En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Oscillateurs amortis : circuit R L C série et oscillateur mécanique amorti par frottement visqueux Signaux physiques - bis (PCSI)/Exercices/Oscillateurs amortis : circuit R L C série et oscillateur mécanique amorti par frottement visqueux », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Circuit linéaire constitué d'« un condensateur en série avec le modèle parallèle d'une bobine réelle » soumis à un échelon de tension, réponse en intensité de courant traversant le circuit[modifier | modifier le wikicode]
On se propose de déterminer la réponse en intensité du courant traversant le circuit constitué d'un condensateur de capacité en série avec l'association d'une bobine parfaite d'inductance propre en parallèle sur un conducteur ohmique de résistance , l'ensemble étant soumis à un échelon de tension établi à partir de et d'amplitude voir ci-contre ;
avant la fermeture de l'interrupteur réalisée à , toutes les grandeurs électriques (tension et intensité) du circuit passif sont nulles.
Établissement de l'équation différentielle en i(t), intensité du courant traversant le circuit linéaire soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]
Établir, pour tout , l'équation différentielle en , intensité du courant de charge du condensateur, quand le circuit est soumis à l'échelon de tension d'amplitude .
pour trouver l'équation différentielle en , il faut expliciter en fonction de par exemple en fonction de laquelle, par loi de maille, s'exprime en fonction de donc, en dérivant de et en fonction de en fait ce n'est pas que l'on peut expliciter simplement mais en fonction de puis, par loi de maille, en fonction de et, en dérivant, en fonction de soit :
on peut donc reporter la 1ère équation dans la loi après avoir dérivé[2] cette dernière une 1ère fois soit d'où par report de la 1ère équation, puis
on peut donc reporter la 2ème équation dans la loi après l'avoir dérivée[2] une 2ème fois soit [4] ou, par report de la 2ème équation, soit finalement, en ordonnant
«».
La réduction canonique la plus utilisée nous conduit à définir
la « pulsation propre » et
le « cœfficient d'amortissement tel que soit »[5] d'où,
en factorisant par le 2ème membre et en transformant à l'aide de , la forme canonique de l'équation différentielle en suivante
«».
À partir de la nature de la discontinuité de l'excitation, induction de celle des discontinuités (éventuelles) initiales de l'intensité i(t) et de son taux horaire de variation (di/dt)(t) puis détermination des C.I. par utilisation des propriétés de continuité des grandeurs électriques dans un circuit résistif[modifier | modifier le wikicode]
Induire, de la nature de la discontinuité de l'excitation en , celles de et de puis,
déterminer les valeurs initiales et par la méthode adaptée à la nature de la discontinuité éventuelle.
Solution
De l'excitation de l'équation différentielle écrite pour tout « “ discontinue de 3ème espèce en ” »[6],[7] on induit, le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reportant sur la dérivée de plus haut ordre[8], que est « “ discontinue de 3ème espèce ” »[6], discontinue de 2ème espèce[9] et discontinue de 1ère espèce en [10] ;
on trouvera donc par circuit à à représenter réellement dans lequel on remplace la bobine par un interrupteur ouvert continuité de à l'instant dans un circuit résistif[11] cette dernière étant nulle et le condensateur par un court-circuit continuité de à l'instant dans un circuit résistif[12] cette dernière étant nulle, on retrouve alors aux bornes de [13] d'où
«» ;
peut se déterminer en prenant la dernière équation avant la dérivation finale[2] permettant d'aboutir à l'équation différentielle cherchée et en y faisant soit dans laquelle on réintroduit la grandeur continue en utilisant ce qui donne l'équation où on y fait soit ou, en utilisant le résultat de précédemment trouvé [14], que l'on peut réécrire en reportant et ,
«».
Détermination des réponses transitoires en intensité du courant suivant la valeur de la résistance et tracé du graphe de i(t) en fonction de t pour une résistance supérieure à la résistance critique[modifier | modifier le wikicode]
En déduire, pour , les réponses en , intensité du courant traversant le circuit soumis l'échelon de tension d'amplitude suivant les valeurs de , on mettra en évidence une résistance critique que l'on exprimera en fonction de et .
Donner l'allure du graphe de en fonction de dans le cas où .
Solution
L'équation différentielle, une fois l'interrupteur fermé, s'écrit : « pour » ; il n'y a donc que la solution libre qui nécessite de résoudre l'équation caractéristique classique «» et on obtient, suivant la valeur de :
«» ou ou encore « en définissant la résistance critique selon » : régime apériodique, la solution s'écrivant «», avec «»,
«» ou «» : régime apériodique critique, la solution s'écrivant «»,
«» ou «» : régime pseudo-périodique, la solution s'écrivant «» avec « la pseudo-pulsation ».
Précisons l'expression de , pour , dans le cas où c'est-à-dire le régime pseudo-périodique, on obtient alors , les constantes et étant déterminées par C.I[15]. :
2ème C.I[15]. «» soit, en évaluant , on obtient «» ou, en y reportant de la 1ère C.I[15]., on obtient , soit encore, en remplaçant par et en simplifiant par , on trouve ou encore «» ;
de , on déduit soit «» ;
de avec le choix de on déduit dont on tire [16] et peut se mettre sous la forme d'un soit «» ;
avec les valeurs de et précédemment déterminées on obtient
«» avec «».
L'allure de la courbe est rappelée ci-contre :
Circuit linéaire constitué d'« une bobine parfaite en série avec un conducteur ohmique de résistance R et une association parallèle d'un condensateur parfait sur un conducteur ohmique de même résistance R » soumis à un échelon de tension, réponse en intensité de courant traversant le circuit[modifier | modifier le wikicode]
On se propose de déterminer la réponse en intensité du courant traversant le circuit constitué d'une bobine parfaite d'inductance propre en série avec un conducteur ohmique de résistance et l'association d'un condensateur de capacité en parallèle sur un conducteur ohmique de même résistance , l'ensemble étant soumis à un échelon de tension établi à partir de et d'amplitude voir ci-contre ;
avant la fermeture de l'interrupteur réalisée à , toutes les grandeurs électriques (tension et intensité) du circuit passif sont nulles.
Établissement de l'équation différentielle en i(t), intensité du courant traversant le circuit linéaire soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]
Établir, pour tout , l'équation différentielle en , intensité du courant traversant la bobine, quand le circuit est soumis à l'échelon de tension d'amplitude .
Solution
On dispose d'une loi de nœuds ,
On dispose de deux lois de mailles dont
la 1ère est laquelle, avec et , se réécrit en fonction de et selon et
la 2ème dans laquelle est aussi la tension aux bornes du condensateur[1] avec , permet d'exprimer et uniquement en fonction de selon et ;
pour trouver l'équation différentielle en , il faut expliciter en fonction de par est en fonction de laquelle, par loi de maille , s'exprime en fonction de et en fonction de par est en fonction de et, par loi de maille , s'exprime en fonction de , il suffit de dériver[2] cette loi de maille soit :
le report dans la loi de nœuds conduit à soit finalement, en normalisant et en ordonnant
«».
