En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Discontinuité de première ou deuxième espèces d'une fonction scalaire d'une variable Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Discontinuité de première ou deuxième espèces d'une fonction scalaire d'une variable », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Variation de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K[modifier | modifier le wikicode]
Soit la tension aux bornes de l'association série Soit la tension aux bornes de « interrupteur et source de tension parfaite de f.e.m. » avec Soit la tension aux bornes de « où Soit la tension aux bornes de est la durée de fermeture de l'interrupteur » [1] ;
pendant la petite durée que dure la fermeture de , pendant la petite durée varie de façon continue et très rapidement de à [2], pendant la petite durée voir diagramme horaire ci-contre en rouge sur le schéma.
Modélisation de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K en échelon de tension d'amplitude E[modifier | modifier le wikicode]
On modélise la tension précédente, en faisant tendre vers , On modélise la tension précédente, en une fonction , discontinue en, appelée « échelon de tension d'amplitude» définie selon «», On modélise la tension précédente, en une fonction , discontinue en, appelée « voir diagramme horaire ci-dessus en bleu sur le schéma ;
On modélise la tension précédente, en une fonction , discontinue en, appelée « cet échelon de tension d'amplitude a donc une discontinuité en correspondant au On modélise la tension précédente, en une fonction , discontinue en, appelée « cet échelon de tension d'amplitude a donc « saut fini».
L'échelon de tension d'amplitude est « discontinu de 1ère espèce en» car il est L'échelon de tension d'amplitude est « discontinu à gauche et à droite de avec des limites finies distinctes «» ;
on caractérise la discontinuité de 1ère espèce de l'échelon de tension en par son sautfinià la traversée de défini par on caractérise la discontinuité de 1ère espèce de l'échelon de tension en par «» égal à l'amplitude de l'échelon.
L'échelon de tension centré sur l'instant d'amplitude noté est défini, par rapport à l'échelon de tension de même amplitude en faisant un changement d'origine des temps selon
«»,
L'échelon de tension centré sur l'instant d'amplitude noté il est donc discontinu de 1ère espèce en car il est L'échelon de tension centré sur l'instant d'amplitude noté il est donc discontinu à gauche et à droite de avec des limites finies distinctes L'échelon de tension centré sur l'instant d'amplitude noté il est donc discontinu à gauche et à droite de avec «» ;
on caractérise la discontinuité de 1ère espèce de l'échelon décentrée de tension en par son sautfinià la traversée de défini par on caractérise la discontinuité de 1ère espèce de l'échelon décentrée de tension en par «» égal à l'amplitude de l'échelon.
Discontinuité de 1ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière[modifier | modifier le wikicode]
Soit une fonction scalaire réelle d'une variable réelle continue sur les intervalles et avec [3], Soit « la fonction est discontinue de 1ère espèce en» si « est continue à gauche et à droite de sans l'être en » « la fonction est discontinue de 1ère espèce en» c.-à-d. si «» [4] ;
on caractérise la discontinuité de 1ère espèce de la fonctionen par son sautfinià la traversée de défini par on caractérise la discontinuité de 1ère espèce de la fonctionen par «».
Remarque : « la discontinuité de 1ère espèce » est encore appelée « discontinuité de saut fini ».
L'« échelon unité [5]ou fonction d'Heaviside [6]» est défini par «», il est L'« échelon unité ou fonction d'Heaviside» est discontinu de 1ère espèce en, le saut fini à cet instant étant «».
Remarques : On peut considérer l'échelon unité comme « limite, quand , de la fonction » dans laquelle Remarques : On peut considérer l'échelon unité comme « limite, quand « représente la durée de variation continue et très rapide de la fonction de à » [7]
Remarques : On peut bien sûr définir un échelon unité décentré ou fonction d'Heaviside [6] décentrée selon «», Remarques : On peut bien sûr définir un échelon unité décentré discontinu(e) de 1ère espèce en, le saut fini à cet instant étant «».
Réécriture d'un échelon de tension d'amplitude fixée à l'aide de la fonction d'Heaviside[6] : soit un échelon de tension d'amplitude , nous pouvons le réécrire sous la forme Réécriture d'un échelon de tension d'amplitude fixée à l'aide de la fonction d'Heaviside : soit un échelon de tension «» [8].
