Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants

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**Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants**
Leçon : Équation différentielle

Chapitre 5
Chap. préc. :	Équation différentielle linéaire du premier ordre
Chap. suiv. :	Équation différentielle du deuxième ordre

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Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants avec second membre
- 1.1 Exemples
2 Équation homogène associée
3 Espace vectoriel
- 3.1 Équation caractéristique
- 3.2 Exemples
4 Résolution
- 4.1 Exemple
5 Équation avec second membre
- 5.1 Cas particulier où
6 Équations avec conditions initiales
7 La condition initiale
- 7.1 Exemple

[modifier] Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants avec second membre

Notations et définitions

Une équation différentielle linéaire d'ordre deux à coefficient constants avec second membre est de la forme :

$af'' + bf' +cf = d(t)\,$

On suppose que a n'est pas nul et que d est une fonction dérivable sur un intervalle I.

Remarques :

Les physiciens disposent de leur propre formalisme pour ces équations typiques des phénomènes oscillants. Voir pour cela : Équation différentielle linéaire de la faculté de physique.
Néanmoins on utilisera la lettre t comme variable dans ce chapitre.

[modifier] Exemples

1. $y''+y'-2y=t-1\,$
2. $y''+4y=\sin t\,$

[modifier] Équation homogène associée

Définition

L’équation homogène associée ou l’équation sans second membre associée à $(E)\,$ est $(E_0)\,$ :

$\ af'' + bf' +cf = 0\,$

[modifier] Espace vectoriel

L'ensemble des solutions de $(E_0)\,$ est une espace vectoriel de dimension 2.

Cela signifie qui suffit de déterminer 2 solutions linéairement indépendantes pour les avoir toutes par combinaison linéaire.

[modifier] Équation caractéristique

Définition

L'équation $ar^2 +br+c=0\,$ est $(E_c)\,$ l'équation caractéristique de $(E_0)\,$ .

[modifier] Exemples

Donner les équations caractéristiques $(E_c)\,$ des équations différentielles homogènes suivantes.

$(E_1) : y''+y'-2y=0\,$
$(E_2) : y''+4y'=0\,$

Solution

$(E_{c_1}) : r^2+r-2=0\,$

Dont les solutions sont : $r=-2\,$ et $r=1\,$

$(E_{c_2}) : r^2+4r=0\,$

Dont les solutions sont : $r=-4\,$ et $r=0\,$

[modifier] Résolution

Théorème

Une solution générale de $(E_0)\,$ s'écrit différemment selon les solutions de l'équation caractéristique $(E_c)\,$ :

Si $\Delta>0\,$ , les solutions de $(E_c)\,$ sont réelles $r_1\,$ et $r_2\,$ et la solution générale de $(E_0)\,$ est :

$f(t) = Ae^{r_1t}+Be^{r_2t}\,$

Si $\Delta=0\,$ , la solution unique $r\,$ de $(E_c)\,$ est réelle et la solution générale de $(E_0)\,$ est :

$f(t) = (At+B)e^{rt}\,$ .

Si $\Delta<0\,$ , les solutions de $(E_c)\,$ sont les complexes conjuguées $\alpha+\beta i\,$ et $\alpha-\beta i\,$ et la solution générale de $(E_0)\,$ est :

$f(t) = (A \cos(\beta t)+B \sin(\beta t))e^{\alpha t}\,$

[modifier] Exemple

Voir les exercices sur : Équations sans second membre.

Résoudre les équations homogènes suivantes.

$y''+y'-2y=0\,$
$y''+4y=0\,$

[modifier] Équation avec second membre

Théorème

Une solution générale de l'équation $(E)\,$ s'obtient en ajoutant une solution particulière de $(E)\,$ à la solution générale de $(E_0)\,$ .

Remarque : Le problème revient alors à trouver une solution particulière de (E), ce qui n'est pas toujours évident.

[modifier] Cas particulier où $d(t) = e^{\lambda t} P(t)\,$

Théorème

Dans le cas où :

$(E) : af''+bf'+cf = e^{\lambda t} P(t)\,$

où P est un polynôme. Alors on a une solution particulière de la forme :

$f(t) = e^{\lambda t} Q(t)\,$

où Q est un autre polynôme.

[modifier] Degré de Q

Si $\lambda\,$ n'est pas solution de l'équation caractéristique, le degré de Q est le même que celui de P ;
Si $\lambda\,$ est solution simple de l'équation caractéristique, le degré de Q est celui de P plus un ;
Si $\lambda\,$ est solution double de l'équation caractéristique, le degré de Q est celui de P plus deux.

[modifier] Remarque

Voir les exercices sur : Équations avec des sinus et cosinus.