À partir de la nature de la discontinuité de l'excitation, induction de celle des discontinuités éventuelles initiales de l'intensité i(t) et de son taux horaire de variation (di/dt)(t) puis détermination des C.I[15]. par utilisation des propriétés de continuité des grandeurs électriques dans un circuit résistif[modifier | modifier le wikicode]
Induire, de la nature de la discontinuité de l'excitation en , celles de et de puis,
déterminer les valeurs initiales et par la méthode adaptée à la nature de la discontinuité éventuelle.
Solution
De l'excitation de l'équation différentielle écrite pour tout discontinue de 2ème espèce en [9], on induit, le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reportant sur la dérivée de plus haut ordre[17], que est discontinue de 2ème espèce[9], discontinue de 1ère espèce[10] et continue en [18] ;
on trouvera donc par continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite dans un circuit résistif[11] soit et, celle-ci étant initialement[19] nulle on en déduit
«» et
on trouvera donc par circuit à à représenter réellement dans lequel on remplace la bobine par un interrupteur ouvert car et le condensateur par un court-circuit continuité de à l'instant dans un circuit résistif[12] cette dernière étant nulle, on retrouve alors aux bornes de soit avec d'où
«».
Détermination de la réponse transitoire en intensité du courant dans le cas où les dipôles « L R série » et « R C parallèle » ont même constante de temps et tracé du graphe de i(t) en fonction de t[modifier | modifier le wikicode]
Supposant que l'inductance propre de la bobine et la capacité du condensateur sont telles que les dipôles « série » et « parallèle » ont même constante de temps notée , réécrire l'équation différentielle en pour tout sous forme canonique[20] ;
en déduire, pour , la réponse en , intensité du courant traversant le circuit soumis l'échelon de tension d'amplitude , en fonction de , , et l'instant .
Donner l'allure du graphe de en fonction de .
Solution
Compte-tenu que les dipôles « série » et « parallèle » ont même constante de temps , l'équation différentielle en a pour forme canonique : « pour » ; il y a donc une solution forcée à ajouter à la solution libre, laquelle nécessite de résoudre l'équation caractéristique «», de discriminant réduit , n'admettant que des solutions complexes conjuguées «» et par suite, donnant une solution libre pseudo-périodique «» de « pseudo-pulsation »[21] soit finalement la solution transitoire de l'équation différentielle de la forme suivante :
«», les constantes et étant à déterminer par C.I[15]. :
2ème C.I[15]. «» soit, avec , on obtient [22] ou, en y reportant de la 1ère C.I[15]., «» ;
de , on déduit «» ;
de avec le choix de on déduit dont on tire [16], établissant que seul peut se mettre sous la forme d'un soit «» ;
avec les valeurs de et précédemment déterminées on obtient
«».
L'allure de la courbe est rappelée ci-contre à droite en traits pleins avec précision des enveloppes en tiretés :
Circuit de Wien court-circuité, le condensateur de l'association série étant initialement chargé et celui de l'association parallèle initialement déchargé, réponse en tension aux bornes de l'association parallèle[modifier | modifier le wikicode]
À l'aide des conducteurs ohmiques de résistance et ainsi que des condensateurs parfaits de capacité et , on réalise le montage ci-contre appelé circuit de Wien[23] court-circuité.
On ferme l'interrupteur à , le condensateur de l'association série de capacité étant initialement chargé et celui de l'association parallèle de capacité déchargé.
Pour faire les applications numériques nous nous placerons dans le cas où les deux résistances sont égales et les deux capacités aussi, ceci permettant de poser , et on prendra et .
À l'instant on note la tension instantanée aux bornes du condensateur initialement chargé de capacité et la tension instantanée aux bornes du condensateur initialement déchargé de capacité , le but de cet exercice étant de déterminer l'évolution de la tension en fonction du temps .
Détermination des valeurs à l'instant 0+ et au bout d'un temps infini de v(t) et de sa dérivée temporelle[modifier | modifier le wikicode]
À partir de considérations physiques préciser les valeurs de la tension et de sa dérivée temporelle lorsque et quand .
Solution
Valeurs initiales de la tensionet de sa dérivée temporelle :
Utilisant la continuité de la tension aux bornes du condensateur de capacité car le circuit est résistif[12], on peut écrire «» et cette dernière étant nulle car le condensateur de capacité est initialement[19] déchargé on en déduit
«» c'est-à-dire que le condensateur de capacité est équivalent à un court-circuit dans le circuit à ;
ayant aussi la continuité de la tension aux bornes du condensateur de capacité à l'instant [12] c'est-à-dire «» et cette dernière étant égale à car le condensateur de capacité est initialement[19] chargé sous tension , on en déduit
«» c'est-à-dire que le condensateur de capacité est équivalent à une source de tension parfaite de f.e.m. dans le circuit à ;
pour déterminer il convient de rechercher «»[24] et pour cela de tracer le circuit à [25] en utilisant les équivalences déterminées ci-dessus ;
on en déduit que « la f.e.m. de la source de tension équivalente à à l'instant se retrouve aux bornes de » «» et la tension aux bornes de étant nulle à l'instant étant en sur le court-circuit équivalent à à l'instant , «» et par suite la loi des nœuds «» donne finalement «» ; de l'utilisation de , on en déduit
«».
Valeurs de la tensionet de sa dérivée temporelle au bout d'un temps infini :
Les charges des condensateurs étant terminées régime permanent, on a donc «» ainsi que «» et par loi des nœuds «» dont on déduit, par utilisation de ,
«», le condensateur de capacité étant finalement déchargé ;
par utilisation de et , on déduit aussi
«» traduisant l'état d'équilibre du condensateur de capacité ;
bien que cela ne soit pas demandé, l'utilisation de la loi de maille avec et nous conduit à
«», le condensateur de capacité étant finalement, lui aussi, déchargé.
Établissement de l'équation différentielle en v(t), tension aux bornes du dipôle « R C parallèle »[modifier | modifier le wikicode]
Établir l'équation différentielle en , tension aux bornes du dipôle « parallèle », pour tout instant .
