Phénomènes d'induction/Énergie magnétique

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**Énergie magnétique**
Leçon : Phénomènes d'induction

Chapitre 4
Chap. préc. :	Loi de Lenz

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Phénomènes d'induction/Énergie magnétique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Énergie magnétique d'un circuit dans un champ extérieur
2 Énergie magnétique d'un système de deux courants

[modifier] Énergie magnétique d'un circuit dans un champ extérieur

[modifier] Travail des forces électromagnétiques au cours d'un déplacement

On dispose d'une spire Г parcourue par un courant I dans un champ magnétique $\vec B$ . On suppose que tout point P de Г se déplace de façon infinitésimale d'un vecteur $\overrightarrow{\mathrm dP}$ . Le travail élémentaire des forces électromagnétiques sur Г vaut

$\begin{align} d\tau&=\oint_\Gamma I (\mathrm d\vec l \wedge \vec B).\overrightarrow{\mathrm dP}\\ &=\oint_\Gamma I (\overrightarrow{\mathrm dP} \wedge \mathrm d\vec l). \vec B\\ &=\oint_\Gamma I \overrightarrow{\mathrm d^2S_c}. \vec B\\ &=I~\oint_\Gamma \mathrm d^2\Phi_c = I~\mathrm d\Phi_c \end{align}$

Théorème de Maxwell

dτ = I dФ
Si I reste constant, entre une position initiale où le flux de $\vec B$ à travers Г vaut Ф₁ et une position finale où le flux de $\vec B$ à travers Г vaut Ф₂, le travail vaut τ = I (Ф₂-Ф₁)

[modifier] Énergie potentielle

Définition

On peut définir l'énergie potentielle magnétique $E_{pm}=-I~\Phi$ .

Elle correspond à l'énergie dépensée par un opérateur pour amener Г à sa position actuelle depuis l'infini.

[modifier] Règle du flux maximum

Règle du flux maximum

Le système évolue toujours vers une diminution de son énergie potentielle, c'est-à-dire vers un flux maximum.

[modifier] Énergie magnétique d'un système de deux courants

Dispositif

On considère un système de deux boucles de courant Г₁ et Г₂, parcourues respectivement par des courants I₁ et I₂. Les flux et les courants sont reliés par la relation matricielle

$\begin{pmatrix} \Phi_1\\ \Phi_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} L_1 & M \\ M & L_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i_1\\i_2 \end{pmatrix}$

On cherche à déterminer l'énergie magnétique de ce système de courants. Pour ce faire, on suppose partir des intensités nulles pour arriver à I₁ et I₂
L'« état des courants » à l'instant t est quantifiée par un réel $\alpha \in [0;1]$ tel que :

$\begin{cases} i_1=\alpha I_1\\ i_2=\alpha I_2 \end{cases}$

Les flux à l'instant t valent alors :

$\begin{cases} \varphi_1=\alpha \Phi_1\\ \varphi_2=\alpha \Phi_2 \end{cases}$

Les circuits étant fermés, la loi de Faraday assure l'apparition de forces électromotrices induites valant :

$\begin{cases} e_1=\displaystyle{-\frac{\mathrm d\varphi_1}{\mathrm dt}=-\frac{\mathrm d\alpha}{\mathrm dt} \Phi_1}\\ e_2=\displaystyle{-\frac{\mathrm d\varphi_2}{\mathrm dt}=-\frac{\mathrm d\alpha}{\mathrm dt} \Phi_2}\\ \end{cases}$

On exprime alors la puissance $\mathcal P$ fournie par les générateurs de courant :

$\begin{align} \mathcal P &= -e_1i_1-e_2i_2\\ &= \frac{\mathrm d\alpha}{\mathrm dt} (\Phi_1 i_1 + \Phi_2 i_2)\\ &= \alpha \frac{\mathrm d\alpha}{\mathrm dt} (\Phi_1 I_1 + \Phi_2 I_2) \end{align}$

On peut alors relier la puissance à l'énergie fournie par les générateurs :

$\mathrm dW = \mathcal P \mathrm dt=\alpha (\Phi_1 I_1 + \Phi_2 I_2) \mathrm d\alpha$

On intègre pour $\alpha\in [0;1]$

$W=\frac12(\Phi_1 I_1 + \Phi_2 I_2)$

Finalement, l'énergie magnétique de ce système de deux courants vaut $W=\frac12L_1 I_1^2 +\frac12L_2 I_2^2+ M I_1 I_2$

Phénomènes d'induction

Loi de Lenz

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[modifier] Énergie magnétique d'un circuit dans un champ extérieur

[modifier] Travail des forces électromagnétiques au cours d'un déplacement

[modifier] Énergie potentielle

[modifier] Règle du flux maximum

[modifier] Énergie magnétique d'un système de deux courants

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