Puissances/Les puissances de 10 et leur usage scientifique

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Puissances de 10

On a :

${\begin{aligned}10^{2}&=10\times 10&=100\\10^{3}&=10\times 10\times 10&=1\,000\\10^{4}&=10\times 10\times 10\times 10&=10\,000\end{aligned}}$

plus généralement si n est un entier positif:

$10^{n}=\overbrace {10\times \cdots \times 10} ^{n{\text{ fois}}}=\overbrace {10\cdots 0} ^{n{\text{ zéros}}}$

et l'on note :

$10^{-n}={\frac {1}{10^{n}}}=\overbrace {0{,}0\cdots 1} ^{n{\text{ zéros}}}$

Exemples

• 10³ = 1 000, 10¹=10 ,10⁰ = 1
• 10⁶ = 1 000 000, 10⁹ = un milliard
• 10⁻³ = un millième, 10⁻⁶ = un millionième

Règles pour multiplier par une puissance de 10

Si n est un entier positif

• Multiplier un nombre décimal par $10^{n}$ revient à déplacer sa virgule de n rangs vers la droite
• Multiplier un nombre décimal par $10^{-n}$ revient à déplacer sa virgule de n rangs vers la gauche

Exemples

• $3,2\times 10^{3}=$$3200$
• $4\times 10^{-2}=$$0,04$
• $400\times 10^{-5}=$$0,004$

Exercices

Faites des exercices pour vous familiariser avec les puissances de 10.

Écriture scientifique

L'écriture scientifique d’un nombre est de la forme :

$\pm \Box ,\Diamond \Diamond \cdots \Diamond \times 10^{\pm \triangle }$

où $\Box$ est un chiffre non nul ; $\Diamond$ est un chiffre et $\triangle$ est un entier.

Exemples

• L'écriture scientifique de $124{,}3$ est :

$1{,}243\times 10^{2}$

• Donner les écritures scientifiques de : 12{,}3 ; 3254 ; 0{,}00125 ; 9{,}3.

Solution

• $12{,}3=1{,}23\times 10^{1}$
• $3254=3{,}254\times 10^{3}$
• $0{,}00125=1{,}25\times 10^{-3}$
• $9{,}3=9{,}3\times 10^{0}$ mais on note habituellement simplement 9{,}3

 

Écriture d'ingénieur

L'écriture d'ingénieur d’un nombre est de la forme :

$\pm \Box \times 10^{\pm \triangle }$

où $\Box$ est un nombre entier ou décimal à 3 chiffres significatifs compris entre 0 et 1000 et $\triangle$ est un entier multiple de 3.

cette notation a le gros avantage de pouvoir faire une liaison directe avec les multiples et sous-multiples d'unités.

Exemples

• $17{,}3.10^{3}$
• $172.10^{9}$
• $8{,}46.10^{-6}$

Exercices

Faites des exercices pour apprendre à passer de l'écriture décimale à l'écriture d'ingénieur et réciproquement.

Exposants non entiers

Exemple : calcul de $10^{1{,}234}$.

$10^{1{,}234}=10^{1+0{,}234}=10^{1}\times 10^{0{,}234}=10\times 10^{0{,}234}.$

Une table de logarithmes à 5 décimales donne

x	log(x)	diff
1713	233 76	25
1714	234 01	...
…	…	...
10y	y	diff

qui se lit : $10^{0{,}233\,76}=1{,}713$ et $10^{0{,}234\,01}=1{,}714.$ Une interpolation linéaire suggère alors $10^{0{,}234}=1{,}713\,96.$

D'où $10^{1{,}234}=17{,}139\,6.$