Solution
Sur le schéma ci-contre, nous avons introduit inconnues tensions, intensités et charges, il nous faudra donc relations[26] pour les éliminer progressivement en ne conservant que ;
loi des nœuds ,
lien entre tension aux bornes d'un condensateur et sa charge et d'où, en éliminant les charges au profit des tensions aux bornes des condensateurs, la diminution du nombre d'inconnues à et par suite la nécessité de relations il en faut donc encore ,
loi d'Ohm appliqué au conducteur ohmique de résistance soit d'où, en éliminant la tension aux bornes de au profit l'intensité la traversant, la diminution du nombre d'inconnues à c'est-à-dire les trois intensités , , et les trois tensions , , et par suite la nécessité de relations il en faut donc encore ,
définition du courant de décharge du condensateur de capacité soit [27] ou, en remplaçant par , la 2ème relation utile [28] et
définition du courant de charge du condensateur de capacité soit [29] ou, en remplaçant par , la 3ème relation utile [30],
1ère loi de maille fermé sur maille orientée dans le sens de ou et
2ème loi de maille fermé sur soit ou ;
enfin la caractérisation de l'interrupteur que l'on peut réécrire ;
pour déterminer l'équation différentielle en cherchée, il faut éliminer entre les relations , , , et au profit de et de ses dérivées temporelles soit :
par , ,
on reporte alors ainsi que dans et on obtient en fonction de et soit ;
on reporte alors ainsi que dans en fonction de et soit ou ;
il reste alors à éliminer à l'aide de utilisée simultanément à soit : que l'on réécrit selon ;
il suffit de dériver[2][3] et d'utiliser pour éliminer dans l'équation , on obtient alors l'équation différentielle cherchée soit ou encore sous forme normalisée :
«» ou, avec , «».
Remarque : L'équation différentielle en écrite pour tout permet de retrouver les C.I[15]., en effet l'excitation étant discontinue de 2ème espèce pour [9], on peut induire en utilisant la propriété « le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur la dérivée de plus haut ordre »[17] que est discontinue de 1ère espèce[10] et continue en [18] ;
Remarque : la valeur de peut être retrouvée en intégrant[2] l'équation différentielle en écrite pour tout entre et ce qui donne, compte-tenu de la nullité des valeurs de et pour , «»[31] ;
Remarque : la valeur de peut être retrouvée en utilisant la continuité de en [12] ce qui donne, compte-tenu de la nullité de la valeur de pour , la nullité de pour ou
«»
Remarque : et par report dans la C.I[15]. précédente soit
«».
Résolution de l'équation différentielle en v(t), tension aux bornes du dipôle « R C parallèle », puis tracé de son graphe en fonction du temps t et détermination de l'instant pour lequel v(t) est maximale[modifier | modifier le wikicode]
Exprimer sachant que , puis
donner le graphe correspondant et
déterminer le temps au bout duquel passe par un maximum.
Solution
Pour l'équation différentielle en étant linéaire à cœfficients réels constants homogène du 2ème ordre «», sa solution transitoire s'identifie à la solution libre qui se résout en cherchant les solutions de l'équation caractéristique «» ; celle-ci étant de discriminant admet deux solutions réelles distinctes «» et par suite la loi horaire d'évolution de s'écrit «» ;
on détermine et à l'aide des C.I[15]. déterminées précédemment soit d'où :
2ème C.I[15]. nécessitant d'exprimer soit, en faisant , ou «»,
2ème C.I[15]. dans laquelle on reporte tiré de la 1ère C.I[15]. soit d'où «» ;
finalement la loi horaire de variation de s'écrit selon
«» ou numériquement, avec «» et «» «», le tracé du diagramme horaire de étant représenté ci-contre ainsi que celui du début de courbe à la suite du précédent.
Détermination du temps au bout duquelpasse par un maximum : graphiquement on trouve «» ;
Détermination du temps au bout duquelpasse par un maximum : analytiquement on cherche « tel que »[32], ce qui donne, avec , l'équation en suivante ou soit, en inversant, ou, en multipliant haut et bas l'argument du logarithme par l'expression conjuguée de son dénominateur c'est-à-dire [33] soit finalement
Commentaires : on a donc montré que Commentaires : on a donc montré que sur l'intervalle le condensateur de capacité se chargeait jusqu'à atteindre une charge maximale associée à une tension soit numériquement, avec , «» et Commentaires : on a donc montré que sur l'intervalle il se déchargeait à travers le conducteur ohmique monté en parallèle sur lui jusqu'à être totalement déchargé.
Établissement du courant dans un circuit bouchon quand ce dernier est soumis, à travers un conducteur ohmique, à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]
On se propose de déterminer la réponse en intensité du courant traversant le circuit constitué d'un conducteur ohmique de résistance en série avec l'association d'un condensateur de capacité en parallèle sur une bobine parfaite d'inductance propre association parallèle appelée circuit bouchon, l'ensemble étant soumis à un échelon de tension établi à partir de et d'amplitude voir ci-contre ;
on pose «»[35] et «»[36], étant suffisamment grande pour que soit à c'est-à-dire «» ;
avant la fermeture de l'interrupteur réalisée à , toutes les grandeurs électriques tensions et intensités de courant du circuit passif sont nulles.
Établissement de l'équation différentielle en i(t), intensité du courant traversant le circuit linéaire soumis à un échelon de tension[modifier | modifier le wikicode]
Établir, pour tout , l'équation différentielle en , intensité du courant traversant le circuit bouchon, quand le circuit complet est soumis à l'échelon de tension d'amplitude .
Solution
On dispose d'une loi de nœuds ,
On dispose de deux lois de mailles dont
la 1ère est dans laquelle est liée à par convention de charge du condensateur, ce qui permet d'éliminer au profit de par dérivation[2] temporelle de cette 1ère équation de maille soit [3] l'explicitation de en fonction de selon et
la 2ème dans laquelle on peut éliminer au profit de à l'aide de la 1ère loi de maille reportée dans , ceci donnant qui permet d'expliciter plus exactement en fonction de selon ;
pour trouver l'équation différentielle en , il faut dériver[2] l'équation de nœud pour faire apparaître soit dans laquelle on peut reporter l'expression de en fonction de selon la relation ce qui donne puis dériver[2] la relation pour expliciter en fonction de selon [4] et reporter cette expression dans ce qui donne finalement ou, en ordonnant et normalisant
«».
À partir de la nature de la discontinuité de l'excitation, induction de celle des discontinuités (éventuelles) initiales de l'intensité i(t) et de son taux horaire de variation (di/dt)(t) puis détermination des C.I. par utilisation des propriétés de continuité des grandeurs électriques dans un circuit résistif[modifier | modifier le wikicode]
Induire, de la nature de la discontinuité de l'excitation en , celles de et de puis,
déterminer les valeurs initiales et par la méthode adaptée à la nature de la discontinuité éventuelle.
Solution
De l'excitation de l'équation différentielle écrite pour tout « “ discontinue de 3ème espèce en ” »[6],[7] on induit, le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reportant sur la dérivée de plus haut ordre[8], que est « “ discontinue de 3ème espèce ” »[6], discontinue de 2ème espèce[9] et discontinue de 1ère espèce en [10] ;
on trouvera donc par circuit à à représenter réellement dans lequel on remplace la bobine par un interrupteur ouvert continuité de à l'instant dans un circuit résistif[11] cette dernière étant nulle et le condensateur par un court-circuit continuité de à l'instant dans un circuit résistif[12] cette dernière étant nulle, on retrouve alors aux bornes de d'où
«» ;
l'intensité se retrouve traversant le court-circuit modélisant le condensateur à l'instant , compte-tenu du fait que la bobine est modélisée, à ce même instant, par un interrupteur ouvert d'où que l'on reporte dans la relation prise à l'instant la règle étant d'utiliser la dernière relation avant la dérivation finale permettant d'aboutir à l'équation différentielle cherchée soit d'où et finalement
Détermination de la réponse transitoire en intensité du courant et tracé du graphe de i(t) en fonction de t[modifier | modifier le wikicode]
Réécrire l'équation différentielle en pour tout sous forme canonique[38] ;
en déduire, pour , la réponse en , intensité du courant traversant le circuit complet soumis l'échelon de tension d'amplitude , en fonction de , , , et l'instant .
