le sens possible de courant est dans le sens $\;-\!\vert \!\!\!>\!\!\!-\;$ de la diode, la diode est nécessairement polarisée en directe et elle est passante à condition que la tension à ses bornes ne soit pas inférieure à $\;U_{\text{seuil}}\;$ et
si le sens possible de courant est dans le sens $\;-\!\!\!<\!\!\!\vert \!\!\!-\;$ de la diode, la diode est polarisée en inverse et elle est bloquante.
↑ On ne trouve donc pas $\;u_{S}(t)=u_{E}(t)\;$ pour $\;u_{E}(t)>0\;$ $\Rightarrow$ $\;u_{S}(t)\;$ est décalée par rapport à $\;u_{E}(t)\;$ de $\;2\;U_{\text{seuil}}\;$ correspondant, en ce qui concerne la tension d'entrée positive, à un « redresseur avec défaut de seuil ».
↑ On ne trouve donc pas $\;u_{S}(t)=-u_{E}(t)\;$ pour $\;u_{E}(t)<0\;$ $\Rightarrow$ $\;u_{S}(t)\;$ est décalée par rapport à $\;-u_{E}(t)\;$ de $\;2\;U_{\text{seuil}}\;$ correspondant, en ce qui concerne la tension d'entrée négative, à un « redresseur avec défaut de seuil ».
↑ Ce qui est réalisé à au moins $\;10\,\%\;$ près, avec $\;U_{\text{seuil}}\simeq 0,6\,V$ , si $\;u_{E,\,{\text{max}}}\gtrsim 12\,V\;$ par exemple $\;u_{E,\,{\text{max}}}=15\,V$ .
↑ Avec cette valeur le défaut de seuil ne peut pas réellement être négligé car représentant $\;20\;\%\;$ de l'amplitude maximale, mais $\;6\,V\;$ a été conservé pour faire la comparaison avec le redressement simple alternance positif.
↑ ^79,00 ^79,01 ^79,02 ^79,03 ^79,04 ^79,05 ^79,06 ^79,07 ^79,08 ^79,09 ^79,10 ^79,11 et ^79,12 Redresseur Double Alternance.
↑ Par définition, un redressement double alternance est « sans défaut de seuil », ce n'est que dans la façon expérimentale vue précédemment qu'apparaît un « défaut de seuil », mais il y a d'autres méthodes expérimentales pour réaliser un redressement double alternance où n'apparaît pas de défaut de seuil $\;{\big \{}$ par exemple à base de diodes à jonction identiques et de plusieurs A.O. « amplificateurs opérationnels » $\;{\big [}$ octopôle utilisé dans le montage suiveur $\;{\big (}$ voir sa description dans le paragraphe « utilisation d'un montage suiveur interposé entre le multimètre et le G.B.F. pour mesurer la f.e.m. efficace d'un G.B.F. » du chap. $24$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\big )}{\big ]}{\big \}}\;$ toutefois nous n'en verrons aucune dans la mesure où celles-ci ne sont pas explicitement au programme de physique de PCSI $\;\ldots$
↑ Qui est le double de la composante permanente du signal redressé simple alternance positif.
↑ Qui est le double de l'amplitude complexe de l'harmonique du redressé simple alternance $\;{\big (}$ positif ${\big )}\;$ de même rang pair.
↑ D'amplitude effectivement le double de l'amplitude de l'harmonique de rang $\;2\;$ du signal redressé simple alternance.
↑ Dans l'exemple électrique c'est un 2^ème ordre du type « réponse en tension aux bornes de l'ensemble “ bobine $\;{\big (}$ parfaite ${\big )}\;$ en série avec condensateur ” d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale d'amplitude constante » qui est un coupe-bande $\;{\big [}$ c.-à-d. encore le complémentaire du passe-bande correspondant à la réponse en tension aux bornes du conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ $\;{\big (}\!\propto \;$ à la réponse en intensité ${\big )}{\big ]}$ , l'analogue mécanique est un P.E.A.E.S. $\;{\big (}$ pendule élastique amorti excité sinusoïdalement ${\big )}\;$ avec « réponse complémentaire de la “ réponse en force de frottement fluide $\;{\big (}\!\propto \;$ à la réponse en vitesse ${\big )}\;$ ”, le P.E.A. $\;{\big (}$ pendule élastique amorti ${\big )}\;$ étant soumis à une force excitatrice sinusoïdale d'amplitude constante » $\;\ldots$
Revoir le paragraphe « analogie électromécanique, résonance en vitesse d'un oscillateur mécanique amorti par frottement fluide linéaire soumis à une force excitatrice sinusoïdale » du chap. $4$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».
↑ Il faudra, pour obtenir un coupe-bande, construire le complémentaire de ce passe-bande.
↑ ^86,0 et ^86,1 Se dit d'une route déformée par une succession de lignes transverses d'altitude variant régulièrement $\;{\big (}$ c.-à-d. de bosses et de trous ${\big )}$ .
↑ ^87,0 ^87,1 ^87,2 ^87,3 et ^87,4 Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.
↑ ^88,0 et ^88,1 Voir le paragraphe « retour sur la recherche de référentiels galiléens » du chap. $9$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « autre forme de la relation fondamentale spécifique à la dynamique newtonienne, la “ r.f.d.n. ” » du chap. $9$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ Le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ n'étant pas en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen est « non galiléen » $\;{\big \{}$ voir les paragraphes « propriété liant deux référentiels galiléens » et « démonstration de la propriété précédente » du chap. $8$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ${\big \}}$ .
↑ La démonstration est donnée dans le paragraphe « loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre » du chap. $25$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » :
   le vecteur accélération du point $\;M\;$ dans un référentiel « absolu » $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ ${\big [}$ c.-à-d. le vecteur accélération absolue de $\;M\;$ encore noté $\;{\vec {a}}_{a,\,M}(t){\big ]}\;$ s'obtient en ajoutant au vecteur accélération de $\;M\;$ dans un référentiel « d'entraînement » $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ ${\big [}$ c.-à-d. le vecteur accélération relative de $\;M\;$ encore noté $\;{\vec {a}}_{r,\,M}(t){\big ]}\;$ le vecteur accélération d’entrainement de translation de $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ relativement à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ ${\big [}$ encore appelé vecteur accélération d'entraînement de $\;M\;$ et noté $\;{\vec {a}}_{e,\,M}(t){\big ]}$ ;
   cette loi devient fausse si $\;{\mathcal {R}}_{e}\;$ est en rotation relativement à $\;{\mathcal {R}}_{a}\;$ autour d'un axe fixe, dans ce cas apparaît un 2^ème vecteur accélération à ajouter au vecteur accélération relative $\;{\big (}$ ajout non évident ${\big )}\;$ appelé vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis $\;{\vec {a}}_{C,\,M}(t)$ ;
   Gaspard-Gustave Coriolis (1792 - 1843) mathématicien et ingénieur français à qui on doit la notion d'accélération complémentaire à ajouter dans la loi de composition des accélérations lors d'un changement de référentiels en rotation l'un par rapport à l'autre ainsi que la pseudo force « dite de Coriolis » qu'il est nécessaire d'ajouter au bilan des forces appliquées pour traduire le mouvement du point par rapport à un référentiel d'étude non galiléen plus précisément en rotation autour d'un axe fixe relativement à un référentiel galiléen.
↑ Les composantes horizontales devant se compenser.