Relativité restreinte/Métrique de Minkowski
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| Chapitre 3 | |||
| Leçon : Relativité restreinte | |||
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| Chap. préc. : | Démonstration de la transformation de Lorentz | ||
| Chap. suiv. : | Paradoxe des jumeaux de Langevin | ||
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Relativité restreinte/Métrique de Minkowski », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
L'espace euclidien est caractérisé par la validité du théorème de Pythagore qu'on écrit sous la forme d'une métrique, soit, en deux dimensions:
- ds2 = dx2 + dy2
En y faisant y=ict, on obtient la métrique de Minkowski qui caractérise l'espace pseudo euclidien de la relativité restreinte:
Où on a fait apparaître la vitesse relative v du référentiel R' par rapport au référentiel R. On écrit souvent la métrique de Minkowski sous la forme:
où τ est le temps propre et t le temps-coordonnée. Pour simplifier l'écriture, on prend parfois c=1, mais cela interdit toute vérification par les équations aux dimensions. Écrivons la transformation de Lorentz sous forme différentielle, dans l'hypothèse où v est constante (référentiels R et R' galiléens):
En remplaçant, dans la métrique de Minkowski, dx et dt en fonction de dx' et dt' grâce à la transformation de Lorentz, on obtient:
![ds^2=dx^2-c^2dt^2=\gamma^2\left(dx' + v dt'\right)^2 -c^2\gamma^2\left(dt' + \frac{vdx'}{c^2}\right)^2 =\gamma^2\left[\left(x' + v dt'\right)^2 -c^2\left(dt' + \frac{vdx'}{c^2}\right)^2\right]](http://upload.wikimedia.org/math/c/5/b/c5b92e9bb2956a2207da0b52b99dd8b4.png)
Développons et simplifions:
La métrique de Minkowski ayant subi la transformation de Lorentz s'écrit donc:
On retrouve la métrique de départ, aux apostrophes près. La métrique de Minkowski est conservée dans un changement de référentiel par la transformation de Lorentz.