Soit une grandeur permanente imposée à partir de , cela revient à « créer, à l'instant , un échelon de la grandeur d'amplitude » défini selon Soit une grandeur permanente imposée à partir de , cela revient à « créer, à l'instant , un échelon «».
Exemples de mécanique : on cherche à pousser un véhicule tombé en panne à l’aide d'une force horizontale permanente , l'instant de début de la poussée étant choisi comme instant initial, Exemples de mécanique : cela revient à « créer, à l'instant , un échelon de force d'amplitude vectorielle » défini selon Exemples de mécanique : cela revient à « créer, à l'instant , un échelon de force «» ou, Exemples de mécanique : cela revient à « créer, à l'instant , un échelon de composante horizontale de force d'amplitude » défini selon Exemples de mécanique : cela revient à « créer, à l'instant , un échelon de composante horizontale de force «» Exemples de mécanique : cela revient à « créer, à l'instant , un échelon de composante horizontale de force obtenu en projetant sur l'échelon de force .
Exemples de mécanique : Il y a aussi des cas où une force non permanente existe à partir d'un instant particulier choisi comme instant initial, on pourrait alors utiliser la fonction d'Heaviside [6],[9] Exemples de mécanique : Il y a aussi des cas où une force non permanente existe à partir d'un instant particulier pour exprimer que cette force est nulle avant l'instant Exemples de mécanique : Il y a aussi des cas où une force non permanente existe à partir d'un instant particulier bien que ce ne soit pas un échelon de force qui soit créé, cela donnerait Exemples de mécanique : Il y a aussi des cas où une force non permanente existe à partir d'un instant particulier «», exemple ci-après : Exemples de mécanique : corps chutant et rencontrant le sol à l'instant considéré comme initial, ce corps subit, à partir de cet instant, la réaction du sol , qui pourrait être réécrite [9] sous la forme Exemples de mécanique : corps chutant et rencontrant le sol à l'instant considéré comme initial, ce corps subit, à partir de cet instant, la réaction du sol «».
Bien sûr on pourrait trouver des exemples d'échelon dans pratiquement tous les domaines de la physique ainsi que Bien sûr on pourrait trouver d'autres exemples dans le domaine électrique
« Dérivée 1ère » d'un échelon d'amplitude A, pic de Dirac et discontinuité de 2ème espèce[modifier | modifier le wikicode]
Dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K[modifier | modifier le wikicode]
La tension aux bornes de l'association série « interrupteur et source de tension parfaite de f.e.m. lors de la fermeture de » La tension aux bornes de l'association série s'écrivant «» avec durée de la variation La tension aux bornes de l'association série continue, très rapide et supposée dérivable de la fonction de à [11], on en déduit la forme de sa dérivée temporelle «» diagramme horaire ci-contre en rouge.
Propriétés de la dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K[modifier | modifier le wikicode]
L'aire de la surface comprise entre le « pic de et l'axe des temps » ou plus simplement l'« aire sous le pic de » se définissant par «» [12] L'aire se réécrit, compte-tenu de la nullité de la fonction sur les intervalles et , selon «» L'aire ce qui s'intègre simplement en «» soit finalement
l'« aire sous le pic de valant » « quelle que soit la durée de variation de ».
Modélisation de la dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K en pic de Dirac de tension d'impulsion E[modifier | modifier le wikicode]
Ayant modélisé en un échelon de tension d'amplitude en faisant tendre vers une nouvelle fonction continue et dérivable sauf à l'instant de fermeture de l'interrupteur, Ayant modélisé en un échelon de tension d'amplitude en faisant tendre vers une nouvelle fonction continue et dérivable sauf à instant de discontinuité de 1ère espèce, on cherche à modéliser en faisant tendre vers , ce qui, ayant pour conséquence une limite infinie à l'instant de fermeture de l'interrupteur[13], on cherche à modéliser en faisant tendre vers , ce qui, conduirait à « une fonction nulle partout à l'exception de où elle ne pourrait être définie car ayant une limite infinie » ; mais modéliser par la fonction nulle partout à l'exception de où elle ne serait pas définie la propriété de « l'aire sous le pic de égale à » sans signification sur le modèle !
