Opérations sur les fonctions/Fonctions associées

**Fonctions associées**
Leçon : Opérations sur les fonctions

Chapitre n^o 1
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Chap. suiv. :	Somme et différence

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Opérations sur les fonctions/Fonctions associées », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Définition

Soit ƒ une fonction dont la représentation graphique dans un repère $(O;{\vec {i}},{\vec {j}})$ est notée ${\mathcal {C}}_{f}$ .

On appelle fonction associée à ƒ toute fonction g dont la représentation graphique ${\mathcal {C}}_{g}$ est obtenue par une transformation simple de ${\mathcal {C}}_{f}$ .

Fonctions associées courantes[modifier | modifier le wikicode]

Dans toute cette page, $k\in \mathbb {R}$

g(x) = f(x) + k[modifier | modifier le wikicode]

Théorème

Soit la fonction g définie par $g:x\mapsto f(x)+k$

${\mathcal {C}}_{g}$ est l'image de ${\mathcal {C}}_{f}$ par la translation de vecteur $k\,{\vec {j}}$

g(x) = f(x + k)[modifier | modifier le wikicode]

Théorème

Soit la fonction g définie par $g:x\mapsto f(x+k)$

${\mathcal {C}}_{g}$ est l'image de ${\mathcal {C}}_{f}$ par la translation de vecteur $-k\,{\vec {i}}$

g(x) = -f(x)[modifier | modifier le wikicode]

Théorème

Soit la fonction g définie par $g:x\mapsto -f(x)$

${\mathcal {C}}_{g}$ est l'image de ${\mathcal {C}}_{f}$ par la symétrie d’axe (Ox)

g(x) = f(-x)[modifier | modifier le wikicode]

Théorème

Soit la fonction g définie par $g:x\mapsto f(-x)$

${\mathcal {C}}_{g}$ est l'image de ${\mathcal {C}}_{f}$ par la symétrie d’axe (Oy)

g(x) = |f(x)|[modifier | modifier le wikicode]

Théorème

Soit la fonction g définie par $g:x\mapsto |f(x)|$

On a alors :

$g(x)=f(x)\Leftrightarrow f(x)\geq 0\Leftrightarrow {\mathcal {C}}_{f}$ est au-dessus de (Ox)
$g(x)=-f(x)\Leftrightarrow f(x)\leq 0\Leftrightarrow {\mathcal {C}}_{f}$ est en-dessous de (Ox)

On aboutit à la transformation suivante :

Si ${\mathcal {C}}_{f}$ est au-dessus de (Ox), ${\mathcal {C}}_{g}$ correspond à ${\mathcal {C}}_{f}$
Si ${\mathcal {C}}_{f}$ est en-dessous de (Ox), ${\mathcal {C}}_{g}$ est l’image de ${\mathcal {C}}_{f}$ par la symétrie d’axe (Ox)

g(x) = f(|x|)[modifier | modifier le wikicode]

Théorème

Soit la fonction g définie par $g:x\mapsto f(|x|)$

On a alors pour tout $x,~g(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=g(x)$ , donc g est paire.

(Oy) est donc axe de symétrie pour la courbe ${\mathcal {C}}_{g}$ .

On a donc :

${\mathcal {C}}_{g}$ coïncide avec ${\mathcal {C}}_{f}$ sur $\mathbb {R} ^{+}$
On complète le tracé de ${\mathcal {C}}_{g}$ en faisant la symétrie par rapport à l’axe (Oy).