Relativité restreinte/Démonstration de la transformation de Lorentz
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| Chapitre 2 | |||
| Leçon : Relativité restreinte | |||
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| Chap. préc. : | Expérience de Michelson-Morley | ||
| Chap. suiv. : | Métrique de Minkowski | ||
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Relativité restreinte/Démonstration de la transformation de Lorentz », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
La transformation de Lorentz se distingue essentiellement de celle de Galilée par l'introduction de la relativité du temps qui fait que la vitesse absolue n'est plus simplement la somme de la vitesse relative et de la vitesse d'entraînement. Le référentiel R, dit de l’observateur, considéré en général comme immobile, correspond au référentiel absolu de la cinématique classique, R’ au référentiel relatif et v à la vitesse d’entraînement. On se limite généralement à deux dimensions en faisant coïncider le vecteur vitesse avec l’axe des abscisses de sorte que les coordonnées y et z n'interviennent pas. La démonstration présentée ici est concise. On trouvera plus de détails dans le livre d'Einstein[1] ou ailleurs[2] Comme la transformation de Galilée, celle de Lorentz est linéaire c'est-à-dire que la vitesse relative v des référentiels R et R' doit être constante : on dit qu'ils sont inertiels ou galiléens. La vitesse de la lumière doit être indépendante de celle de la source (c constante dans les référentiels inertiels). Selon le principe de relativité aucun référentiel galiléen n'est privilégié.
Pour obtenir la transformation de Lorentz, on utilise des référentiels galiléens, ce qui se traduit par une transformation linéaire. Ensuite on applique l'indépendance de la vitesse de la lumière et du référentiel. Enfin le principe de relativité.
Sommaire |
[modifier] Référentiels galiléens
En cinématique classique, le déplacement total x dans le référentiel R est la somme du déplacement relatif x’ dans le référentiel R’ et du déplacement d'entraînement vt du référentiel R’ par rapport à R à la vitesse v : x = x’+vt ou x’=x-vt. Cette relation est linéaire lorsque la vitesse v est constante, c'est-à-dire lorsque les référentiels R et R' sont galiléens. Le temps est le même dans chacun des référentiels R et R’, ce qui n’est plus le cas en relativité restreinte où t ≠ t’. La relation linéaire la plus générale possible, c’est-à-dire avec quatre coefficients constants, α, β, γ et v est :
Que l'on peut écrire sous forme matricielle :
La transformation de Lorentz devient celle de Galilée pour β = γ = 1 et α = 0.
[modifier] Vitesse de la lumière indépendante de celle de la source
La lumière n'est pas soumise à la vitesse d'entraînement, comme l'a montré l'expérience de Michelson. Pour que la vitesse c de la lumière soit constante quel que soit le référentiel, on doit avoir x = ct si x’ = ct’. En remplaçant x et x’ dans les deux équations précédentes, on a
En y remplaçant t’ à l’aide de la seconde équation, la première équation devient :
Après simplification par t et division par cβ, on obtient la relation
[modifier] Principe de relativité
D’après le principe de relativité, il n’y a pas de référentiel galiléen privilégié, en particulier pour la lumière. On doit donc trouver la même relation, que l’on passe de R à R’ ou l’inverse, de R’ à R. Toutefois, si on ne change pas le sens des axes de coordonnées, la vitesse v doit changer de signe. En effet, si R est immobile et que la vitesse de R’ par rapport à R est v, positive, R’ s’éloigne de R. Si, maintenant, on considère que R’ est immobile, R s’éloignant toujours de R’, le déplacement devra être en sens opposé : la vitesse de R est alors négative.