Donner l'allure du graphe de en fonction de .
Solution
La réduction canonique imposée nous conduit à définir
la « pulsation propre » et
un « cœfficient d'amortissement tel que »[39] d'où,
la forme canonique de l'équation différentielle en suivante
«».
Compte-tenu de l'introduction de ces grandeurs canoniques la 2ème C.I[15]. «» se réécrit selon «», la 1ère C.I[15]. restant «».
L'équation différentielle en ayant pour forme canonique : « pour », la solution transitoire est la somme d'une « solution forcée » et de la solution libre, laquelle nécessite de résoudre l'équation caractéristique «», de discriminant réduit d'après l'énoncé, n'admettant que des solutions complexes conjuguées «» d'où une solution libre pseudo-périodique «» dans laquelle on définit la « pseudo-pulsation »[40] soit finalement la solution transitoire de l'équation différentielle de la forme suivante :
«», les constantes et étant à déterminer par C.I[15]. :
2ème C.I[15]. «» soit, avec , on obtient [41] soit «» ;
de , on déduit «» ;
de avec le choix de on déduit dont on tire «»[16] ;
avec les valeurs de et précédemment déterminées on obtient
«».
L'allure de la courbe est rappelée ci-contre à droite en traits pleins avec précision des enveloppes en tiretés :
Détermination expérimentale du cœfficient de viscosité d'un fluide à partir de la période propre et de la pseudo-période d'un P.E.V.A. (pendule élastique vertical amorti) dont le solide se déplace dans le fluide précité[modifier | modifier le wikicode]
Une sphère de rayon et de masse est suspendue à un ressort de raideur et de longueur à vide .
Déplacée dans un liquide de cœfficient de viscosité dynamique[42], la sphère est soumise, à l'instant , à une force de frottement fluide linéaire donnée par la « formule de Stokes[43]» où est la vitesse de la sphère au même instant .
Détermination de l'équation différentielle du mouvement de la sphère et expression de la pseudo-période[modifier | modifier le wikicode]
Écrire l'équation différentielle du mouvement de la sphère plongée dans le liquide et
en déduire, dans l'hypothèse d'un régime pseudo-périodique, l'expression de la pseudo période .
Solution
Trois schémas côtes à côtes avec forces exercées sont bien sûr indispensables ressort suspendu à vide fixant la longueur à vide, pendule élastique vertical à l'équilibre fixant l'allongement à l'équilibre et pendule élastique vertical à l'instant fixant l'allongement supplémentaire par rapport à l'équilibre [44], le référentiel d'étude étant supposé galiléen.
Ayant choisi un axe vertical descendant et de repérer relativement à sa position d'équilibre, la r.f.d.n.[45] appliquée à s'écrit «» et projetée sur nous conduit à «» avec d'où l'équation différentielle du 2ème ordre en cherchée «» ;
la C.N[46]. d'équilibre de correspondant à la résultante des forces nulle c'est-à-dire «»[47], projetée sur , s'écrit «»[48], on en déduit l'équation différentielle du 2ème ordre en sous forme normalisée
«» ;
la réduction canonique s'obtient en définissant
la « pulsation propre » et
le « cœfficient d'amortissement par » ou qui s'écrit encore, en reportant l'expression de , selon «» ;
dans le cas où le mouvement est faiblement amorti , il est pseudo-périodique de « pseudo-pulsation » et de « pseudo-période » avec « définissant la période propre », soit encore, en reportant l'expression de , la relation suivante
«».
Détermination du cœfficient de viscosité dynamique à partir de l'expression, entre autres, de la pseudo-période[modifier | modifier le wikicode]
En supposant les frottements fluides linéaires négligeables dans l'air, la période des oscillations y est mesurée égale à ;
déduire, de la pseudo-période et de la période dans l'air, le cœfficient de viscosité dynamique[42] du liquide en fonction de , , et .
Solution
De l'expression de précédemment établie «», on tire soit en inversant ou d'où le cœfficient de viscosité dynamique soit encore «» ;
l'énoncé nous demandant d'éliminer nous utilisons pour cela que l'on reporte dans l'expression de soit ou enfin
«».
Décrément logarithmique d'un P.E.V.A. (pendule élastique vertical amorti) et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le premier se déplace[modifier | modifier le wikicode]
Un solide de masse est attaché à un ressort d'axe vertical, de raideur et de longueur à vide fixé au point fixe voir figure ci-contre.
En plus de son poids et de la force élastique du ressort, le solide est soumis à une force de frottement fluide , où est le vecteur vitesse instantané du solide à l'instant et une constante dite de « frottement fluide linéaire » dans les conditions de l'expérience.
Un capteur fournit l'évolution, au cours du temps, de la cote du solide par rapport à sa position d'équilibre.
Établissement de l'équation différentielle en z(t) cote du solide relativement à O, détermination de la cote à l'équilibre et de la loi de variation de z'(t) cote du solide relativement à sa position d'équilibre[modifier | modifier le wikicode]
Établir l'équation différentielle en cote du solide relativement à l'extrémité supérieure du ressort ;
en déduire la position d'équilibre du solide c'est-à-dire sa cote à l'équilibre puis
en déduire l'équation différentielle en cote du solide relativement à sa position d'équilibre[50]la variation de en fonction du temps étant représentée ci-contre.
Solution
On applique la r.f.d.n[45]. à dans le référentiel d'étude supposé galiléen, étant soumis aux trois forces représentées ci-contre :
son poids ,
la tension du ressort avec allongement du ressort relativement à sa position à vide et
la force de frottement fluide linéaire où est le vecteur vitesse instantané de ;
la r.f.d.n[45]. s'écrivant , on la projette sur et on obtient soit encore, en ordonnant
«».
À l'équilibre, la force de frottement fluide linéaire est nulle, la vitesse l'étant et il n'y a pas d'accélération d'où la condition d'équilibre obtenue en insérant ces informations dans l'équation différentielle ci-dessus «»[51] ou encore
«».
Pour obtenir l'équation différentielle en cote relativement à la position d'équilibre, il suffit de remplacer par dans l'équation différentielle en précédemment trouvée et on obtient ou, en transposant le 2ème membre dans le 1er et, en introduisant cote relativement à la position d'équilibre , on obtient la nouvelle équation différentielle cherchée
réécrire l'équation différentielle en sous sa forme canonique.
