Phénomènes d'induction/Induction mutuelle, induction propre

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**Induction mutuelle, induction propre**
Leçon : Phénomènes d'induction

Chapitre 1
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[modifier] Induction propre

Dispositif

On dispose d'une spire conductrice Γ orientée, parcourue par un courant i et sur laquelle s'appuie une surface Σ orientée en concordance avec Γ.

Γ crée un champ magnétique $\vec B$ . Le flux de $\vec B$ à travers Σ vaut $\Phi= \iint_{\Sigma} \vec B(M).\overrightarrow{\mathrm d^2S}$

Définition

On montre que $\Phi=i~L$ , où L est un coefficient ne dépendant que de la géométrie du circuit. L s'appelle l'inductance propre du circuit. Elle s'exprime également en henry (H)

[modifier] Induction mutuelle

Dispositif

On dispose de deux spires conductrices Γ₁ et Γ₂, orientées.

Γ₁ est parcourue par un courant i₁ orienté dans le même sens que Γ₁. De plus, on prend une surface Σ₁ s'appuyant sur Γ₁, orientée en concordance avec Γ₁.
Γ₂ est parcourue par un courant i₂ orienté dans le même sens que Γ₂. De plus, on prend une surface Σ₂ s'appuyant sur Γ₂, orientée en concordance avec Γ₂.

$Γ 1$ crée un champ magnétique $\vec B_1$ , dont certaines lignes de champ vont traverser Σ₂. Le flux de $\vec B_1$ à travers Σ₂ vaut alors :

$\begin{align} \Phi_{1 \rightarrow 2} &= \iint_{\Sigma_2} \vec B_1(M_2).\overrightarrow{\mathrm d^2S}\\ &= \iint_{\Sigma_2} \overrightarrow{\mathrm{rot}}(\vec A_1)(M_2).\overrightarrow{\mathrm d^2S}\\ &=\oint_{\Gamma_2} \vec A_1(M_2).\mathrm d \vec l_2\\ &=\oint_{\Gamma_2} \left ( \oint_{\Gamma_1} \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{i_1 \mathrm d \vec l_1}{P_1M_2} \right ) .\mathrm d \vec l_2\\ &=i_1~\oint_{\Gamma_2} \left (\oint_{\Gamma_1} \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\mathrm d \vec l_1.\mathrm d \vec l_2}{P_1M_2} \right ) \end{align}$

En posant $M_{1\rightarrow2}=\oint_{\Gamma_2}\left(\oint_{\Gamma_1}\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\mathrm d\vec l_1.\mathrm d\vec l_2}{P_1M_2}\right)$ , coefficient qui ne dépend que de la géométrie du système, on obtient $\Phi_{1\rightarrow2}=i_1~M_{1\rightarrow2}$

On calcule de même $\Phi_{2\rightarrow1}=\iint_{\Sigma_1}\vec B_2(M_1).\overrightarrow{\mathrm d^2S}$ . On obtient par un calcul analogue $\Phi_{2\rightarrow1}=i_2~M_{2\rightarrow1}$ .
On remarque au cours du calcul que $M_{1\rightarrow2}=M_{2\rightarrow1}$

Voir les exercices sur : Induction mutuelle, induction propre.

Définition

On pose $M=M_{1\rightarrow2}=M_{2\rightarrow1}$ le coefficient de mutuelle inductance, qui s'exprime en henry (H).

On a alors $\begin{cases} \Phi_{1 \rightarrow 2}=M i_1\\ \Phi_{2 \rightarrow 1}=M i_2 \end{cases}$

[modifier] Matrice d'inductance

Dispositif

On dispose de deux spires conductrices Γ₁ et Γ₂, orientées.

Γ₁ est parcourue par un courant i₁ orienté dans le même sens que Γ₁. De plus, on prend une surface Σ₁ s'appuyant sur Γ₁, orientée en concordance avec Γ₁.
Γ₂ est parcourue par un courant i₂ orienté dans le même sens que Γ₂. De plus, on prend une surface Σ₂ s'appuyant sur Γ₂, orientée en concordance avec Γ₂
Γ₁ a une inductance propre L₁
Γ₂ a une inductance propre L₂
Le coefficient de mutuelle inductance du système (Γ₁, Γ₂) vaut M

Le flux du champ magnétique total à travers Σ₁ vaut Φ₁
Le flux du champ magnétique total à travers Σ₂ vaut Φ₂

On a: $\begin{cases} \Phi_1=L_1 i_1 + M i_2\\ \Phi_2=L_2 i_2 + M i_1 \end{cases}$

On peut écrire ces relations sous forme matricielle : $\begin{pmatrix} \Phi_1\\ \Phi_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} L_1 & M \\ M & L_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i_1\\i_2 \end{pmatrix}$

Définition

La matrice $\begin{pmatrix} L_1 & M \\ M & L_2 \end{pmatrix}$ s'appelle matrice d'inductance du circuit.

Remarque

L₁>0 et L₂>0
Le signe de M dépend des orientations relatives des circuits.
|M|<L₁ et |M|<L₂

Définition

On définit le coefficient de couplage du circuit $k=\frac{M^2}{L_1L_2}$

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