Aussi cherchant à maintenir la propriété d'« aire sous le pic de égale à » il convient de Aussi cherchant à maintenir la notion de pic dans la définition de la modélisation dequand, mais Aussi cherchant à maintenir la notion le pic tendant vers , la modélisation ne peut plus être une fonction
On obtient alors un nouvel être mathématique appelé « distribution » [14] dont les propriétés comme la dérivation ou l'intégration [15] On obtient alors un nouvel être mathématique appelé « distribution » dont les propriétés prolongent celles des fonctions
La modélisation de « quand » conduit à une « distribution de Dirac » [10] que les physiciens appellent La modélisation de « quand » conduit à une « pic de Dirac d'impulsion » [16] devant correspondre à
«» [17]voir ci-contre le diagramme en bleu avec la propriété d' « aire sous le pic égale à » soit «» [18] ou «» [19].
Une fonction du temps , continue en tout instant à l'exception de, est dite Une fonction du temps , « discontinue de 2ème espèce en» [20] « si l'une au moins des limites deà gauche ou à droite de, n'existe pas ou est infinie » ;
si cette modélisation était une fonction, nous constaterions une limite à gauche et à droite infinie ou encore si cette modélisation était une fonction, nous constaterions un saut infini à gauche de « valant » et si cette modélisation était une fonction, nous constaterions un saut infini à droite de « valant » ce qui vérifierait bien une discontinuité de 2ème espèce en [21] d'où si cette modélisation était une fonction, nous dirons, par abus, que le « pic de Dirac[10] d'impulsion » [16] est discontinu de 2ème espèce en[22].
Un autre exemple de distribution : pic de Dirac décentré de tension d'impulsion E[modifier | modifier le wikicode]
Le « pic de Dirac[10] de tension centré sur l'instant d'impulsion » noté «» [23] est défini, par rapport au « pic de Dirac[10] de tension de même impulsion » noté «» [17] Le « pic de Dirac de tension centré sur l'instant d'impulsion » noté «» est défini, en faisant un changement d'origine des temps selon Le « pic de Dirac de tension centré sur l'instant d'impulsion » noté «» [17] avec la propriété d'« aire sous le pic égale à » soit Le « pic de Dirac de tension centré sur l'instant d'impulsion » noté «» «» [24] ou «» [25].
Pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou « fonction » d'Heaviside)[modifier | modifier le wikicode]
Le « pic de Dirac[10] d'impulsion unité [26] » doit correspondre à «» [27], avec la propriété d'« aire sous le pic égale à » soit Le « pic de Dirac d'impulsion unité » doit correspondre à «», avec la propriété d’«» [28] ou «» [29].
Nous dirons, par abus, que le « pic de Dirac[10] d'impulsion unité » [16] est discontinu de 2ème espèce en[22].
Propriétés : Ayant considéré l'échelon unité «» comme « limite, quand , de la fonction » dans laquelle Propriétés : Ayant considéré l'échelon unité «» comme « limite, quand représente la durée de variation continue et très rapide de la fonction de à , Propriétés : nous procédons de même « à partir de la dérivée temporelle de cette dernière » et Propriétés : nous obtenons, quand , « c.-à-d. » ;
Propriétés : le fait que «» avec l'« aire sous le pic de égale à l'amplitude de » Propriétés : le fait que «» conduit à « définir la dérivée temporelle [30] de l'échelon unité » par « le pic de Dirac[10] d'impulsion unité » soit «» [30].
Propriétés : Si on utilise «» et la généralisation de l'intégration au sens des distributions, on retrouve alors le fait que l'« aire sous le pic » est bien égale à en effet
Remarque : On peut bien sûr définir un « pic de Dirac[10] centré à l'instant d'impulsion unité » selon «», Remarque : On peut bien sûr définir un « pic de Dirac centré à l'instant d'impulsion unité » discontinu de 2ème espèce en et Remarque : On peut bien sûr définir un « pic de Dirac centré à l'instant d'impulsion unité » s'identifiant à la dérivée temporelle de l'échelon unité centré à l'instant [22] soit «».