Solution
La réduction canonique proposée nous impose de définir
la « pulsation propre » dont le carré est le cœfficient de dans l'équation différentielle normalisée et
le « facteur de qualité tel que » cœfficient de dans l'équation différentielle normalisée soit encore «»[52] ou, en éliminant , l'expression moins utilisée«» ;
on en déduit la forme canonique normalisée de l'équation différentielle en suivante
Déterminer, par résolution de l'équation différentielle précédente, la loi de variation de en fonction du temps ;
préciser la pseudo-période en fonction de la période propre et du facteur de qualité .
Solution
On se place dans les conditions de « faible amortissement »[53] le discriminant de l'équation caractéristique étant correspondant à «»[54], et les solutions complexes conjuguées de l'équation caractéristique sont «» avec « définissant la pseudo-pulsation » d'où la forme de la solution
La « pseudo-période s'écrit » soit, en réinjectant l'expression de la pseudo-pulsation et en définissant la « période propre »,
«».
Définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité[modifier | modifier le wikicode]
Montrer que le décrément logarithmique défini par est indépendant du temps et
l'exprimer en fonction du facteur de qualité.
Solution
Le décrément logarithmique étant défini selon [56] se réécrit, avec l'expression de «»[55] précédemment établie, sous la forme suivante «» ou, en utilisant que est la période de ,
«indépendant de»
soit encore «» et, en remplaçant par son expression en fonction de entre autres, «» ou, avec ,
En utilisant les positions du solide à chaque passage au maximum, comparer les données expérimentales à la modélisation précédente ;
Commenter les résultats obtenus et estimer à l'aide des données expérimentales le décrément logarithmique[57] ainsi que son incertitude de répétabilité ou de type A[58].
Solution
À l'aide du diagramme horaire rappelé ci-contre nous déterminons le tableau de valeurs ci-dessous
n° du maximum
n°
n°
n°
n°
n°
n°
(en )
On vérifie que le décrément logarithmique est quasi indépendant de , il reste en effet constant à près[59] ; cela peut paraître important comme écart à la constance mais les mesures d'amplitudes sur le diagramme présenté étant faites au mieux au près, cela entraîne une imprécision de sur l'amplitude la plus grande et de sur l'amplitude la plus petite d'où une imprécision d'autant plus grande que le décrément logarithmique est évalué entre des amplitudes successives prises à des instants éloignés de l'instant initial.
Si on admet la modélisation on peut améliorer l'évaluation du décrément logarithmique en prenant la variation entre le 1er et le 6ème maximum selon , on trouve alors en faisant cela avec une précision cinq fois meilleure.
« La meilleure estimation du décrément logarithmique étant sa valeur moyenne elle vaut » ;
le calcul de l'« écart-type expérimental »[60] nous conduit à et celui de l'« écart-type expérimental sur la moyenne »[61] nous conduit à ; c'est cette dernière que nous prenons comme « incertitude de répétabilité (ou de type A) sur le décrément logarithmique » soit «» et finalement
« la valeur du décrément logarithmique est ».
Par étude des données expérimentales estimation du facteur de qualité et de la pseudo-pulsation[modifier | modifier le wikicode]
Estimer à l'aide des données expérimentales le facteur de qualité [62] puis
Estimer à l'aide des données expérimentales la pseudo-pulsation [63].
Solution
Compte-tenu de dont on tire «», on trouve pour « meilleure estimation de la valeur moyenne »[62] et on en déduit l'« incertitude de répétabilité ou de type A sur par »[62] soit finalement «» et numériquement «» d'où
« la valeur du facteur de qualité estimée à ».
Il reste à déterminer la pseudo-période sachant que « le 1er maximum est repéré à » et « le 6ème à » soit « pseudo-périodes pour une durée de » et par suite « la meilleure estimation pour la pseudo-période est » ; pour évaluer l'incertitude-type sur la pseudo-période[64] nous allons estimer l'incertitude de résolution ou de type B en considérant une loi de probabilité uniforme, « la résolution de lecture sur les étant estimée à », « sur elle est de » et « l'incertitude de résolution vaut alors »[63] d'où
« la valeur de la pseudo-période estimée à en » ;
on en déduit la « pseudo-pulsation » de « meilleure estimation » et « l'incertitude-type relative de résolution sur étant la même que celle sur »[65] on en déduit d'où «» ;
finalement « la valeur de la pseudo-pulsation est estimée à en ».
Déduction des résultats estimés précédents de la masse du solide et du cœfficient de frottement fluide linéaire entre le solide et le fluide[modifier | modifier le wikicode]
En déduire la valeur de la masse du solide et
En déduire la valeur du cœfficient de frottement fluide linéaire entre le solide et le fluide.
Solution
« Vu le facteur de qualité élevé on peut confondre la pseudo-pulsation et la pulsation propre » d'où « en » avec dont on tire «» soit, avec [66], « la meilleure estimation de la masse ou » ; « l'incertitude-type relative sur étant le double de celle sur »[67], on en déduit d'où «» ;
finalement « la valeur de la masse est estimée à en ».
Enfin le cœfficient de frottement fluide linéaire se détermine à l'aide de «» soit « la meilleure estimation sur ce cœfficient de frottement fluide linéaire ou » ; « l'incertitude-type relative sur étant la somme de celle sur et de celle sur »[68], nous en déduisons d'où « l'incertitude-type sur vaut » ;
finalement « la valeur du cœfficient de frottement fluide linéaire est estimée à en ».
À l'aide de deux circuits oscillants identiques « série » initialement au repos[69] on réalise un couplage entre eux par condensateur c'est-à-dire qu'on les monte parallèlement à un condensateur voir schéma ci-contre, ce condensateur de capacité est initialement chargé, sa charge initiale étant égale à [70] ;
nous supposons que l'instant de réalisation du couplage est pris comme origine des temps .
Établissement du système d'équations différentielles couplées en i1(t) et i2(t), respectivement intensité du courant circulant dans les circuits oscillants de gauche et de droite[modifier | modifier le wikicode]
Déterminer le système d'équations différentielles couplées en et , respectivement intensité du courant circulant dans les circuits oscillants de gauche et de droite[71].
Solution
On dispose d'une loi de nœuds ,
On dispose de deux lois de mailles dont
la 1ère est dans laquelle étant la tension aux bornes de l'interrupteur est égale à [72], avec convention de charge du condensateur, cette 1ère loi de maille se réécrivant selon et
la 2ème dans laquelle [72] avec selon la convention de charge du condensateur, cette 2ème loi de maille se réécrivant selon ;
pour trouver les équations différentielles en et en , il faut éliminer les charges dans les relations et en utilisant convention de décharge du condensateur ainsi que les deux relations déjà présentées liant et ainsi que et donc en dérivant[2] par rapport au temps les relations et soit :
Montrer que l'on découple le système en formant et , obtenant ainsi deux équations différentielles découplées[73]
en et
en .
