Phénomènes d'induction/Loi de Faraday

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**Loi de Faraday**
Leçon : Phénomènes d'induction

Chapitre 2
Chap. préc. :	Induction mutuelle, induction propre
Chap. suiv. :	Loi de Lenz

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Phénomènes d'induction/Loi de Faraday », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Champ électromoteur

Champ électromoteur induit

Soit un fil conducteur en mouvement dans un champ magnétique $\vec B$ . Alors tout point du conducteur est le siège d'un champ électromoteur $\vec E_m$ valant

$\vec E_m=\vec v\wedge\vec B-\frac{\partial\vec A}{\partial t}$

Voir les exercices sur : Champ électromoteur.

Définition

La force électromotrice induite e le long d'une courbe orientée Γ vaut $e=\int_\Gamma\vec E_m. \mathrm d\vec l$

[modifier] Loi de Faraday

[modifier] Cas d'un circuit mobile lorsque B est indépendant du temps

Dispositif

On dispose d'une spire Γ mobile dans un champ magnétique $\vec B$ indépendant du temps.

On considère Γ aux instants t et t+dt'. On dispose également

d'une surface S qui s'appuie sur Γ(t), orientée en concordance avec Γ(t), au travers de laquelle le flux de $\vec B$ vaut Ф
d'une surface S' qui s'appuie sur Γ(t+dt), orientée en concordance avec Γ(t+dt), au travers de laquelle le flux de $\vec B$ vaut Ф'

Un point courant P de Γ à l'instant t a subi une translation élémentaire $\overrightarrow{\mathrm dP}$ pour devenir P'.

Si $\vec B$ est indépendant du temps, $\vec A$ aussi et $\vec E_m=\vec v\wedge\vec B$

$\begin{align} e &= \oint_\Gamma (\vec v \wedge \vec B).\mathrm d \vec l\\ &= \oint_\Gamma (\mathrm d \vec l \wedge \vec v).\vec B\\ &= \oint_\Gamma \frac1{\mathrm dt} (\mathrm d \vec l \wedge \vec v~\mathrm dt).\vec B\\ &= \frac1{\mathrm dt} \oint_\Gamma (\mathrm d \vec l \wedge \overrightarrow{\mathrm dP}).\vec B \end{align}$

La surface infinitésimale $\mathrm d^2S_c~$ engendrée par $\mathrm d\vec l$ et $\overrightarrow{\mathrm dP}$ est appelée surface coupée élémentaire, ou parfois surface balayée élémentaire. Elle est orientée dans le sens de $\mathrm d\vec P\wedge\overrightarrow{\mathrm dl}$ .
La réunion de toutes les surfaces coupées élémentaires forme la surface coupée $\mathrm dS_c~$ . Elle forme une sorte de tube s'appuyant sur S et S'.
Le flux de $\vec B$ à travers la surface coupée $\mathrm dS_c~$ s'appelle le flux coupé dФ_c.

$\begin{align} e&= -\frac1{\mathrm dt} \oint_\Gamma (\mathrm d^2S_c ~ \vec n_c).\vec B\\ &= -\oint_\Gamma \frac{\mathrm d^2 \Phi_c}{\mathrm dt}\\ &= -\frac{\mathrm d\Phi_c}{\mathrm dt} \end{align}$
Comme $S\cup S'\cup\mathrm dS_c$ est une surface fermée, on a $~\Phi-\Phi'+\mathrm d\Phi_c=0$

Donc $~\mathrm d\Phi_c=\Phi-\Phi'=\mathrm d\Phi$

On a finalement $e=-\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt}$

[modifier] Cas d'un circuit fixe dans B(t)

Dispositif

On dispose d'une spire Γ orientée immobile dans un champ magnétique $\vec B(t)$ . On dispose également d'une surface Σ qui s'appuie sur Γ, orientée en concordance avec Γ, au travers de laquelle le flux de $\vec B$ vaut Ф.

Pour un circuit fixe, $\vec v=\vec0$ donc $\vec E_m=-\frac{\partial\vec A}{\partial t}$

$\begin{align} e&=-\oint_\Gamma \frac{\partial\vec A}{\partial t}.\mathrm d\vec l\\ &=-\frac{\partial}{\partial t}\left(\oint_\Gamma\vec A.\mathrm d\vec l\right)\\ &=-\frac{\partial}{\partial t}\left(\iint_\Sigma\overrightarrow{\mathrm{rot}}(\vec A).\overrightarrow{\mathrm d^2S}\right)\\ &=-\frac{\partial}{\partial t}\left(\iint_\Sigma\vec B.\overrightarrow{\mathrm d^2S}\right)\\ &=-\frac{\partial\Phi}{\partial t}=-\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt} \end{align}$

[modifier] Cas général

Voir les exercices sur : Phénomènes d'induction.

Il est absolument fondamental de connaître et savoir correctement appliquer ce résultat. La méthode d'application est détaillée dans les exercices.

Loi de Faraday

Pour un circuit fermé : $e=-\frac{\mathrm d \Phi}{\mathrm dt}$

Phénomènes d'induction

Induction mutuelle, induction propre

Loi de Lenz

Phénomènes d'induction/Loi de Faraday

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Sommaire

[modifier] Champ électromoteur

[modifier] Loi de Faraday

[modifier] Cas d'un circuit mobile lorsque B est indépendant du temps

[modifier] Cas d'un circuit fixe dans B(t)

[modifier] Cas général

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