Réécriture d'un pic de Dirac[10] de tension d'impulsion fixée à l'aide du pic de Dirac[10] d'impulsion unité : soit un pic de Dirac[10] de tension d'impulsion , nous pouvons le réécrire sous la forme Réécriture d'un pic de Dirac de tension d'impulsion fixée à l'aide du pic de Dirac d'impulsion unité : soit un pic de Dirac de tension «» [32], en effet Réécriture d'un pic de Dirac de tension d'impulsion fixée à l'aide du pic de Dirac d'impulsion unité : l'échelon de tension d'amplitude ayant été réécrit selon «» [33] et Réécriture d'un pic de Dirac de tension d'impulsion fixée à l'aide du pic de Dirac d'impulsion unité : le pic de Dirac[10] de tension d'impulsion pouvant être considéré comme la Réécriture d'un pic de Dirac de tension d'impulsion fixée à l'aide du pic de Dirac d'impulsion unité : le pic de Dirac de tension dérivée temporelle au sens des distributions de [34], Réécriture d'un pic de Dirac de tension d'impulsion fixée à l'aide du pic de Dirac d'impulsion unité : d'où «» [35] soit le résultat énoncé compte-tenu de «».
Soit une grandeur permanente imposée à partir de , cela revenant à « créer, à l'instant , un échelon de la grandeur d'amplitude » défini selon Soit une grandeur permanente imposée à partir de , cela revenant à « créer, à l'instant , un échelon «», on obtient, « en formant la dérivée temporelle de l'échelon précédent » [30], le « pic de Dirac[10] de la grandeur d'impulsion » [36] soit « en formant la dérivée temporelle de l'échelon précédent », le « pic de Dirac «» avec la propriété d'« aire sous le pic valant » soit « en formant la dérivée temporelle de l'échelon précédent », le « pic de Dirac «» avec la propriété d’«» [37].
Exemple de mécanique : un véhicule sans frein heurte un autre véhicule à l'arrêt l'instant de collision est choisi comme instant initial, le choc étant très intense et durant très peu de temps, la force de collision horizontale que le véhicule exerce sur le véhicule , peut être matérialisée par Exemple de mécanique : un « pic de Dirac[10] de force, d'impulsion vectorielle », défini selon «» ou, Exemple de mécanique : en projetant sur , un « pic de Dirac[10] de composante horizontale de force, d'impulsion », défini selon «», avec la propriété d'« aire sous le pic valant » soit «» [37],[38].
Bien sûr on pourrait trouver des exemples de pic de Dirac[10] dans pratiquement tous les domaines de la physique ainsi que d'autres exemples dans le domaine électrique
Nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation[modifier | modifier le wikicode]
Nature de la discontinuité d'une excitation, somme d'excitations discontinues de numéros d'espèce différents pour le même instant initial[modifier | modifier le wikicode]
Soit une « excitation [39]» dans laquelle « et sont des constantes de même dimension que », les « cœfficients multiplicateurs et étant respectivement une constante sans dimension et une autre exprimée en [40] », nous admettrons que
« est discontinue en du numéro d'espèce égal au plus grand numéro d'espèce de discontinuité de ses composants » soit ici « discontinue de 2ème espèce si » et soit ici « discontinue de 1ère espèce si ».
Nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 1er ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation[modifier | modifier le wikicode]
Soit l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 1er ordre en suivante «» pour laquelle l'excitation [39] «» est
discontinue de 2ème espèce « si » et
discontinue de 1ère espèce « si » étant nécessairement sinon l'équation différentielle serait homogène ;
nous admettrons que la discontinuité de l'excitation [39] se retrouve sur la dérivée de plus haut ordre avec le même numéro d’espèce de discontinuité et nous admettrons que ce dernier de un lorsque l’ordre de la dérivée de un pour simplifier nous dirons qu'une fonction discontinue de 0ème espèce est continue soit :
« si », l'excitation [39] étant discontinue de 2ème espèce, la dérivée 1ère « est discontinue de 2ème espèce » et « si »,la solution générale de l'équation différentielle «est discontinue de 1ère espèce »,
« si », l'excitation [39] étant discontinue de 1ère espèce, la dérivée 1ère « est discontinue de 1ère espèce » et « si »,la solution générale de l'équation différentielle «est discontinue de 0ème espèce c.-à-d. continue ».
Nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2ème ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation[modifier | modifier le wikicode]
Soit l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2ème ordre en suivante «» pour laquelle l'excitation [39] «» est
discontinue de 2ème espèce « si » et
discontinue de 1ère espèce « si » étant nécessairement sinon l'équation différentielle serait homogène ;
nous admettrons que la discontinuité de l'excitation [39] se retrouve sur la dérivée de plus haut ordre avec le même numéro d’espèce de discontinuité et nous admettrons que ce dernier de un lorsque l’ordre de la dérivée de un à condition que le numéro zéro ne soit pas atteint pour simplifier nous disons d'une part qu'une fonction discontinue de 0ème espèce est continue et d'autre part qu'il y a stagnation du numéro d'espèce si le numéro zéro est atteint, il n'y a alors plus diminution du numéro d'espace avec la diminution de l'ordre de la dérivée soit :
« si », l'excitation [39] étant discontinue de 2ème espèce, la dérivée 2nde « est discontinue de 2ème espèce », la dérivée 1ère « est discontinue de 1ère espèce » et « si »,la solution générale de l'équation différentielle «est discontinue de 0ème espèce c.-à-d. continue »,
« si », l'excitation [39] étant discontinue de 1ère espèce, la dérivée 2nde « est discontinue de 1ère espèce », la dérivée 1ère « est discontinue de 0ème espèce c.-à-d. continue » et « si »,la solution générale de l'équation différentielle «est encore discontinue de 0ème espèce c.-à-d. continue ».
« Dérivée seconde » d'un échelon d'amplitude A (ou « dérivée 1ère » d'un pic de Dirac d'impulsion A) et conséquence sur la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène lors de la présence d'un tel terme dans l'excitation[modifier | modifier le wikicode]
Dérivée seconde de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K et tentative de modélisation[modifier | modifier le wikicode]
Nous avons modélisé la « tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur et d'une source de tension parfaite de f.e.m. lors de la fermeture de [41] » Nous avons modélisé en considérant cette dernière comme une fonction continûment dérivable à variation rapide sur une durée entourant l'instant [42] et Nous avons modélisé en faisant tendre vers pour définir les notions mathématiques d'« échelon » [43] et de « discontinuité de 1ère espèce » [44], puis
nous avons formé la dérivée 1ère temporelle de cette fonction ce qui est parfaitement justifié mathématiquement si la fonction est de classe [45] et nous avons modélisé cette dérivée 1ère en faisant tendre vers , ceci nous conduisant aux notions mathématiques de « pic de Dirac[10] » [46] et de « discontinuité de 2ème espèce » [47], ces deux notions pouvant être définies « directement » [48] en mathématiques, ce qui justifie a posteriori la méthode utilisée ;
nous nous proposons d'appliquer la méthode de modélisation précédente à « la dérivée 2nde temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur et d'une source de tension parfaite de f.e.m. lors de la fermeture de [41] » dérivée 2nde temporelle parfaitement définie si la fonction est de classe [49] nous nous proposons d'appliquer la méthode de modélisation précédente en faisant tendre vers mais nous nous proposons d'appliquer la méthode de modélisation précédente les notions « limites » que nous obtenons ne sont pas définies directement mathématiquementtout au moins à ma connaissance, il faut donc considérer ces notions « limites » que nous pourrions appeler “ double pic de Dirac [10] inversé ” et “ discontinuité de 3ème espèce ” comme un moyen pratique de traiter le cas réel correspondant à une durée de fermeture de l'interrupteur excessivement petite mais non nulle utiliser ces notions « limites » non définies mathématiquement se justifie car les résultats obtenus sont les mêmes que ceux que nous obtiendrions en travaillant avec les fonctions réelles de classe [49] et en faisant tendre, après tout calcul, vers .