Solution
Formant on obtient soit encore Formant on obtient ou, en posant , l'équation différentielle découplée en suivante
«» ;
formant on obtient soit encore Formant on obtient ou, en posant , l'équation différentielle découplée en suivante
«».
Détermination des lois de variation de s(t) = i1(t) + i2(t) et de d(t) = i1(t) - i2(t) en fonction du temps t[modifier | modifier le wikicode]
Résoudre chaque équation différentielle découplée et pour en déduire les lois de variation de et de avec le temps .
Solution
Résolution de l'équation différentielle en c'est-à-dire l'équation : sa forme canonique définit une « 1ère pulsation propre », l'équation différentielle sous forme canonique s'écrivant Résolution de l'équation différentielle en«» ; l'absence d'excitation conduit d'une part à la continuité de et de sa dérivée temporelle en en effet d'une éventuelle discontinuité de l'excitation la continuité étant considérée, par abus, comme une discontinuité de 0ème espèce on induit que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur la dérivée de plus haut ordre[17] du 1er membre de l'équation différentielle, avec des valeurs initialement[19] nulles, soit et d'autre part à l'absence de réponse forcée, la réponse transitoire s'identifiant à la réponse libre soit , et se déterminant à l'aide des C.I[15]. c'est-à-dire d'où et
finalement «».
Résolution de l'équation différentielle en c'est-à-dire l'équation : sa forme canonique définit une « 2ème pulsation propre », l'équation différentielle sous forme canonique s'écrivant Résolution de l'équation différentielle en«» ; la présence d'excitation discontinue de 2ème espèce[9] conduit à la continuité de et à la discontinuité de 1ère espèce[10] de sa dérivée temporelle en en effet on induit que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur la dérivée de plus haut ordre du 1er membre de l'équation différentielle et que la prise de primitive s'accompagne de la diminution de du numéro d'espèce de discontinuité, la discontinuité de 0ème espèce correspondant à la continuité[17], avec des valeurs initialement[19] nulles, soit « pour la 1ère C.I[15]. », la 2ème s'obtenant en intégrant[2] l'équation différentielle écrite pour tout entre et soit car , étant continue la continuité des primitives de ou soit finalement «» ; l'équation différentielle en pour «» correspondant à l'absence de réponse forcée, la réponse transitoire s'identifie à la réponse libre soit , et se déterminant à l'aide des C.I[15]. c'est-à-dire d'où et
Déduire, des expressions de et de , celles de et de .
Solution
De on déduit «» ;
reporté dans on tire
«» avec «».
Interprétation énergétique du facteur de qualité d'un « R L C série court-circuité », le condensateur étant initialement chargé et le conducteur ohmique étant de faible résistance[modifier | modifier le wikicode]
Un circuit électrique est composé d'un interrupteur , d'un conducteur ohmique de résistance , d'un condensateur parfait de capacité initialement chargé sous la tension [74] et d'une bobine également parfaite d'inductance propre , le tout monté en série voir figure ci-contre ;
on ferme l'interrupteur à l'instant .
Établissement de l'équation différentielle en charge q(t) du condensateur et de sa réduction canonique[modifier | modifier le wikicode]
Établir l'équation différentielle satisfaite par la charge du condensateur quand l'interrupteur est fermé ;
définir, en fonction de , et ,
la pulsation propre et
le facteur de qualité du série, puis
réécrire l'équation différentielle sous forme canonique.
Solution
On écrit la loi de maille le sens étant choisi dans le sens du courant soit «»[75] avec «» convention de décharge du condensateur et «»[76] soit finalement
«».
On normalise l'équation différentielle «» puis on pratique la réduction canonique en définissant
la « pulsation propre » et
le « facteur de qualité tel que » «»[77], ce dernier que l'on peut réécrire en éliminant selon soit, après simplification «» ;
la forme canonique de l'équation différentielle en s'écrit donc selon
On se place pour la suite dans le cas d'un amortissement très faible correspondant à «».
Détermination de la variation de la charge du condensateur en fonction du temps[modifier | modifier le wikicode]
Exprimer la variation de la charge du condensateur en fonction des données on posera , des grandeurs canoniques et du temps.
Solution
En absence d'excitation dans l'équation différentielle pour , la réponse transitoire se limite à la réponse libre et pour obtenir cette dernière il suffit de résoudre l'équation caractéristique «» de discriminant [80], d'où les zéros de l'équation caractéristique s'écrivant dans selon «» avec la « pseudo-pulsation » compte-tenu de la forme de la solution libre et donc celle de la solution transitoire «» ;
il reste à déterminer et à l'aide des C.I[15]. sachant qu'il y a continuité de la charge d'un condensateur[81] ainsi que de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite dans un circuit résistif[11],[82] d'où
«» avec soit, en y faisant la 2ème C.I[15]. ou, en y reportant l'expression de , la réécriture de la 2ème C.I[15]. selon «» soit, avec , l'expression approchée de «» dont la valeur étant très petite en valeur absolue car peut être assimilée à soit «» ;
de ces deux C.I[15]. on tire donc «» et «» et finalement
Évaluer la pseudo-période , ainsi que l'ordre de grandeur de la durée du régime transitoire.
Solution
La pseudo-période s'identifie à la période propre car la pseudo-pulsation est quasiment la pulsation propre soit
«» ;
posant «»[83] la décroissance exponentielle se réécrit « s'amortissant en » soit ou, en introduisant la période propre,
«».
Tracé du diagramme horaire et du portrait de phase de la charge du condensateur[modifier | modifier le wikicode]
Représenter le diagramme horaire de la charge du condensateur ainsi que
Représenter son portrait de phase.
Solution
Ci-contre à gauche, le diagramme horaire construit avec un facteur de qualité permettant d'affirmer que à près en effet la pseudo-pulsation en faisant un D.L[84]. à l'ordre un en l'infiniment petit d'ordre un de « pour »[85] soit numériquement à près donnant « à près »[86] et «» d'où
«» ;
ci-contre à droite, le portrait de phase construit avec le même facteur de qualité [87], on rappelle que «».
Détermination de l'énergie stockée dans le L C série à l'instant t ainsi que le signe de son taux horaire de variation[modifier | modifier le wikicode]
Évaluer l'énergie contenue dans le circuit à l'instant .
Que dire du signe de ?
Solution
L'énergie du circuit à l'instant est stockée sous forme électromagnétique et s'exprime selon «» avec «» et «» soit encore, avec [88], «»[89] ; le report des expressions de et de nous conduisent à ou, en factorisant par et en utilisant , l'expression ce qui donne finalement
«» avec « l'énergie initialement[19] stockée dans le circuit ».
la variation de l'énergie stockée dans le circuit étant exponentiellement avec comme « constante de temps correspondant à », on en déduit que
«» ;
une autre explication du signe de la dérivée temporelle provient du bilan de puissance
Détermination de la variation relative d'énergie perdue dans le L C série pendant une pseudo-période[modifier | modifier le wikicode]
Évaluer la variation relative d'énergie perdue dans le circuit pendant une pseudo-période soit .
