Produit scalaire dans le plan/Produit scalaire de deux vecteurs

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Produit scalaire de deux vecteurs
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Chapitre 1
Leçon : Produit scalaire dans le plan
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Sommaire

[modifier] Produit scalaire

[modifier] Définitions

[modifier] Norme d'un vecteur

Définition

Soit \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}\,

Sa norme, notée ||\overrightarrow{u}|| est la longueur AB\,.



Propriété
  • La norme d'un vecteur ||\overrightarrow{u}|| \in \mathbb{R}^+
  • ||\overrightarrow{u}|| = 0 \leftrightarrow\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}

[modifier] Produit scalaire

Le produit scalaire est une opération qui se note .\,, qui porte sur deux vecteurs et dont le résultat est un nombre réel (donc un scalaire).


Définition

On appelle produit scalaire de \textstyle{\vec u} par \textstyle{\vec v}

le nombre réel noté \vec u.\vec v défini par :

\vec u.\vec v = \|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\cos(\vec u,\vec v)

[modifier] Carré scalaire

Définition

Soit \vec u un vecteur :

\vec u.\vec u = \|\vec u\|\times\|\vec u\|\times\cos(\vec u,\vec u) = \| \vec u\|^2 \times \cos(0) = \| \vec u\|^2

Ce nombre est appelé carré scalaire de \vec u et est aussi noté \vec u².

[modifier] Remarques

  • Si A, B et C sont trois points distincts, en posant \overrightarrow u = \overrightarrow {AB} et \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC} on a :

\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat {BAC})

  • Si \textstyle{\vec u} et \textstyle{\vec v} sont colinéaires de même sens alors :

\vec u.\vec v = \|\vec u\|\times\|\vec v\|

  • Si \textstyle{\vec u} et \textstyle{\vec v} sont colinéaires de sens contraires alors :

\vec u.\vec v = -\|\vec u\|\times\|\vec v\|

  • \vec 0.\vec v = 0

[modifier] Propriétés

Soient \vec u, \vec v et \vec w trois vecteurs et k\, un réel.

 

  • Le produit scalaire est symétrique : \overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}

 

Démonstration
\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u} = \left|\left|\overrightarrow{v}\right|\right| \times \left|\left|\overrightarrow{u}\right|\right| \times cos\left(\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}\right)
= \left|\left|\overrightarrow{u}\right|\right| \times \left|\left|\overrightarrow{v}\right|\right| \times cos\left(-\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\right)
= \left|\left|\overrightarrow{u}\right|\right| \times \left|\left|\overrightarrow{v}\right|\right| \times cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) car cosinus est paire.
= \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}

 

  • Le produit scalaire est linéaire : \begin{cases} (k.\overrightarrow{u}).\overrightarrow{v}=k\times(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}) \\ (\overrightarrow{u}+ \overrightarrow{w}).\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}.\overrightarrow{v} \end{cases}
  • Soient \vec u et \vec v deux vecteurs :
1.
\left|\left|\vec u + \vec v\right|\right|^2 = \left|\left|\vec u\right|\right|^2 + 2\vec u.\vec v + \left|\left|\vec v\right|\right|^2 \Longleftrightarrow \vec u.\vec v = \frac{1}{2} \left(\left|\left|\vec u + \vec v\right|\right|^2 - \left|\left|\vec u\right|\right|^2 - \left|\left|\vec v\right|\right|^2\right)
2.
\left|\left|\vec u - \vec v\right|\right|^2 = \left|\left|\vec u\right|\right|^2 - 2\vec u.\vec v + \left|\left|\vec v\right|\right|^2 \Longleftrightarrow \vec u.\vec v = - \frac{1}{2} \left(\left|\left|\vec u - \vec v\right|\right|^2 - \left|\left|\vec u\right|\right|^2 - \left|\left|\vec v\right|\right|^2\right)
3.
\left(\vec u + \vec v\right).\left(\vec u - \vec v\right) = \left|\left|\vec u\right|\right|^2 - \left|\left|\vec v\right|\right|^2
Démonstration de la 1º formule
\left|\left|\vec u + \vec v\right|\right|^2 = \left(\vec u +\vec v\right).\left(\vec u + \vec v\right)
= \vec u.\vec u + \vec u.\vec v + \vec v.\vec u + \vec v.\vec v    par linéarité.
= \left|\left|\vec u\right|\right|^2 + 2\vec u.\vec v + \left|\left|\vec v\right|\right|^2    par symétrie.

[modifier] Produit scalaire et orthogonalité

[modifier] Produit scalaire et orthogonalité

Définition

Deux vecteurs, \vec u et \vec v sont dits orthogonaux

  • si l'un au moins des deux est nul

ou

  • si leur directions sont perpendiculaires.

On note \vec u\bot\vec v



Théorème

Soient \vec u et \vec v deux vecteurs.

\vec u et \vec v sont orthogonaux

ssi

le produit scalaire \vec u.\vec v = 0

[modifier] Remarque

Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs de l'espace.

[modifier] Produit scalaire et projeté orthogonal

Théorème

Si A, B et C sont trois points du plan \left( A \not= B et A \not= C \right)

et si H est le projeté orthogonal de C sur la droite \left(AB\right) alors :

  • \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = AB \times AH       si H\in\left[AB\right)
  • \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - AB \times AH   si H\not\in\left[AB\right)


Démonstration
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HC}\right)   (Chasles)
= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH} + \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HC}   par linéarité.
= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}   car \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HC} = 0 car \overrightarrow{HC} \bot \overrightarrow{AB} car H est le projeté orthogonal de C sur \left(AB\right)

[modifier] Calcul d'un produit scalaire analytiquement

Théorème

Soit un repère orthonormé (O,\overrightarrow{i} ,\overrightarrow{j} )

Soit deux vecteurs quelconque \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}, de composantes \overrightarrow{u} \dbinom{x}{y} et \overrightarrow{v} \dbinom{x'}{y'},

on a \overrightarrow{u} . \overrightarrow{v} = xx' + yy'

[modifier] Conséquences

[modifier] Normes

Si \overrightarrow{u} \dbinom{x}{y}, alors ||\overrightarrow{u}||=\sqrt{\overrightarrow{u}}^2 = \sqrt{x^2+y^2}

[modifier] Critère d'orthogonalité

Théorème

\overrightarrow{u} \bot \overrightarrow{v} ssi xx' + yy' = 0\,

[modifier] Calcul du produit scalaire avec les normes

Soit \overrightarrow{u} \dbinom{x}{y} et \overrightarrow{v} \dbinom{x'}{y'} et \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \dbinom{x+x'}{y+y'}

||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2 = (x + x')^2 + (y+ y')^2

||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2 = x^2 + 2xx' +x'^2 +y^2 + 2yy' +y'^2

||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2 = x^2+ y^2 +x'^2+y'^2 + 2(xx' + yy') = ||\overrightarrow{u}||^2+||\overrightarrow{v}||^2 + 2 \overrightarrow{u} .\overrightarrow{v}

d'où :

\overrightarrow{u} . \overrightarrow{v} = \frac 12 \left[ || \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ||^2-|| \overrightarrow{u}||^2 - ||\overrightarrow{v}||^2 \right]

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