Opérations sur les fonctions/Fonctions associées

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**Fonctions associées**
Leçon : Opérations sur les fonctions

Chapitre 1
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Chap. suiv. :	Somme et différence

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Opérations sur les fonctions/Fonctions associées », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Définition

Définition

Soit ƒ une fonction dont la représentation graphique dans un repère $(O;\vec i,\vec j)$ est notée $\mathcal C_f$ .

On appelle fonction associée à ƒ toute fonction g dont la représentation graphique $\mathcal C_g$ est obtenue par une transformation simple de $\mathcal C_f$ .

[modifier] Fonctions associées courantes

Dans toute cette page, $k\in\R$

[modifier] g(x) = f(x) + k

Théorème

Soit la fonction g définie par $g:x\mapsto f(x)+k$

$\mathcal C_g$ est l'image de $\mathcal C_f$ par la translation de vecteur $k\,\vec j$

[modifier] g(x) = f(x + k)

Théorème

Soit la fonction g définie par $g:x\mapsto f(x+k)$

$\mathcal C_g$ est l'image de $\mathcal C_f$ par la translation de vecteur $-k\,\vec i$

[modifier] g(x) = -f(x)

Théorème

Soit la fonction g définie par $g:x\mapsto -f(x)$

$\mathcal C_g$ est l'image de $\mathcal C_f$ par la symétrie d’axe (Ox)

[modifier] g(x) = f(-x)

Théorème

Soit la fonction g définie par $g:x\mapsto f(-x)$

$\mathcal C_g$ est l'image de $\mathcal C_f$ par la symétrie d’axe (Oy)

[modifier] g(x) = |f(x)|

Théorème

Soit la fonction g définie par $g:x\mapsto |f(x)|$

On a alors :

$g(x) = f(x) \Leftrightarrow f(x)\geq 0 \Leftrightarrow \mathcal C_f$ est au-dessus de (Ox)
$g(x) = -f(x) \Leftrightarrow f(x)\leq 0 \Leftrightarrow \mathcal C_f$ est en-dessous de (Ox)

On aboutit à la transformation suivante :

Si $\mathcal C_f$ est au-dessus de (Ox), $\mathcal C_g$ correspond à $\mathcal C_f$
Si $\mathcal C_f$ est en-dessous de (Ox), $\mathcal C_g$ est l’image de $\mathcal C_f$ par la symétrie d’axe (Ox)