Évaluation de la dérivée temporelle seconde de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K et « modélisation »[modifier | modifier le wikicode]
À partir de la tension aux bornes de l'association série « interrupteur et source de tension parfaite de f.e.m. lors de la fermeture de » on a obtenu
En faisant « tendre vers », la fonction dérivée 2nde temporelle « se modélise en » avec «[54] que nous baptiserons “ double pic de Dirac [10]inversé ” [55] de discontinuité que nous qualifierons “ de 3ème espèce en ” [56] » le “ double pic de Dirac [10] inversé ” [55] s'identifiant à la dérivée 1ère temporelle [53] du « pic de Dirac[10] d'impulsion unité , discontinue de 2ème espèce en » et à la dérivée 2nde temporelle [53] de l'« échelon unité , discontinue de 1ère espèce en » avec la propriété d'« aire sous le “ double pic de Dirac [10] inversé ” [55] égale à zéro » correspondant à l'intégrale [53],[12] «» [57].
Retour sur la nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2ème ordre sachant que l'excitation est “ discontinue de 3ème espèce ” en t = 0[modifier | modifier le wikicode]
Soit l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2ème ordre en «» où l'excitation [39] «» avec sans unité, en et en est
discontinue de 1ère espèce « si et » étant nécessairement sinon l'équation différentielle serait homogène ;
nous admettrons que la discontinuité de l'excitation [39] se retrouve sur la dérivée de plus haut ordre avec le même numéro d’espèce de discontinuité et nous admettrons que ce dernier de un lorsque l’ordre de la dérivée de un à condition que le numéro zéro ne soit pas atteint pour simplifier nous disons d'une part qu'une fonction discontinue de 0ème espèce est continue et d'autre part qu'il y a stagnation du numéro d'espèce si le numéro zéro est atteint, il n'y a alors plus diminution du numéro d'espace avec la diminution de l'ordre de la dérivée soit :
« si », l'excitation [39] étant “ discontinue de 3ème espèce ”[56], la dérivée 2nde « est “ discontinue de 3ème espèce ” [56] », la dérivée 1ère « est discontinue de 2ème espèce » et « si »,la solution générale de l'équation différentielleest discontinue de 1ère espèce,
« si avec », l'excitation [39] étant discontinue de 2ème espèce, la dérivée 2nde « est discontinue de 2ème espèce », la dérivée 1ère « est discontinue de 1ère espèce » et « si avec »,la solution générale de l'équation différentielle «est discontinue de 0ème espèce c.-à-d. continue »,
« si et », l'excitation [39] étant discontinue de 1ère espèce, la dérivée 2nde « est discontinue de 1ère espèce », la dérivée 1ère « est discontinue de 0ème espèce c.-à-d. continue » et « si et »,la solution générale de l'équation différentielle «est encore discontinue de 0ème espèce c.-à-d. continue ».
↑ Nous supposerons de plus que la fonction ainsi définie est de classe suffisamment élevée pour n'avoir aucun souci de dérivabilité et ceci à n'importe quel ordre toutefois, pour ce chapitre, la classe suffira.
↑ Les bornes et pouvant être simultanément ou non et .
↑ C.-à-d. que d'une part, les limites à gauche et à droite sont finies et d'autre part, elles doivent être pour que la fonction ne soit pas continue en .
↑ Forme raccourcie pour dire « échelon d'amplitude unité ».
↑ 6,06,16,26,3 et 6,4Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte, ayant commencé sa carrière en tant qu'opérateur de télégraphe, développa de façon intuitive le calcul opérationnel pour résoudre des équations différentielles en les transformant en équations algébriques, travailla sur la propagation des courants électriques dans des conducteurs et développa la fonction portant son nom encore appelée échelon ou marche utilisée dans l'étude de systèmes en automatique.
↑ L'intérêt de cette réécriture est que « la grandeur tension et donc son unité » se retrouve dans le cœfficient multiplicateur , la fonction d'Heaviside étant sans unité.
↑ 9,0 et 9,1 Mais en pratique on ne le fait pas car cela engendrerait une complication au lieu d'une simplification ; on préfère considérer les deux cas et .
↑ On suppose la fonction de classe pour définir, par la suite, la dérivation jusqu'à l'ordre deux mais dans ce paragraphe il suffirait qu'elle soit de classe .
