Série et transformée de Fourier en physique/Transformée de Fourier

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Pour plus de détails, voir le paragraphe correspondant de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

La transformation de Fourier est une extension, pour les fonctions non périodiques, du développement en série des fonctions périodiques de Fourier.

La transformation de Fourier est l'opérateur qui décompose un signal $s(t)$ (une fonction réelle, continue, finie, à énergie et durée finie) dans la base des fonctions harmoniques.

Généralités

Représentions temporelle et spectrale du signal

$s(t)$ est la représentation temporelle du signal. Elle peut être réelle ou complexe. C'est la partie réelle qui caractérise l'évolution du phénomène physique dans le temps.

${\hat {s}}(f)$ est la représentation fréquentielle du signal. Elle est la transformée de Fourier de la fonction $s(t)$. Elle permet de définir :

• $|{\hat {s}}(f)|$ est le spectre d'amplitude ;
• $|{\hat {s}}(f)|^{2}$ est la densité spectrale d'énergie (abusivement appelée densité spectrale de puissance),
• ${\rm {arg}}\left({\hat {s}}(f)\right)$ est le spectre de phase.

Puissance et énergie du signal

	d'un signal	de deux signaux
Puissance instantanée	$p_{xx}(t)=x(t)\cdot x^{*}(t)$	$p_{xy}(t)=x(t)\cdot y^{*}(t)$
Puissance moyenne sur une durée $T$	$P_{xx}(t_{0},T)={1 \over {T}}\cdot \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)\cdot x^{*}(t)\cdot \mathrm {d} t$	$P_{xy}(t_{0},T)={1 \over {T}}\cdot \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)\cdot y^{*}(t)\cdot \mathrm {d} t$
Energie sur une durée $T$	$W_{xx}(t_{0},T)=\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)\cdot x^{*}(t)\cdot \mathrm {d} t$	$W_{xy}(t_{0},T)=\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)\cdot y^{*}(t)\cdot \mathrm {d} t$

Définition de la transformation de Fourier

La transformée de Fourier et la transformée de Fourier inverse peuvent s'exprimer à partir de la fréquence ou de la pulsation avec $\omega =2\pi .f$.

Dans la plupart des cas, la convention suivante est adoptée.

Transformée de Fourier	Transformée de Fourier inverse
${\mathcal {F}}(s(t))={\hat {s}}(f)=\int _{-\infty }^{+\infty }s(t)\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f.t}\cdot \mathrm {d} t$	${\mathcal {F}}^{-1}({\hat {s}}(f))=s(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {s}}(f)\cdot \mathrm {e} ^{+{\rm {j}}.2\pi .f.t}\cdot \mathrm {d} f$
${\mathcal {F}}(s(t))={\hat {s}}(\omega )=\int _{-\infty }^{+\infty }s(t)\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\omega .t}\cdot \mathrm {d} t$	${\mathcal {F}}^{-1}({\hat {s}}(\omega ))=s(t)={\frac {1}{2\pi }}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {s}}(\omega )\cdot \mathrm {e} ^{+{\rm {j}}.\omega .t}\cdot \mathrm {d} \omega$

Mais parfois, notamment en électronique, on peut préférer utiliser une définition différente pour assurer une symétrie entre transformée et transformée inverse.

Transformée de Fourier	Transformée de Fourier inverse
${\mathcal {F}}(s(t))={\hat {s}}(\omega )={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }s(t)\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\omega .t}\cdot \mathrm {d} t$	${\mathcal {F}}^{-1}({\hat {s}}(\omega ))=s(t)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {s}}(\omega )\cdot \mathrm {e} ^{+{\rm {j}}.\omega .t}\cdot \mathrm {d} \omega$

C'est la première définition qui sera utilisée ici.

La transformée de Fourier introduit des fréquences négatives qui n'ont aucun sens physique et qui ne sont souvent pas représentées.