Solution
La variation relative d'énergie perdue dans le circuit pendant une pseudo-période est ou encore, avec , ce qui implique que «» permettant de faire un D.L[84]. à l'ordre un en l'infiniment petit d'ordre un de la fonction exponentielle d'où [85] et finalement
Déduire de ce qui précède une caractérisation énergétique du facteur de qualité dans le cas d'un régime pseudo-périodique très faiblement amorti.
Solution
De l'expression précédente «» nous déduisons «» soit, en reportant la définition de , la relation suivante «» ;
le bilan d'énergie sur une pseudo-période conduisant à [91],[92], nous pouvons transformer la relation précédente selon
«» d'autant plus grand que la proportion d'énergie perdue par effet Joule dans le conducteur ohmique sur une pseudo-périodeest faible.
Remarque : cette interprétation énergétique du facteur de qualité n'est valable qu'à grand facteur de qualité, quand ce dernier est plus faible nous n'avons d'ailleurs plus une décroissance simplement exponentielle de l'énergie stockée, la variation étant plus compliquée
↑ 3,03,13,23,33,4 et 3,5 Voir le paragraphe « pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » définissant que le pic de Dirac d'impulsion unité comme la dérivée temporelle au sens des distributions de la fonction d'Heaviside soit «». Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en , on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français Laurent Schwartz (1915 - 2002) dans sa théorie des distributions ; Paul Dirac fut colauréat du prix Nobel de Physique en pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à Erwin Schrödinger pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger. Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la mécanique quantiqueconnu sous le nom de mécanique ondulatoire ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en avec Paul Dirac lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à Erwin Schrödinger l'expérience de pensée proposée à Albert Einstein en et connue sous le nom chat de Schrödinger. Werner Karl Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, ayant obtenu le prix Nobel de physique en pour la création de la mécanique quantique, dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène. Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique. Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte, ayant commencé sa carrière en tant qu'opérateur de télégraphe, développé de façon intuitive le calcul opérationnel pour résoudre des équations différentielles en les transformant en équations algébriques, travaillé sur la propagation des courants électriques dans des conducteurs et développé la fonction portant son nom encore appelée échelon ou marche utilisée dans l'étude de systèmes en automatique.
↑ 7,0 et 7,1 Présence d'un « double pic de Dirac inversé » appellation personnelle, dérivé du pic de Dirac d'impulsion unité. Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique : voir la note « 3 » pour plus de détails.
↑ On pouvait aussi utiliser la méthode hors programme consistant à intégrer au sens des distributions l'équation différentielle écrite pour tout , celle-ci donnant ou car , étant discontinue de 1ère espèce la continuité des primitives de soit finalement compte-tenu de la valeur de
↑ 23,023,1 et 23,2Max Wien (1866 - 1938) physicien allemand à qui on doit l'oscillateur à pont dit de Wien en et le "Löschfunkensender" un générateur d'oscillations électromagnétiques légèrement amorties entre et ; il eut l'idée d'un amplificateur électronique qu'il ne réalisa pas faute de moyens ce fût William Hewlett (1913 - 2001), ingénieur américain en électronique, cofondateur de Hewlett-Packard, qui le réalisa en .
↑ Le condensateur de capacité étant en convention récepteur.
↑ Mais certaines étant très simples comme par exemple la tension aux bornes de l'interrupteur , le nombre d'inconnues et donc le nombre de relations nécessaires diminuera très sensiblement.
↑ Convention de décharge du condensateur de capacité .
↑ Convention générateur pour le condensateur de capacité .
↑ Convention de charge du condensateur de capacité .
↑ Convention récepteur pour le condensateur de capacité .
↑ En effet le 2nd membre de l'équation intégrée s'écrivant .
↑ En vérifiant qu'il s'agit bien d'un maximum du diagramme nécessitant et .
↑ L'expression conjuguée de l'expression irrationnelle étant , on utilise que le produit de deux expressions irrationnelles conjuguées est rationnel c'est-à-dire ici .
↑ On vérifie effectivement car et On vérifie effectivement car car « est une fonction sur de à sa dérivée y étant d'où ».
↑ Pour l'instant il ne s'agit que d'une grandeur homogène à une pulsation, vraisemblablement la pulsation propre du circuit mais, si l'intuition est exacte, cela reste à vérifier.
↑ a donc la même homogénéité que , tous deux s'exprimant en .
↑ On pouvait aussi utiliser la méthode hors programme consistant à intégrer au sens des distributions l'équation différentielle écrite pour tout , cette intégration donnant «» ou «» car d'une part , étant discontinue de 1ère espèce la continuité des primitives de et d'autre part, pour la même raison, soit finalement compte-tenu de la valeur de
↑ On vérifiera que seules les grandeurs réduites et interviennent, le cœfficient d'amortissement usuel étant remplacé par .
↑ Ce cœfficient d'amortissement est lié au cœfficient d'amortissement usuel par .
↑ En introduisant le cœfficient d'amortissement usuel on retrouve la forme usuelle de la pseudo-pulsation .
↑ Le 1er terme du 1er membre est nul par la 1ère C.I..
↑ 42,0 et 42,1 Exemple de fluide relativement visqueux « la glycérine » de viscosité dynamique ce qui donnerait, en supposant l'objet sphérique de rayon , un cœfficient de frottement fluide linéaire donné par la formule de Stokes et si l'objet était en fer de masse volumique , sa masse serait soit un rapport , enfin si la raideur du ressort était , la pulsation propre serait et le cœfficient d'amortissement vaudrait soit un régime pseudo-périodique ; il existe d'autres fluides encore plus visqueux comme le miel de viscosité dynamique ou la mélasse de viscosité dynamique, leur utilisation entraînant une multiplication du cœfficient de frottement fluide linéaire avec les mêmes dimensions d'un facteur à et par suite une multiplication du cœfficient d'amortissement d'un facteur à conduisant, dans ce cas, à un régime apériodique. George Gabriel Stokes (1819 - 1903) mathématicien et physicien britannique : voir la note « 43 » plus loin dans ce chapitre pour plus de détails.
↑George Gabriel Stokes (1819 - 1903) est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la Terre il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie et aussi l'explication du phénomène de ||w:Fluorescence|fluorescence]] ; dans le domaine des mathématiques on lui attribue à tort la démonstration du théorème portant son nom mais en fait une 1ère démonstration de ce théorème fût donnée vingt ans plus tôt par Mikhaïl Vassilievitch Ostrogradsky (1801 - 1862) physicien et mathématicien russe province de l'Ukraine à qui on doit aussi, entre autres, un théorème portant son nom
↑ La position d'équilibre est choisie comme origine de l'axe orienté vers le bas.