La démonstration qui suit ne fait pas appel à la vitesse de la lumière et permet donc de séparer les principes d'invariance et de relativité. La transformation inverse de
est :
Conformément au principe de relativité, les expressions de x et de t doivent s'écrire:
Elles doivent être égales aux expressions obtenues par inversion sauf pour le signe de la vitesse qu'on doit changer :
On doit donc avoir les identités, vérifiées quels que soient x’ et t’ :
D'où les égalités :
[modifier] Expression de la transformation de Lorentz
En utilisant la relation β = γ du paragraphe précédent dans
on a :
et, finalement:
Nous avons tous les coefficients recherchés et, donc, la transformation de Lorentz. Elle s'écrit, pour l'abscisse et le temps, c'est-à-dire en deux dimensions:
![\mathbf{ x=\frac{x' + vt'}{ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} }}](http://upload.wikimedia.org/math/f/f/1/ff13ec077ccdb7822145058decb6bb69.png)
![t=\mathbf{\frac{t' + \frac{vx'}{c^2}}{ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}}}}](http://upload.wikimedia.org/math/8/8/c/88c7b6dec9ed329d6b0d42df113822fa.png)
La transformation inverse de Lorentz s'écrit, en utilisant le facteur de Lorentz γ:
On utilise ces quatre équations selon les besoins. Sous forme matricielle, ceci s'écrit
où
avec L (pour Lorentz, parfois Λ) matrice symétrique de déterminant 1, d'inverse
La véritable base de la relativité restreinte est la transformation de Lorentz qui généralise celle de Galilée aux vitesses non négligeables par rapport à celle de la lumière. Elle exprime la transformation des déplacements et du temps qui dépendent tous deux de la vitesse relative entre les référentiels R et R'.
[modifier] Dilatation du temps
Soit une horloge immobile dans un référentiel R' se déplaçant à la vitesse v par rapport à un référentiel R où se trouve un observateur. La cadence de cette horloge est Δt’ au repos, dans son référentiel propre R' et Δt vue de R. Comme elle est immobile par rapport à R', sa position y est fixe, par exemple, Δx'=0. On choisit, parmi les quatre équations de la transformation de Lorentz, celle qui contient à la fois t, t' et x':
![\mathbf{\Delta t}= \frac{\Delta t' + \frac{v\Delta x'}{c^2}}{ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} }= \mathbf{\frac{\Delta t'}{ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}}}}](http://upload.wikimedia.org/math/e/9/3/e9394a4837909d89814f33759e66ecfb.png)
L’intervalle entre deux battements d’horloge apparaît plus important sur une horloge en mouvement à un observateur au repos. Il devient infini lorsque la vitesse de l’horloge atteint celle de la lumière. Le temps de l’horloge en mouvement ne s’écoule plus (pour l’observateur distant seulement). Une particule de durée de vie limitée, par exemple un méson, a une durée de vie apparente bien plus grande si elle se déplace à très grande vitesse.
Supposons maintenant que l’observateur se place en R’ et regarde une pendule placée en R. On aura exactement la même formule, mais t et t’ seront permutés. En effet, le mouvement est relatif, il n’y a pas de mouvement absolu mais symétrie entre deux référentiels galiléens.
[modifier] Contraction des longueurs
Soit une règle immobile dans un référentiel R' se déplaçant à la vitesse v par rapport à un référentiel R où se trouve un observateur. La longueur au repos de cette règle est Δx' pour un observateur dans R’. Elle apparaît sous une longueur Δx pour un observateur dans R. Pour faire cette mesure, l’observateur dans R fait une photo en instantané, c’est-à-dire, par exemple, à l'instant t = 0. Il prend un cliché de la règle en mouvement, de longueur Δx qu'il compare à Δx’, longueur de la même règle au repos. Il connaît donc Δx, Δx’ et Δt=0. La relation de Lorentz à utiliser, où ces variables apparaissent est :
![\Delta x' =\frac{ \Delta x - v\Delta t}{ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} } =\frac{\Delta x}{ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} }](http://upload.wikimedia.org/math/6/9/d/69d326546dd9f37a10ea4b0549081419.png)
La formule a la même forme que pour le temps, sauf qu'à gauche on a maintenant x' au lieu de t, ce qui fait que les longueurs se contractent alors que le temps se dilate, ce qui s'écrit généralement:
![\mathbf{\Delta x =\Delta x' \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}}}](http://upload.wikimedia.org/math/9/e/0/9e0adf32afe1b0b39344da45b3972b8d.png)
