Probabilités sur les ensembles finis/Vocabulaire des événements

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Comme tous les langages de spécialistes, le langage des probabilités utilise un vocabulaire spécifique souvent constitué de mots courants auxquels on donne un sens très précis.

Sommaire 1 Univers et évènements 1.1 Exemples 1.2 Remarque 2 Évènements particuliers 2.1 Exemples 3 Opérations sur les évènements 3.1 Exemples 4 Évènements incompatibles 4.1 Exemple 4.2 Remarque

[modifier] Univers et évènements

Définition

Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat est soumis au hasard. L'ensemble des résultats possibles est l'univers Ω lié à l'expérience. Un évènement est une partie de cet univers, c'est-à-dire une certaine classe de résultats possibles. Un résultat possible est parfois appelé éventualité à ne pas confondre avec un évènement. Un évènement ne regroupant qu'un seul résultat possible est appelé évènement élémentaire.

[modifier] Exemples

On lance un dé cubique à six faces. On observe la face supérieure du dé après qu'il se soit arrêté.

• L'univers est l'ensemble de six éventualités Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
• L'événement A : "Obtenir un résultat pair" est une partie de l'univers : A = {2 ; 4 ; 6}.
• L'événement B : "Obtenir 6" est un évènement élémentaire : B = {6}

[modifier] Remarque

• Dans ce cours de niveau 11, on ne considèrera que des expériences aléatoires qui ont un nombre fini de résultats possibles.

• C'est ce qui justifie le titre "Probabilités sur les ensembles finis".

• Cela ne signifie pas forcément que les différents résultats ont la même probabilité.

[modifier] Évènements particuliers

Définition

L'univers Ω est appelé évènement certain. L'ensemble vide Ø est appelé évènement impossible. L'évènement contraire de A, noté contient tous les éléments de Ω qui ne sont pas dans A. C'est l'évènement qui est réalisé dès que A n'est pas réalisé.

[modifier] Exemples

• Dans un lancer de dé, l'évènement « obtenir un numéro compris entre 1 et 6 »

correspond à l'évènement {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}, c'est-à-dire à l'évènement certain.

• Dans un lancer de dé, l'évènement « obtenir plus de 7 » correspond à l'évènement

{ } = Ø, c'est-à-dire l'évènement impossible.

• Dans un lancer de dé, si l'évènement A est « obtenir un nombre pair »,

l'évènement contraire de A,

est l'évènement « obtenir un nombre impair ».

[modifier] Opérations sur les évènements

Définition

L'union: l'évènement est réalisé dès que A ou B (ou les deux) est réalisé. L'intersection: l'évènement est réalisé dès que A et B sont réalisés dans la même expérience.

[modifier] Exemples

• Dans un lancer de dé, si

l'évènement A est « obtenir un nombre pair »

et l'évènement B « obtenir un multiple de 3 »,

l'évènement est l'évènement :

« obtenir un nombre pair OU un multiple de 3 », c'est-à-dire {2 ; 3 ; 4 ; 6}.

• Dans un lancer de dé, si

l'évènement A est « obtenir un nombre pair »

et l'évènement B « obtenir un multiple de 3 »,

l'évènement est l'évènement:

« obtenir un nombre pair ET multiple de 3 », c'est-à-dire {6}.

[modifier] Évènements incompatibles

Définition

Lorsque deux évènements ont une intersection vide (ou impossible), c'est qu'il ne peuvent pas être réalisés au cours d'une même expérience. On les appelle alors évènements incompatibles.

[modifier] Exemple

• Dans un lancer de dé,

si l'évènement A est « obtenir un multiple de 4 »

et l'évènement B « obtenir un multiple de 3 »,

les évènements A et B sont incompatibles.

[modifier] Remarque

Il ne faut pas confondre les évènements incompatibles (qui ne peuvent se produire lors d'une même expérience) et les évènements indépendants (qui se produisent indépendamment l'un de l'autre).