Puissances/Introduction

Une page de Wikiversité.

**Introduction**
Leçon : Puissances

Chapitre 1
Retour au	sommaire
Chap. suiv. :	Les puissances de 10 et leur usage scientifique

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Puissances : Introduction
Puissances/Introduction », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Les puissances sont très importantes en mathématiques mais aussi en physique-chimie puisqu'elles permettent d'énoncer des valeurs très grandes et ainsi d'éviter d'écrire des nombres commençant ou se terminant par une multitude de zéros...

[modifier] Puissances d'un nombre relatif

[modifier] A: Exposant positif

Définition : Si a est un nombre relatif et n un entier supérieur ou égal à 1, on note :

$\begin{matrix} \\ a^n = \end{matrix} \begin{matrix} n fois \\ \overbrace{a \times \cdots \times a} \end{matrix}$

Le nombre n est appelé exposant de a.

On pose pour tout nombre relatif a non nul : $a^0 = 1\,$

[modifier] Cas particuliers

Si a est un nombre relatif :

$a^4=a\times a \times a\times a$ se lit "a exposant 4" ou "a à la puissance 4"

$a^2=a\times a$ se lit "a au carré"

$a^3=a\times a\times a$ se lit "a au cube"

$a^1=a\,$

Si l'exposant est nul :

Si a est non nul et n > 1, on passe de $a^n\,$ à $a^{n-1}\,$ en divisant simplement par a. Si on applique cela avec n = 1, on obtient $a^0=a/a=1\,$ . Mais cela ne marche que si a est non nul. En effet, si a = 0, le résultat de la division est indéterminé.

[modifier] Exemples

Calculer $2^4\ ;\ 3^3\ ;\ 1^2\ ;\ 0^1\ ;\ 2^0\,$

Solution

$2^4 = 2 \times 2\times 2\times 2 = 16$
$3^3 = 3 \times 3\times 3 = 27$
$1^2 = 1 \times 1 = 1$
$01 = 0$
$20 = 1$

[modifier] Exercices

Faites des exercices de calcul des puissances.

[modifier] B: Exposant négatif

Définition : Si a est un nombre relatif non nul et n un entier supérieur ou égal à 0, on note :

L'inverse de la puissance énième de a est noté :

$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$

En particulier : $a^{-1}= \frac{1}{a}$ (l'inverse du nombre a ).

[modifier] Exemples

${3^{-4}}=\frac{1}{3^4}=\frac{1}{3\times3\times3\times3}=\frac{1}{81}$

Calculer $2^{-3}\ ;\ \ 1^{-2}\,$

Solution

$2^{-3}=\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}=0,125$
$1^{-2}=\frac{1}{1^2}=1$

[modifier] Exercices

Faites des exercices de calcul des puissances.

[modifier] Puissances et opérations

Remarques :

Dans toutes les formules suivantes, a et b sont des nombres relatifs, m et n des entiers relatifs.
Il faut supposer a ou b non nuls si l'on les met à un exposant négatif, ou bien si l'on divise par ces nombres.