Probabilités sur les ensembles finis/Exercices/Événements contraires

Sac

Un sac contient 3 jetons verts, deux jetons jaunes et un jeton rouge.

• Un jeton vert, un jeton jaune et le jeton rouge portent le numéro 1.
• Un jeton vert et un jeton jaune portent le numéro 2.
• Un jeton vert porte le numéro 3.

On tire simultanément (de manière équiprobable) deux jetons du sac.

Déterminer, sous forme de fraction irréductible, la probabilité de chacun des événements suivants :

• A : Les deux jetons tirés sont de couleurs différentes.
• B : Les deux jetons tirés ont des numéros différents.
• C : Les deux jetons diffèrent à la fois par la couleur et par le numéro.

Solution

Les tirages possibles sont les ${\binom {6}{2}}=15$ paires de jetons.

• Il n'y a que 4 paires monochromes (une jaune et trois vertes) donc $P(A)=1-{\frac {4}{15}}={\frac {11}{15}}$.
• De même, il n'y a que 4 paires « mononumérotées » (une paire de 2 et trois paires de 1) donc $P(B)={\frac {11}{15}}$.
• Les deux jetons d'une paire diffèrent toujours au moins par la couleur ou par le numéro donc ${\overline {C}}$ est l'union disjointe de ${\overline {A}}$ et ${\overline {B}}$, donc $P(C)=1-{\frac {4}{15}}-{\frac {4}{15}}={\frac {7}{15}}$.

 

Dé truqué

Un dé est truqué de façon que la probabilité d'apparition d'un numéro pair soit le double de celle d'un numéro impair. Donner ces deux probabilités.

Solution

Puisque les deux événements sont contraires, on trouve immédiatement : $P(\mathrm {impair} )={\frac {1}{3}}$ et $P(\mathrm {pair} )={\frac {2}{3}}$.