↑ 45,045,1 et 45,2 Relation fondamentale de la dynamique newtonienne ou 2ème loi de Newton. Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.
↑ La force de Stokes proportionnelle à la vitesse de est nulle à l'équilibre.
↑ Cette relation à l'équilibre aurait pu également être obtenue en faisant , et compte-tenu du choix de l'origine dans l'équation différentielle précédemment trouvée la nullité du 1er membre de l'équation différentielle et par suite nécessairement la nullité du 2ème membre soit effectivement .
↑ 49,049,1 et 49,2 Pendule Élastique Vertical Amorti.
↑ À cette étape on ne demande pas encore de faire une réduction canonique.
↑ On aurait obtenu le même résultat en écrivant que la somme des forces appliquées est nulle à l'équilibre soit ou, la relation suivante en projetant sur
↑ La 2ème expression se déduisant de la 1ère en utilisant .
↑ Hypothèse en accord avec l'enregistrement donnée ci-dessus.
↑ En accord avec le résultat du cours « régime pseudo-périodique » si avec .
↑ 55,0 et 55,1 et étant des constantes à déterminer à l'aide des C.I. qui ne sont pas précisées ici.
↑ Applicable pour tout et en particulier quand est maximale, dans ce cas le décrément logarithmique est le logarithme népérien du rapport des pseudo-amplitudes d'oscillations successives séparées d'une pseudo-période.
↑ Le meilleur estimateur d'une grandeur dont on fait une série de mesures est sa moyenne arithmétique .
↑ On définit l'écart-type expérimental sur une série de mesures de la grandeur précisant la dispersion de cette série autour de sa valeur moyenne par «», mais On définit l'incertitude de répétabilitéou de type A sur la grandeur lors d'une série de mesures devant traduire la dispersion de la valeur moyenne si on répétait un grand nombre de fois cette série de mesures, dispersion d'autant plus faible que le nombre de mesures est grand est estimée par l'écart-type expérimental sur la moyenne «».
↑ La valeur moyenne est , l'écart entre la plus grande valeur et la valeur moyenne étant de représente alors que l'écart entre la valeur moyenne et la plus petite valeur étant de représente .
↑ Les valeurs des observations individuelles différant en raison des variations aléatoires des grandeurs d'influence, la variabilité des valeurs observées ou plus exactement leur dispersion autour de leur moyenne est appelée écart-type expérimental ; ce dernier se calcule selon .
↑ Ayant effectué une série de mesures de la grandeur et défini la dispersion de la série autour de leur moyenne par l'écart-type expérimental , on cherche à définir la dispersion de la valeur moyenne si on répétait un grand nombre de fois cette série de mesures, la dispersion étant d'autant plus faible que le nombre de mesures est grand est estimée par l'écart-type expérimental sur la moyenne.
↑ 62,062,1 et 62,2 Si une grandeur est fonction d'une autre grandeur et que la mesure de est réalisée en faisant une série de mesures, le meilleur estimateur de étant la moyenne de ses mesures avec une incertitude de répétabilité ou de type A sur notée , on en déduit le meilleur estimateur de par avec une incertitude de répétabilité ou de type A sur égale à «».
↑ 63,0 et 63,1 Dans le cas où l'estimation d'une mesure peut être difficilement obtenue en réalisant une série de mesures, il est nécessaire de remplacer l'incertitude de répétabilité ou de type A par une autre incertitude dite de résolution ou de type B ; pour arriver à exprimer l'incertitude de résolution ou de type B sous forme d'un écart-type, il faut recourir à des « lois de probabilité » ces lois de probabilité définissent la variation de la probabilité d'une mesure sur l'intervalle , par exemple si on effectue une mesure d'abscisse à l'aide d'une règle graduée au et que cette mesure nous indique que l'abscisse est comprise entre et , il est souhaitable de considérer que toutes les valeurs entre et sont équiprobables d'où une densité de probabilité uniforme et si la loi de probabilité choisie est uniforme l'incertitude de résolution ou de type B est « où ».
↑ On pourrait, pour évaluer l'incertitude-type sur , procéder de même que pour le décrément logarithmique en déterminant les durées écoulées entre deux maxima successifs et en évaluant l'écart-type expérimental puis l'écart-type expérimental sur la moyenne mais nous allons procéder autrement.
↑ Car conduit à des erreurs relatives opposées et par suite des incertitudes relatives égales, les incertitudes étant nécessairement positives.
↑ Car conduit à des erreurs relatives de signes opposes dans un rapport de deux et par suite des incertitudes relatives dans un rapport de deux, les incertitudes étant nécessairement positives.
↑ Car conduit à une erreur relative sur opposée de la somme des erreurs relatives sur et sur soit et par suite une incertitude relative sur égale à la somme des incertitudes relatives sur et sur , les incertitudes étant nécessairement positives.
↑ C.-à-d. que les condensateurs sont initialement déchargés et qu'il n'y a aucun courant circulant dans les bobines.
↑ On peut utiliser cette notation car dans cet exercice il ne sera pas question de facteur de qualité, de toute façon il n'y aurait aucune ambiguïté car un facteur de qualité est sans dimension alors que la charge initiale est évidemment en .
↑ 71,0 et 71,1 Le système est dit couplé parce que l'équation différentielle en , équation que l'on notera , a un deuxième membre dépendant de et l'équation différentielle en , équation que l'on notera , a un deuxième membre dépendant de .
↑ 72,0 et 72,1 En effet, quand est , l'interrupteur est équivalent à un court-circuit d'une part avec d'autre part et, quand est , la tension aux bornes de l'interrupteur doit compenser celle aux bornes du condensateur de capacité c'est-à-dire d'une part avec d'autre part.
↑ La méthode de découplage du système des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants est celle « par combinaison linéaire réelle », elle est exposée en détail dans le paragraphe « mise en pratique du découplage par combinaison linéaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », mais ce n'est pas ce qui est fait ici : on propose les combinaisons linéaires réelles à utiliser il est d'ailleurs possible de les deviner quand il s'agit simplement de somme et de différence et souhaitable de le vérifier avant d'amorcer la méthode de recherche plus générale des combinaisons linéaires réelles d'où une grande simplification de la méthode.
↑ La tension aux bornes du condensateur étant définie comme la d.d.p. entre l'armature portant la charge et celle portant la charge .
↑ Le choix de sens des tensions correspond à la convention générateur pour le conducteur ohmique et la bobine.
↑ En effet, quand est , l'interrupteur est équivalent à un court-circuit d'une part avec d'autre part et, En effet, quand est , la tension aux bornes de l'interrupteur dans le sens du courant doit compenser celle aux bornes du condensateur de capacité c'est-à-dire d'une part avec d'autre part.
↑ Le 1er terme ayant une amplitude petite par rapport au 2ème peut être supprimé.
↑ Cela revient à dire que pendant le temps de variation d'une période du cosinus l'amplitude peut être considérée comme constante d'où son absence de dérivation.