Ce cas là inclut les fonctions trigonométriques.
En effet $\sin (t) = \Im \left (e^{it} \right )\,$ et $\cos (t) = \Re \left (e^{it} \right )\,$ .

Ainsi, pour résoudre une équation faisant intervenir ces fonctions, il faut donc passer par les exponentielles complexes.

[modifier] Exemple

Voir les exercices sur : Équations avec second membre.

Déterminer une solution générale de $(E)\,$ :

$y''+3y'+2y=3t+7\,$

Solution

$y''+3y'+2y=3t+7\,$

L'équation est sous forme normale.

Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''+3y'+2y=0\,$

Équation caractéristique :

$r^2+3r+2=0 \Leftrightarrow (r+1)(r+2)=0 \,$ (en voyant que -1 est solution évidente par exemple)

$\Leftrightarrow r=-1 \,$ ou $r=-2 \,$

Donc $y = \lambda e^{-t} + \mu e^{-2t} , ( \lambda ; \mu ) \in \mathbb{R}^2 \,$

Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $y''+3y'+2y=3t+7\,$

On cherche une solution particulière sous la forme $y_1=a t + b\,$ .

$y_1'=a\,$

$y_1''= 0\,$

Donc $y_1''+3y_1'+2y_1 = 3t+7 \Leftrightarrow 3a + 2at + 2b = 3t+7\,$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 2a=3 \\ 3a + 2b=7 \end{cases}\,$

$\Leftrightarrow \begin{cases} a=\frac {3}{2} \\ b=\frac{5}{4} \end{cases}\,$

Une solution particulière est donc $y_1= \frac {3}{2}t + \frac{5}{4}\,$

Donc $y = \lambda e^{-t} + \mu e^{-2t} + \frac {3}{2}t + \frac{5}{4}\,,\,(\lambda;\mu)\in \mathbb{R}^2\,$

[modifier] Équations avec conditions initiales

[modifier] La condition initiale

L'ensemble des solutions d'une E.D.L du second ordre est un espace vectoriel de dimension 2,

le fait de fixer deux valeurs suffit à la définir parfaitement.

Le sens physique de cette remarque est très intuitif :

un système physique régit par une équation différentielle du second ordre voit son état déterminé par une seul nombre f(x)

pour déterminer cette fonction, il faut donner par exemple une position initiale f(0) et une vitesse initiale f'(0).

C'est ce qu'on appelle les conditions initiales.

Théorème de Cauchy

Soit une valeur de la variable x₀, deux valeurs y₀ et $z 0$ étant données,

il existe une unique solution à une équation différentielle linéaire d'ordre deux

vérifiant

f (x 0) = y 0

et

f

'(x 0) = z 0

.

[modifier] Exemple

Voir les exercices sur : Résolution d'équations différentielles avec conditions initiales.

Déterminer la solution de (E) vérifiant les conditions initiales données.

$y''+4y'-5y=10\,$

$f(0) = 4\,$

$f'(0) = 0\,$

Solution

L'équation est sous forme normale.

Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''+4y'-5y=0\,$

Équation caractéristique :

$r^2+4r-5=0 \Leftrightarrow (r-1)(r+5)=0 \,$ (en voyant que 1 est solution évidente par exemple)

$\Leftrightarrow r=1 \,$ ou $r=-5 \,$

Donc $y = \lambda e^t + \mu e^{-5t} , ( \lambda ; \mu ) \in \mathbb{R}^2 \,$

Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $y''+4y'-5y=10\,$

$y = -\frac{10}{5} \,$ est solution constante évidente.

Donc $y\,$ est de la forme $y = \lambda e^t + \mu e^{-5t} -2\,,\,(\lambda;\mu)\in \mathbb{R}^2\,$

Détermination de $\lambda\,$ et de $\mu\,$ :

$\begin{cases} f(0) = 4 \\ f'(0) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \lambda + \mu - 2 = 4 \\ \lambda - 5 \mu = 0 \end{cases} \,$

$\Leftrightarrow \begin{cases} \mu = 1 \\ \lambda = 5 \end{cases}\,$

Donc $y = 5 e^t + e^{-5t} -2\,$

Équation différentielle

Équation différentielle linéaire du premier ordre

Équation différentielle du deuxième ordre

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[modifier] Exemples

[modifier] Équation homogène associée

[modifier] Espace vectoriel

[modifier] Équation caractéristique

[modifier] Exemples

[modifier] Résolution

[modifier] Exemple

[modifier] Équation avec second membre

[modifier] Cas particulier où $d(t) = e^{\lambda t} P(t)\,$

[modifier] Degré de Q

[modifier] Remarque

[modifier] Exemple

[modifier] Équations avec conditions initiales

[modifier] La condition initiale

[modifier] Exemple

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