↑ En effet si « on remplace le pic de et son voisinage non nul » par « un rectangle d'aire égale à l’aire sous le pic », le rectangle étant de « largeur » doit être de « hauteur » et quand « on fait tendre vers » c.-à-d. quand la largeur du rectangle tend vers , la « hauteur doit tendre vers » pour que l'aire soit conservée ; or « le remplacement du pic de et de son voisinage non nul » par « un rectangle d'aire égale à l'aire sous le pic » correspond nécessairement à une « hauteur de pic de à la hauteur du rectangle » car « la présence de parties du voisinage moins proche du pic » à « la hauteur du rectangle » nécessite « la présence de parties du voisinage proche du pic ainsi que du pic lui-même » à « la hauteur du rectangle » « un pic tendant vers quand ».
↑ 14,0 et 14,1 Encore appelée « fonction généralisée » par les anglicistes mais cette théorie ayant été finalisée par Laurent Schwartz (1915 - 2002) mathématicien français du XXème siècle qui reçut, pour cela, la médaille Fields en , on utilise, en France, préférentiellement le terme « distribution » ; la théorie des distributions étant au moins de niveau nous ne l'aborderons pas ici.
↑ 16,016,116,2 et 16,3 En fait la distribution de Dirac pour les mathématiciens est notée et correspond au « pic de Dirac d'impulsion » des physiciens, le « pic de Dirac d'impulsion » de ces derniers est donc « fois la distribution de Dirac des mathématiciens » soit «».
↑ 17,017,117,2 et 17,3 Pour l'instant, n'est qu'une notation pour le pic de Dirac de tension d'impulsion , mais ultérieurement cette notation prendra la signification de dérivée temporelle de l'échelon de tension d'amplitude c.-à-d. considérée comme distributionon rappelle qu'une fonction échelon n'est pas dérivable en d'où la nécessité de la considérer comme distribution.
↑ Attention étant une distribution, «» nécessite de définir l'intégrale généralisée d'une distribution Toutefois le fait de ne pouvoir introduire la notion de distributions ainsi que celle de leurs dérivations ou intégrations au niveau de ce cours ne doit pas être considéré comme une difficulté, les dérivations ou intégrations étant en fait réalisées sur les fonctions réelles de classe comme l'est , ce n'est que sur leurs résultats que nous faisons tendre vers et les résultats obtenus sont effectivement ceux que nous aurions trouvés en travaillant directement sur les distributions
↑ La définition n'excluant pas que les limites à gauche et à droite soient les mêmes pourvu qu'elles soient infinies.
↑ 22,022,1 et 22,2 La signification nécessitant qu'une « fonction » puisse avoir une valeur infinie dans son domaine de valeurs ce qui n'est pas car quand une fonction admet une limite infinie lorsque la variable tend vers une certaine valeur, cette dernière est placée hors du domaine de définition de la fonction et par conséquent la valeur infinie est hors de son domaine de valeurs et, en admettant ceci, Le signification nécessitant d'observer un saut infini à gauche et à droite on comprend mieux ainsi l'autre nom de « fonction généralisée » donnée à une « distribution » résultant, entre autres, d'autoriser des valeurs infinies pour les fonctions généralisées.
↑ Pour l'instant, n'est qu'une notation pour le pic de Dirac décentré de tension d'impulsion , mais ultérieurement cette notation prendra la signification de dérivée temporelle de l'échelon décentré de tension d'amplitude c.-à-d. considérée comme distributionon rappelle qu'une fonction échelon décentrée n'est pas dérivable en d'où la nécessité de la considérer comme distribution.
↑ Attention étant une distribution, «» nécessite de définir l'intégrale généralisée d'une distribution Toutefois le fait de ne pouvoir introduire la notion de distributions ainsi que celle de leurs dérivations ou intégrations au niveau de ce cours ne doit pas être considéré comme une difficulté, les dérivations ou intégrations étant en fait réalisées sur les fonctions réelles de classe comme l'est , ce n'est que sur leurs résultats que nous faisons tendre vers et les résultats obtenus sont effectivement ceux que nous aurions trouvés en travaillant directement sur les distributions
↑ Ou simplement « pic de Dirac » ou encore « distribution de Dirac » ou enfin, par abus, « fonction sous-entendu généralisée de Dirac ».
