Produit scalaire dans le plan/Applications du produit scalaire dans le plan

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Applications du produit scalaire dans le plan
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Chapitre 2
Leçon : Produit scalaire dans le plan
Chap. préc. : Produit scalaire de deux vecteurs


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Sommaire

[modifier] Théorème d'Al Kashi

Théorème

Dans un triangle ABC quelconque du plan :

BC^2=AC^2+AB^2-2AB.AC.cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})

[modifier] Théorème de la médiane

Théorème

Soit I le milieu d'un segment [AB] du plan, et M un point quelconque du plan :

MA^2+MB^2=2MI^2+\frac{1}{2}AB^2

[modifier] Distance d'un point à une droite

Théorème

Dans un repère orthonormé du plan,

Soit une droite D d'équation cartésienne ax+by+c=0\,.

  • Un vecteur directeur de D est \overrightarrow{u}(-b;a)\,
  • Un vecteur normal(c'est-à-dire orthogonal non nul) à D est \overrightarrow{n}(a;b)\,


Théorème

Dans un repère orthonormé du plan,

Soit une droite D d'équation cartésienne ax+by+c=0\,,

soit M(x_M;y_M)\, un point quelconque du plan,

la distance du point M à la droite :

  • est réalisée par MH où H est le projeté orthogonal de M sur D.
  • vaut d(M,D)=d(M,H)=\frac{|ax_M+by_M+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

[modifier] Cercle et produit scalaire

Théorème

Dans un repère orthonormé du plan,

soit C le cercle de centre A(x_A;y_A)\,

  • Une équation de C est : (x-x_A)^2+(y-y_A)^2=R^2\,
  • Si (BD) est un diamètre de C, alors C est l'ensemble des points M du plan tel que :
\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MD}=0
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