Produit scalaire dans le plan/Produit scalaire de deux vecteurs

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Produit scalaire de deux vecteurs
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Chapitre no1
Leçon : Produit scalaire dans le plan
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Produit scalaire[modifier | modifier le wikitexte]

Définitions[modifier | modifier le wikitexte]

Norme d'un vecteur[modifier | modifier le wikitexte]




Produit scalaire[modifier | modifier le wikitexte]

Le produit scalaire est une opération qui se note \cdot, qui porte sur deux vecteurs et dont le résultat est un nombre réel (donc un scalaire).



Carré scalaire[modifier | modifier le wikitexte]


Remarques[modifier | modifier le wikitexte]

  • Si A, B et C sont trois points distincts, en posant \overrightarrow u = \overrightarrow {AB} et \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC} on a :

\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat {BAC})

  • Si \textstyle{\vec u} et \textstyle{\vec v} sont colinéaires de même sens alors :

\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\|\times\|\vec v\|

  • Si \textstyle{\vec u} et \textstyle{\vec v} sont colinéaires de sens contraires alors :

\vec u \cdot\vec v = -\|\vec u\|\times\|\vec v\|

  • Quel que soit le vecteur \vec v, on a \vec 0 \cdot\vec v = 0

Propriétés[modifier | modifier le wikitexte]

Soient \vec u, \vec v et \vec w trois vecteurs et k un réel.


  • Le produit scalaire est symétrique : \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}
Démonstration
\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} = \left|\left|\overrightarrow{v}\right|\right| \times \left|\left|\overrightarrow{u}\right|\right| \times \cos\left(\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}\right)
= \left|\left|\overrightarrow{u}\right|\right| \times \left|\left|\overrightarrow{v}\right|\right| \times \cos\left(-\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\right)
= \left|\left|\overrightarrow{u}\right|\right| \times \left|\left|\overrightarrow{v}\right|\right| \times \cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) car cosinus est paire.
= \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}


  • Le produit scalaire est linéaire : \begin{cases} (k \times \overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v}=k\times(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) \\ (\overrightarrow{u}+ \overrightarrow{w}) \cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{v} \end{cases}
  • Soient \vec u et \vec v deux vecteurs :
1.
\left|\left|\vec u + \vec v\right|\right|^2 = \left|\left|\vec u\right|\right|^2 + 2\vec u \cdot \vec v + \left|\left|\vec v\right|\right|^2 \Longleftrightarrow \vec u \cdot \vec v = \frac{1}{2} \left(\left|\left|\vec u + \vec v\right|\right|^2 - \left|\left|\vec u\right|\right|^2 - \left|\left|\vec v\right|\right|^2\right)
2.
\left|\left|\vec u - \vec v\right|\right|^2 = \left|\left|\vec u\right|\right|^2 - 2\vec u \cdot \vec v + \left|\left|\vec v\right|\right|^2 \Longleftrightarrow \vec u \cdot \vec v = - \frac{1}{2} \left(\left|\left|\vec u - \vec v\right|\right|^2 - \left|\left|\vec u\right|\right|^2 - \left|\left|\vec v\right|\right|^2\right)
3.
\left(\vec u + \vec v\right) \cdot \left(\vec u - \vec v\right) = \left|\left|\vec u\right|\right|^2 - \left|\left|\vec v\right|\right|^2
Démonstration de la 1º formule
\left|\left|\vec u + \vec v\right|\right|^2 = \left(\vec u +\vec v\right) \cdot \left(\vec u + \vec v\right)
= \vec u \cdot \vec u + \vec u \cdot \vec v + \vec v \cdot \vec u + \vec v \cdot \vec v par linéarité.
= \left|\left|\vec u\right|\right|^2 + 2\vec u \cdot \vec v + \left|\left|\vec v\right|\right|^2 par symétrie.

Produit scalaire et orthogonalité[modifier | modifier le wikitexte]

Produit scalaire et orthogonalité[modifier | modifier le wikitexte]



Début d'un théorème
Fin du théorème


Remarque[modifier | modifier le wikitexte]

Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs de l'espace.

Produit scalaire et projeté orthogonal[modifier | modifier le wikitexte]

Début d'un théorème
Fin du théorème



Démonstration
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}\cdot\left(\overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HC}\right) (Chasles)
= \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH} + \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{HC} par linéarité.
= \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH} car \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{HC} = 0 car \overrightarrow{HC} \bot \overrightarrow{AB} car H est le projeté orthogonal de C sur \left(AB\right)

Calcul d'un produit scalaire analytiquement[modifier | modifier le wikitexte]

Début d'un théorème
Fin du théorème


Conséquences[modifier | modifier le wikitexte]

Normes[modifier | modifier le wikitexte]

Si \overrightarrow{u} \dbinom{x}{y}, alors ||\overrightarrow{u}||=\sqrt{\overrightarrow{u}}^2 = \sqrt{x^2+y^2}

Critère d'orthogonalité[modifier | modifier le wikitexte]

Début d'un théorème
Fin du théorème


Calcul du produit scalaire avec les normes[modifier | modifier le wikitexte]

Soit \overrightarrow{u} \dbinom{x}{y} et \overrightarrow{v} \dbinom{x'}{y'} et \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \dbinom{x+x'}{y+y'}

||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2 = (x + x')^2 + (y+ y')^2

||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2 =  x^2 + 2xx' +x'^2 +y^2 + 2yy' +y'^2

||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2 =  x^2+ y^2 +x'^2+y'^2 + 2(xx' + yy') = ||\overrightarrow{u}||^2+||\overrightarrow{v}||^2  + 2 \overrightarrow{u}  \cdot \overrightarrow{v}

d'où :

\overrightarrow{u}  \cdot  \overrightarrow{v} = \frac 12 \left[ || \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ||^2-|| \overrightarrow{u}||^2 - ||\overrightarrow{v}||^2 \right]



Produit scalaire dans le plan
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