Probabilités sur les ensembles finis/Calcul des probabilités

**Calcul des probabilités**
Leçon : Probabilités sur les ensembles finis

Chapitre n^o 2
Chap. préc. :	Vocabulaire des événements
Chap. suiv. :	Probabilités conditionnelles
Exercices :	Somme de deux dés
Exercices :	Utilisation de tableaux
Exercices :	Événements contraires

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Probabilités sur les ensembles finis/Calcul des probabilités », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Approche fréquentielle[modifier | modifier le wikicode]

Si l'on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois,
et si la fréquence d'un événement tend vers une limite,

on la définit intuitivement comme probabilité de l'événement.
Par exemple, pour 6000 lancers de dé équilibré, on obtiendra certainement environ 1000 fois le résultat 1.
La probabilité de l'événement élémentaire {1} sera donc :

${\frac {1000}{6000}}={\frac {1}{6}}$ .

Probabilités sur un ensemble fini[modifier | modifier le wikicode]

Définition

On probabilise un univers fini $\Omega$ en attribuant à chaque éventualité

un nombre positif de telle manière que :

Ce nombre soit compris entre 0 et 1 (comme une fréquence).
La somme de ces nombres soit 1 (comme la somme des fréquences).

Exemple

Dans un lancer de dé équilibré, tous les numéros ont la même probabilité d'apparaitre, les probabilités $p_{i}$ sont alors toutes égales à ${\frac {1}{6}}$ .

Mais dans un lancer de dé pipé (déséquilibré), les probabilités $p_{i}$ d'apparition des numéros ne sont pas toutes égales.

Probabilité d'un événement non élémentaire[modifier | modifier le wikicode]

Définition

La probabilité d'un événement A est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent.

p(A)=\sum _{\omega _{i}\in A}p_{i}

Exemple

Lors du lancer d'un dé équilibré à six faces, calculer la probabilité d'obtenir un résultat inférieur ou égal à 2.

Solution

Notons A cet événement.

p(A)=p(1)+p(2)={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {2}{6}}={\frac {1}{3}}

.

Probabilités des événements particuliers[modifier | modifier le wikicode]

La probabilité de l'univers est 1 : $p(\Omega )=1$ .
La probabilité de l'événement impossible est 0 : $p(\varnothing )=0$ .

Probabilité de l'événement contraire[modifier | modifier le wikicode]

Propriété

$p({\overline {A}})=1-p(A)$ .

Exemple

Dans un lancer de dé équilibré, notons A l'événement « obtenir un 6 ».

Alors ${\overline {A}}$ est l'événement : « obtenir un résultat autre que 6 ». Sa probabilité est donc :

p({\overline {A}})=1-p(A)=1-{\frac {1}{6}}={\frac {5}{6}}

.

Probabilité de l'union de deux événements incompatibles[modifier | modifier le wikicode]

Propriété

Si A et B sont deux événements incompatibles (d'intersection vide), alors

p(A\cup B)=p(A)+p(B)

.

Exemple

Dans un lancer de dé équilibré, les deux événements :

A : « obtenir 6 » et
B : « obtenir un résultat inférieur ou égal à 2 »

sont incompatibles, puisqu’ils ne peuvent pas être réalisés en même temps.

On a donc :

p(A\cup B)=p(A)+p(B)={\frac {1}{6}}+{\frac {2}{6}}={\frac {1}{2}}

.

Probabilité de l'union de deux événements quelconques[modifier | modifier le wikicode]

Propriété

Dans ce cas, les événements appartenant à l'intersection ont été comptés deux fois, d'où la formule :

p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)

.

Exemple

Dans un lancer de dé équilibré, si l'on note :

A l'événement « obtenir un multiple de 3 » et
B l'événement « obtenir un résultat strictement supérieur à 3 »,

on a :

p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)={\frac {2}{6}}+{\frac {3}{6}}-{\frac {1}{6}}={\frac {4}{6}}={\frac {2}{3}}

.

Situation d'équiprobabilité[modifier | modifier le wikicode]

Définition

Il y a équiprobabilité dans une expérience aléatoire

quand tous les événements élémentaires ont la même probabilité (équiprobables).

Exemple

Le lancer de dé équilibré montre une situation d'équiprobabilité, alors que le lancer de dé pipé montre au contraire une situation où tous les numéros n'ont pas la même probabilité d'apparition.