Phénomènes d'induction/Exercices/Champ électromoteur

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**Champ électromoteur**
Leçon : Phénomènes d'induction

Exercice 2
Chapitre du cours :	Champ électromoteur
Cet exercice est de niveau 14.

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Phénomènes d'induction/Exercices/Champ électromoteur », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Roue de Barlow

Dispositif

On considère le montage de la roue de Barlow. Il s'agit d'un disque de métal de centre O et de rayon a pouvant pivoter autour de son axe (Oz). On connecte entre O et un point P fixe faisant contact avec la roue (historiquement la roue plongeait dans un bain de mercure pour établir le contact) un générateur de force électromotrice E, une résistance R et un interrupteur K. On suppose :

le disque et les fils parfaitement conducteurs
l'inductance propre du circuit négligeable

Le tout est plongé dans un champ magnétique uniforme $\vec B = B~\vec u_z$ . On note :

$\omega~$ la vitesse angulaire de la roue
i le courant électrique passant dans le circuit
$J=\frac12ma^2$ le moment d'inertie du disque par rapport à (Oz)

Question : À l'instant t=0, on ferme K. Trouver l'évolution de $\omega~$ en fonction de t.

Solution

Dans les exercices de ce genre, il faut procéder par ordre pour ne rien oublier et ne pas faire d'erreur.

Première étape : Forces de Laplace

Le courant qui arrive par O se répartit dans toute la roue avant de repartir en P. Le raisonnement est le suivant :

On considère une ligne élémentaire de courant d'intensité $\mathrm di~$ qui part de O et arrive en P
On calcule l'action des forces de Laplace sur cette ligne de courant
On intègre sur les lignes de courant

Soit une ligne élémentaire de courant d'intensité $\mathrm di~$ , orientée de O vers P.
Soit M un point de cette ligne de courant. On munit M d'un repère polaire .
- La portion infinitésimale $\mathrm d\vec l$ de la ligne de courant en M est soumise à la force de Laplace $\mathrm d^2 \vec F = \mathrm di ~\mathrm d \vec l \wedge \vec B$ .
- On exprime $\mathrm d \vec l$ dans la base $(\vec u_r,\vec u_\theta)$ : $\mathrm d \vec l = \mathrm dr~ \vec u_r + r~\mathrm d \theta ~\vec u_\theta$
- La force de Laplace devient alors $\mathrm d^2 \vec F = B~\mathrm di \mathrm (-\mathrm dr ~\vec u_\theta + r~\mathrm d \theta~ \vec u_r)$
- On s'intéresse en réalité au moment par rapport à (Oz) des forces de Laplace pour exprimer la mise en rotation de la roue. Le moment par rapport à (Oz) des forces de Laplace qui s'exercent en M vaut $\mathrm d^2 \vec \Gamma = \overrightarrow{OM} \wedge d^2 \vec F = -Br ~\mathrm di~ \mathrm dr ~\vec u_z$
- On intègre alors l'expression par rapport à r pour trouver le moment par rapport à (Oz) des forces de Laplace qui s'exerent sur toute la ligne de courant : $\mathrm d \vec \Gamma = \int_{r=0}^{r=a} -Br ~\mathrm di~ \mathrm dr ~\vec u_z = -B \frac{a^2}2~\mathrm di~\vec u_z$
Enfin, on intègre sur toutes les lignes de courant, c'est-à-dire par rapport à i :

$\vec \Gamma = -B \frac{a^2}2 i \vec u_z$

Deuxième étape : Force électromotrice induite

Le disque est un conducteur en mouvement dans un champ magnétique. Tout point est alors siège d'un champ électromoteur $\vec E_m = \vec v \wedge \vec B$ . On tient alors le même raisonnement pour calculer la force électromotrice totale induite :

On considère une ligne élémentaire de courant d'intensité $\mathrm di~$ qui part de O et arrive en P
On calcule la force électromotrice induite le long de cette ligne de courant. Comme toutes les lignes de courant sont « en parallèle », le résultat sera valable pour toutes les lignes de courant.

Soit une ligne élémentaire de courant orientée de O vers P.
Soit M un point de cette ligne de courant. On munit M d'un repère polaire .
- M est le siège d'un champ électromoteur $\vec E_m = \vec v \wedge \vec B$
- On exprime $\mathrm d \vec l$ dans la base $(\vec u_r,\vec u_\theta)$ : $\mathrm d \vec l = \mathrm dr~ \vec u_r + r~\mathrm d \theta ~\vec u_\theta$
- On calcule la force électromotrice induite le long de cette ligne de courant : $e=\int_{r=0}^{r=a} \vec E_m.\mathrm d \vec l = \int_{r=0}^{r=a} rB \dot \theta ~\mathrm dr = \frac{a^2}2 B \dot \theta$

$e=\frac{a^2}2 B \omega$

Troisième étape : Principe fondamental de la dynamique

On applique le principe fondamental de la dynamique au disque : $\sum \vec \Gamma = J~\dot \omega$

On obtient ainsi l'équation $-Bi=m\dot \omega$
D'après la loi d'Ohm : $i=\frac{e+E}R$
Après remplacement : $m \dot \omega = -\frac{B}{R} \left ( \frac{a^2}2 B \omega +E\right )$ . Donc $\omega~$ vérifie l'équation différentielle $\dot \omega + \frac{B^2 a^2}{2mR} \omega = -\frac{BE}{mR}$
Après résolution