Série de Fourier/Exercices/Exemple de développement en série de Fourier

Exercice 2-1

Soit $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ définie par $f(t)=\left|\sin t\right|$.

1. Calculer les coefficients de Fourier réels de $f$.

2. Montrer que la série de Fourier de $f$ converge normalement et préciser sa somme.

Solution

1. L'application $f$ est continue par morceaux et $\pi$-périodique : ses coefficients de Fourier existent.

Soit $f$ une fonction $T$-périodique, ses coefficients de Fourier réels sont définis de la manière suivante :

$\forall n\in \mathbb {N} \quad a_{n}(f)={\frac {2}{T}}\int _{[T]}f(t)\cos {\tfrac {2\pi nt}{T}}\,\mathrm {d} t$ ;

$\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad b_{n}(f)={\frac {2}{T}}\int _{[T]}f(t)\sin {\tfrac {2\pi nt}{T}}\,\mathrm {d} t$.

Comme $f$ est paire, $b_{n}(f)=0$.

${\begin{aligned}a_{n}(f)&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }f(t)\cos(2nt)\,\mathrm {d} t\\&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin t\cos(2nt)\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin((2n+1)t)-\sin((2n-1)t)\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{\pi }}\left[{\frac {\cos((2n+1)t)}{2n+1}}+{\frac {\cos((2n-1)t)}{2n-1}}\right]_{0}^{\pi }\\&={\frac {1}{\pi }}\left({\frac {2}{2n+1}}-{\frac {2}{2n-1}}\right)\\&=-{\frac {4}{\pi (4n^{2}-1)}}.\end{aligned}}$

2. $f$ est de classe $C^{1}$ par morceaux et $\pi$ -périodique. D’après le théorème de Dirichlet, sa série de Fourier converge normalement vers $f$ sur $\mathbb {R}$.

${\begin{aligned}\forall t\in \mathbb {R} \quad \left|\sin t\right|&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(2nt)+b_{n}\sin(2nt))\\&={\frac {2}{\pi }}-{\frac {4}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos(2nt)}{4n^{2}-1}}\\&={\frac {2}{\pi }}-{\frac {4}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1-2\sin ^{2}(nt)}{4n^{2}-1}}\\&={\frac {8}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}(nt)}{4n^{2}-1}}.\end{aligned}}$

 

Exercice 2-2

Soit $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ de période $2\pi$, égale à $x^{2}$ sur $\left[0,2\pi \right[$.

1. Démontrer que sa série de Fourier ${\mathcal {F}}(f)$ converge en tout point $x$ de $\mathbb {R}$ et déterminer sa somme $S(x)$.
2. Déterminer ses coefficients de Fourier.
3. En déduire la somme des séries $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ et $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}}}$.
4. 1. Montrer que pour tout $\varepsilon \in \left]0,\pi \right[$, la convergence de ${\mathcal {F}}(f)$ est uniforme sur $\left[\varepsilon ,2\pi -\varepsilon \right]$.
   2. En déduire, pour tout $x\in \left]0,2\pi \right[$, la somme de la série $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(nx)+n\pi \cos(nx)}{n^{3}}}$.
   3. En déduire la somme de la série $\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}}{(2p+1)^{3}}}$.
5. Déterminer la somme de la série $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}}}$.

Solution

1. $f$ est C¹ par morceaux donc d'après le théorème de Jordan-Dirichlet, ${\mathcal {F}}(f)$ converge en tout $x$ vers $S(x)={\frac {f_{+}(x)+f_{-}(x)}{2}}={\begin{cases}f(x)&{\text{si }}x\notin 2\pi \mathbb {Z} \\2\pi ^{2}&{\text{si }}x\in 2\pi \mathbb {Z} .\end{cases}}$
2. $c_{0}={\frac {4\pi ^{2}}{3}}$ et une double intégration par parties donne $c_{n}={\frac {2}{n^{2}}}+{\frac {2\pi \mathrm {i} }{n}}$ ($\forall n\in \mathbb {Z} ^{*}$), donc $a_{0}={\frac {8\pi ^{2}}{3}}$ et $\forall n\in \mathbb {N} ^{*}$, $a_{n}={\frac {4}{n^{2}}}$ et $b_{n}=-{\frac {4\pi }{n}}$.
3. $S(x)={\frac {4\pi ^{2}}{3}}+4\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {\cos(nx)}{n^{2}}}-{\frac {\pi \sin(nx)}{n}}\right)$.
   1. $2\pi ^{2}=S(0)={\frac {4\pi ^{2}}{3}}+4\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ donc $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$.
   2. $\pi ^{2}=S(\pi )={\frac {4\pi ^{2}}{3}}+4\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}}}$ donc $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}}}=-{\frac {\pi ^{2}}{12}}$.

   Voir aussi : Sommation/Exercices/Séries de Fourier et fonction zêta.

