Phénomènes d'induction/Exercices/Champ électromoteur

Roue de Barlow

Début d’un principe

Dispositif

On considère le montage de la roue de Barlow. Il s'agit d'un disque de métal de centre O et de rayon a pouvant pivoter autour de son axe (Oz). On connecte entre O et un point P fixe faisant contact avec la roue (historiquement la roue plongeait dans un bain de mercure pour établir le contact) un générateur de force électromotrice E, une résistance R et un interrupteur K. On suppose :

• le disque et les fils parfaitement conducteurs
• l'inductance propre du circuit négligeable

Le tout est plongé dans un champ magnétique uniforme ${\vec {B}}=B~{\vec {u}}_{z}$. On note :

• $\omega ~$ la vitesse angulaire de la roue
• i le courant électrique passant dans le circuit
• $J={\frac {1}{2}}ma^{2}$ le moment d'inertie du disque par rapport à (Oz)

Fin du principe

Question : À l'instant t=0, on ferme K. Trouver l'évolution de $\omega ~$ en fonction de t.

Solution

Dans les exercices de ce genre, il faut procéder par ordre pour ne rien oublier et ne pas faire d'erreur.

Début d’un principe

Première étape : Forces de Laplace

Le courant qui arrive par O se répartit dans toute la roue avant de repartir en P. Le raisonnement est le suivant :

• On considère une ligne élémentaire de courant d'intensité $\mathrm {d} i~$ qui part de O et arrive en P
• On calcule l'action des forces de Laplace sur cette ligne de courant
• On intègre sur les lignes de courant

Fin du principe

• Soit une ligne élémentaire de courant d'intensité $\mathrm {d} i~$, orientée de O vers P.
• Soit M un point de cette ligne de courant. On munit M d'un repère polaire $({\vec {u}}_{r},{\vec {u}}_{\theta })$.
  • La portion infinitésimale $\mathrm {d} {\vec {l}}$ de la ligne de courant en M est soumise à la force de Laplace $\mathrm {d} ^{2}{\vec {F}}=\mathrm {d} i~\mathrm {d} {\vec {l}}\wedge {\vec {B}}$.
  • On exprime $\mathrm {d} {\vec {l}}$ dans la base $({\vec {u}}_{r},{\vec {u}}_{\theta })$ : $\mathrm {d} {\vec {l}}=\mathrm {d} r~{\vec {u}}_{r}+r~\mathrm {d} \theta ~{\vec {u}}_{\theta }$
  • La force de Laplace devient alors $\mathrm {d} ^{2}{\vec {F}}=B~\mathrm {d} i\mathrm {(} -\mathrm {d} r~{\vec {u}}_{\theta }+r~\mathrm {d} \theta ~{\vec {u}}_{r})$
  • On s'intéresse en réalité au moment par rapport à (Oz) des forces de Laplace pour exprimer la mise en rotation de la roue. Le moment par rapport à (Oz) des forces de Laplace qui s'exercent en M vaut $\mathrm {d} ^{2}{\vec {\Gamma }}={\overrightarrow {OM}}\wedge d^{2}{\vec {F}}=-Br~\mathrm {d} i~\mathrm {d} r~{\vec {u}}_{z}$
  • On intègre alors l’expression par rapport à r pour trouver le moment par rapport à (Oz) des forces de Laplace qui s'exercent sur toute la ligne de courant : $\mathrm {d} {\vec {\Gamma }}=\int _{r=0}^{r=a}-Br~\mathrm {d} i~\mathrm {d} r~{\vec {u}}_{z}=-B{\frac {a^{2}}{2}}~\mathrm {d} i~{\vec {u}}_{z}$
• Enfin, on intègre sur toutes les lignes de courant, c'est-à-dire par rapport à i :

${\vec {\Gamma }}=-B{\frac {a^{2}}{2}}i{\vec {u}}_{z}$

Début d’un principe

Deuxième étape : Force électromotrice induite

Le disque est un conducteur en mouvement dans un champ magnétique. Tout point est alors siège d'un champ électromoteur ${\vec {E}}_{m}={\vec {v}}\wedge {\vec {B}}$. On tient alors le même raisonnement pour calculer la force électromotrice totale induite :

• On considère une ligne élémentaire de courant d'intensité $\mathrm {d} i~$ qui part de O et arrive en P
• On calcule la force électromotrice induite le long de cette ligne de courant. Comme toutes les lignes de courant sont « en parallèle », le résultat sera valable pour toutes les lignes de courant.

Fin du principe

• Soit une ligne élémentaire de courant orientée de O vers P.
• Soit M un point de cette ligne de courant. On munit M d'un repère polaire $({\vec {u}}_{r},{\vec {u}}_{\theta })$.
  • M est le siège d'un champ électromoteur ${\vec {E}}_{m}={\vec {v}}\wedge {\vec {B}}$
  • On exprime $\mathrm {d} {\vec {l}}$ dans la base $({\vec {u}}_{r},{\vec {u}}_{\theta })$ : $\mathrm {d} {\vec {l}}=\mathrm {d} r~{\vec {u}}_{r}+r~\mathrm {d} \theta ~{\vec {u}}_{\theta }$
  • On calcule la force électromotrice induite le long de cette ligne de courant : $e=\int _{r=0}^{r=a}{\vec {E}}_{m}.\mathrm {d} {\vec {l}}=\int _{r=0}^{r=a}rB{\dot {\theta }}~\mathrm {d} r={\frac {a^{2}}{2}}B{\dot {\theta }}$

$e={\frac {a^{2}}{2}}B\omega$

Début d’un principe

Troisième étape : Principe fondamental de la dynamique

On applique le principe fondamental de la dynamique au disque : $\sum {\vec {\Gamma }}.\mathrm {\vec {u}} _{z}=J~{\dot {\omega }}$

Fin du principe

• On obtient ainsi l'équation $-Bi=m{\dot {\omega }}$
• D'après la loi d'Ohm : $i={\frac {e+E}{R}}$
• Après remplacement : $m{\dot {\omega }}=-{\frac {B}{R}}\left({\frac {a^{2}}{2}}B\omega +E\right)$. Donc $\omega ~$ vérifie l'équation différentielle ${\dot {\omega }}+{\frac {B^{2}a^{2}}{2mR}}\omega =-{\frac {BE}{mR}}$
• Après résolution:

$\omega =-{\frac {2E}{Ba^{2}}}\left(1-\exp \left(-{\frac {B^{2}a^{2}}{2Rm}}t\right)\right)$