Oscillateurs/Oscillations amorties par un frottement fluide
Équation du mouvement[modifier | modifier le wikicode]
En plus de la force de rappel, la particule est soumise à une force de frottement .
On applique le principe fondamental de la dynamique et on projette sur l'axe horizontal :
On réécrit cette équation sous la forme canonique suivante :
avec et .
C'est une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants.
Régimes de fonctionnement[modifier | modifier le wikicode]
L'équation caractéristique de l'équation différentielle est :
Le discriminant Δ est :
Son signe détermine la nature du régime de fonctionnement.
Amortissement fort[modifier | modifier le wikicode]
Considérons le cas Δ > 0, l'équation caractéristique admet alors deux racines réelles négatives :
La solution générale est de la forme :
On détermine les constantes A et B à l'aide des conditions initiales. Le régime est apériodique et consiste en un retour vers la position d'équilibre sans oscillation.
Amortissement faible[modifier | modifier le wikicode]
Considérons le cas Δ < 0, les racines de l'équation caractéristique sont alors complexes et conjuguées :
- avec
La solution générale est de la forme :
On détermine les constantes A et φ à l'aide des conditions initiales. Le régime est pseudo-périodique et consiste en une oscillation sinusoïdale dont l'amplitude décroît exponentiellement avec le temps.
La pseudo période est :
La période est toujours supérieure à la pseudo période T0 : T > T0
Si l'amortissement est très faible et alors
Amortissement critique[modifier | modifier le wikicode]
Le cas intermediaire est le cas où Δ = 0, ce qui correspond à β = ω0. L'équation caractéristique admet alors une racine double r = ω0 . La solution générale de l'équation différentielle est :
Cette situation correspond au retour à l'équilibre sans oscillations le plus rapide.