↑ S'il s'agissait d'une fonction on constaterait donc un saut infini à gauche de ainsi qu'à droite de , respectivement défini par « valant » et par « valant ».
↑ Attention étant une distribution, «» nécessite de définir l'intégrale généralisée d'une distribution Toutefois le fait de ne pouvoir introduire la notion de distributions ainsi que celle de leurs dérivations ou intégrations au niveau de ce cours ne doit pas être considéré comme une difficulté, les dérivations ou intégrations étant en fait réalisées sur les fonctions réelles de classe comme l'est , ce n'est que sur leurs résultats que nous faisons tendre vers et les résultats obtenus sont effectivement ceux que nous aurions trouvés en travaillant directement sur les distributions
↑ 30,030,1 et 30,2 Dérivée temporelle au sens des distributions, qui s'identifie à la dérivée temporelle au sens des fonctions pour les valeurs de variable où la fonction est dérivable mais ajoute une définition pour celles où la fonction n'est pas dérivable, voir non définie.
↑ Rappelons qu'il s'agit d'un abus d'écriture non correct au sens des fonctions mais dont les résultats obtenus sont les mêmes que ceux nous obtiendrions au sens des distributions
↑ L'intérêt de cette réécriture est que « la grandeur tension et donc son unité » se retrouve dans le cœfficient multiplicateur , le pic de Dirac d'impulsion unité étant en .
↑ Le pic de Dirac de grandeur est bien homogène à un taux horaire de grandeur car le pic de Dirac d'impulsion unité s'exprime en .
↑ 37,0 et 37,1 Intégrale temporelle au sens des distributions, qui s'identifie à l'intégrale temporelle au sens des fonctions pour les valeurs de variable où la fonction est intégrable mais ajoute une définition pour celles où la fonction est infinie en y étant discontinue de 2ème espèce, voire non définie.
↑ 39,0039,0139,0239,0339,0439,0539,0639,0739,0839,0939,1039,1139,12 et 39,13 L'excitation d'une équation différentielle linéaire hétérogène est le 2nd membre de l'équation écrite en y mettant exclusivement les termes indépendant de la fonction cherchée, tous les termes dépendant de cette dernière étant dans le 1er membre, voir le paragraphe « équation différentielle linéaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ; l'excitation dépendant de la forme sous laquelle l'équation différentielle linéaire est écrite donc du choix du cœfficient du terme de la dérivée du plus grand ordre, nous choisissons préférentiellement d'appeler « excitation » le 2nd membre de l'équation différentielle normalisée c.-à-d. quand le cœfficient du terme de la dérivée du plus grand ordre est choisi égal à .
↑ C.-à-d., pour la notion de pic de Dirac, sans passage à la limite de la dérivée temporelle 1ère d'une fonction à variation rapide mais en tant que distribution et, C.-à-d., pour la discontinuité de 2ème espèce en tant que discontinuité avec un saut non défini ou infini.
↑ 49,0 et 49,1 C.-à-d. fonction continûment dérivable jusqu'à l'ordre deux.
↑ On suppose la fonction de classe pour définir, par la suite, la dérivation jusqu'à l'ordre deux mais pour la dérivée 1ère il suffit qu'elle soit de classe .
↑ D'où la nécessité que la fonction soit de classe .
↑ Nous avons supposé les intervalles de et de même durée pour simplifier l'exposé mais ceci n'est pas indispensable.
↑ S'exprimant en , l'unité du pic de Dirac étant la .
↑ 55,055,1 et 55,2 Appellation personnelle, ne correspondant à aucune nomenclature mathématique, les mathématiciens l'appellent simplement « dérivée du pic de Dirac ».
↑ 56,056,156,2 et 56,3 Appellation personnelle dont le seul but est de réaliser une échelle des discontinuités, ce type de discontinuité en correspondant à une valeur finie pour et des valeurs infinies opposées quand la variable s'approche de par la gauche ou par la droite n'étant pas définie en mathématiques
↑ En effet correspondant à l'aire positive sous le 1er pic compensée par l'aire négative sous le 2ème pic inversé ; plus généralement voir l'article « dérivée du pic de Dirac » de wikipédia pour plus de détails.