4. 1. Conséquence immédiate du théorème de convergence normale de Dirichlet.
   2. ${\frac {x^{3}-\pi ^{3}}{3}}=\int _{\pi }^{x}S(t)\,\mathrm {d} t={\frac {4\pi ^{2}(x-\pi )}{3}}+4\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(nx)+n\pi \cos(nx)}{n^{3}}}-4\pi {\frac {-\pi ^{2}}{12}}={\frac {4\pi ^{2}x}{3}}-\pi ^{3}+4\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(nx)+n\pi \cos(nx)}{n^{3}}}$
      donc $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(nx)+n\pi \cos(nx)}{n^{3}}}={\frac {x^{3}}{12}}-{\frac {\pi ^{2}x}{3}}+{\frac {\pi ^{3}}{6}}$.
   3. En particulier (pour $x={\frac {\pi }{2}}$) $\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}}{(2p+1)^{3}}}+\pi \sum _{p=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}}{(2p)^{2}}}={\frac {\pi ^{3}}{8\times 12}}$ donc (compte tenu de la question 3) $\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}}{(2p+1)^{3}}}={\frac {\pi ^{3}}{32}}$.
5. D'après la formule de Parseval, ${\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }x^{4}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }|c_{n}|^{2}$ c'est-à-dire ${\frac {16\pi ^{4}}{5}}={\frac {16\pi ^{4}}{9}}+2\sum _{n=-1}^{\infty }\left({\frac {4}{n^{4}}}+{\frac {4\pi ^{2}}{n^{2}}}\right)={\frac {16\pi ^{4}}{9}}+8\sum _{n=-1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}}}+{\frac {4\pi ^{4}}{3}}$, donc $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}}}={\frac {\pi ^{4}}{90}}$.

 

Exercice 2-3

Soit $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ de période $2\pi$, égale à $\cosh(\alpha x)$ sur $\left]-\pi ,\pi \right]$ (avec $\alpha \in \mathbb {R} ^{*}$).

1. Déterminer sa série de Fourier sous sa forme réelle.
2. Démontrer que cette série converge simplement sur $\mathbb {R}$ et déterminer sa somme $S(x)$ pour tout $x\in \mathbb {R}$.
3. En déduire la somme de $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\alpha ^{2}+n^{2}}}$.
4. Montrer que pour tout $\varepsilon \in \left]0,\pi /2\right[$, on peut dériver terme à terme la série de Fourier de $f$ sur $\left[-\pi +\varepsilon ,\pi -\varepsilon \right]$.
   En déduire, pour tout $x\in \left]-\pi ,\pi \right[$, la somme de la série $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n}{\alpha ^{2}+n^{2}}}\sin(nx)$.
5. Quelle est la somme de $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(\alpha ^{2}+n^{2})^{2}}}$ ?

Solution

1. $c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\cosh(\alpha x)\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} nx}\,\mathrm {d} x={\frac {(-1)^{n}\alpha \sinh(\alpha \pi )}{\pi (\alpha ^{2}+n^{2})}}$ donc $a_{n}={\frac {2(-1)^{n}\alpha \sinh(\alpha \pi )}{\pi (\alpha ^{2}+n^{2})}}$ et $b_{n}=0$.
2. $f$ est C¹ par morceaux et continue donc d'après le théorème de Jordan-Dirichlet, sa série de Fourier $S_{N}(x)={\frac {\sinh(\alpha \pi )}{\pi }}\left({\frac {1}{\alpha }}+2\sum _{n=1}^{N}{\frac {(-1)^{n}\cos(nx)}{\alpha ^{2}+n^{2}}}\right)$ converge simplement sur $\mathbb {R}$ vers $S=f$.
3. En particulier, ${\frac {\sinh(\alpha \pi )}{\pi }}\left({\frac {1}{\alpha }}+2\alpha \sum _{n=1}^{N}{\frac {(-1)^{n}}{\alpha ^{2}+n^{2}}}\right)=f(0)=1$ donc $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\alpha ^{2}+n^{2}}}={\frac {1}{2\alpha ^{2}}}\left({\frac {\pi \alpha }{\sinh(\pi \alpha )}}-1\right)$.
4. D'après le théorème de convergence normale de Dirichlet, la série de Fourier de $f'$ converge normalement sur $\left[-\pi +\varepsilon ,\pi -\varepsilon \right]$ donc est intégrable terme à terme, ce qui justifie la dérivabilité terme à terme de la série de Fourier de $f$ sur le même segment. Pour tout $x\in \left]-\pi ,\pi \right[$ on a donc :
   $\alpha \sinh(\alpha x)=-{\frac {2\sinh(\pi \alpha )}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n}{\alpha ^{2}+n^{2}}}\sin(nx)$, ou encore :
   $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n}{\alpha ^{2}+n^{2}}}\sin(nx)=-{\frac {\pi \alpha \sinh(\alpha x)}{2\sinh(\pi \alpha )}}$.
5. D'après la formule de Parseval, ${\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\cosh ^{2}(\alpha x)\,\mathrm {d} x={\frac {a_{0}^{2}}{4}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{2}$, c'est-à-dire
   ${\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {\sinh(2\pi \alpha )}{2\pi \alpha }}\right)={\frac {\sinh ^{2}(\alpha \pi )}{\pi ^{2}}}\left({\frac {1}{\alpha ^{2}}}+2\alpha ^{2}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(\alpha ^{2}+n^{2})^{2}}}\right)$, donc
   ${\frac {1}{(\alpha ^{2}+n^{2})^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{4\alpha ^{2}\sinh ^{2}(\alpha \pi )}}+{\frac {\pi \coth(\pi \alpha )}{4\alpha ^{3}}}-{\frac {1}{2\alpha ^{4}}}$.