Notions de base d'optique géométrique/Lois de Snell-Descartes

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**Lois de Snell-Descartes**
Leçon : Notions de base d'optique géométrique

Chapitre 3
Chap. préc. :	Les principes
Chap. suiv. :	Observations expérimentales

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Notions de base d'optique géométrique/Lois de Snell-Descartes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Les lois de Snell-Descartes expliquent la déviation et la réflexion d'un rayon lorsqu'il rencontre un dioptre (une surface séparant deux milieux homogènes). Pour exprimer mathématiquement ces lois, on définit les notion suivantes illustrées sur le schéma ci-contre :

le plan d'incidence est le plan perpendiculaire au dioptre et contenant le rayon incident.
L'angle d'incidence $θ$ est l'angle entre le rayon et la normale au dioptre.

Première loi de Snell-Descartes

Après la rencontre d'un dioptre, tout rayon reste dans le plan d'incidence.

[modifier] Loi de la réflexion

Tout ou partie de la lumière est susceptible d'être réfléchie lorsqu'elle rencontre un objet totalement ou partiellement réfléchissant. C'est ce qui se produit par exemple sur un miroir ou sur des vitres.

Loi de la réflexion

Le rayon réfléchi est symétrique au rayon incident par rapport à la normale à la surface réfléchissante.
Sur le schéma ci-contre, cela veut dire que $θ 1 = θ 2$ .

On se propose de démontrer cette loi à partir du principe de Fermat. Pour cela, supposons que le rayon parte du point A de coordonnées $(x A, y A)$ au point B de coordonnées $(x B, y B)$ . Il passe par un point P situé sur le miroir de coordonnées (x , 0). On cherche à déterminer ce point P. La chemin optique parcouru est

$\begin{matrix} L &=&n\, AP + n\, PB\\ &=& n\frac{y_A}{\cos \theta_1} + n\frac{y_B}{\cos \theta_2} \end{matrix}$

où n est l'indice du milieu. Le principe de Fermat nous indique qu'il faut rendre L extrémal, c'est-à-dire qu'il faut que la dérivée de L par rapport à x s'annule :

$0 = \frac{\partial L}{\partial x} = \frac{\partial \theta_1}{\partial x}\frac{\partial L}{\partial \theta_1} + \frac{\partial \theta_2}{\partial x}\frac{\partial L}{\partial \theta_2}$

Or d'une part :

$\frac{\partial L}{\partial \theta_1} = - n\, y_A \frac{\sin \theta_1}{\cos^2 \theta_1}$ et $\frac{\partial L}{\partial \theta_2} = - n\, y_B \frac{\sin \theta_2}{\cos^2 \theta_2}$

et d'autre part :

$\frac{1}{\cos^2 \theta_1} \frac{\partial \theta_1}{\partial x} = \frac{\partial \tan \theta_1}{\partial x} = \frac{1}{y_A} \frac{\partial (x-x_A)}{\partial x} = \frac{1}{y_A} \rightarrow \frac{\partial \theta_1}{\partial x}= \frac{\cos^2 \theta_1}{y_A}$

et $\frac{1}{\cos^2 \theta_2} \frac{\partial \theta_2}{\partial x} = \frac{\partial \tan \theta_2}{\partial x} = \frac{1}{y_B} \frac{\partial (x_B-x)}{\partial x} = -\frac{1}{y_B} \rightarrow \frac{\partial \theta_2}{\partial x}= - \frac{\cos^2 \theta_2}{y_B}$

Donc finalement on obtient :

$\begin{matrix} 0 &=& -\frac{\cos^2 \theta_1}{y_A} n\, y_A \frac{\sin \theta_1}{\cos^2 \theta_1} + \frac{\cos^2 \theta_2}{y_B} n\, y_B \frac{\sin \theta_2}{\cos^2 \theta_2} \\ & = & n (-\sin \theta_2 + \sin \theta_1 ) \end{matrix}$

On est parvenu à démontrer que $θ 1 = θ 2$ .

[modifier] Loi de la réfraction

$Refraction fr.png$

Tout ou partie de la lumière est susceptible d'être transmise et déviée lorsqu'elle rencontre une séparation entre deux milieux d'indices n₁ et n₂ différents. On dit alors que le rayon est réfracté.

Loi de la réfraction

Lorsqu'un rayon incident, d'angle d'incidence θ₁, est réfracté avec un angle θ₂, la relation suivante doit être vérifiée :

$n_1\, \sin \theta_1 = n_2\, \sin \theta_2$

La démonstration du paragraphe précédent est toujours valable à la seule différence qu'il y a deux indices différents. On obtient en fait :

$0=\frac{\partial L}{\partial x} =- n_1\, \sin \theta_1 + n_2\, \sin \theta_2$

D'où la réponse.

[modifier] Expression plus générale

Pour rassembler les trois lois de Snell-Descartes que l'on vient de voir, on peut utiliser les notations suivantes :

$\vec u_1$ est le vecteur directeur unitaire du rayon incident,
$\vec u_2$ est le vecteur directeur unitaire du rayon sortant,
$\vec N$ est le vecteur orthogonal à la surface au point d'incidence.

Les lois de Snell-Descartes se résument à :

$n_1\vec u_1 -n_2\vec u_2$ est colinéaire à $\vec N$ .

(Pour la loi de la réflexion il faut choisir $n 1 = n 2$ )

[modifier] Conséquence : théorème de Malus

Théorème de Malus

Les rayons lumineux sont perpendiculaires aux surfaces d'onde.

Pour démontrer ce théorème, il faut d'abord se rendre compte que dans un milieu homogène, il est forcément vrai. En effet, dans un tel milieu les rayons partant en ligne droite du centre O forment une onde sphérique. Les surfaces d'ondes sont alors perpendiculaires aux rayons.

Dans un milieu non-homogène, ce n'est pas aussi évident. Pour simplifier, on va montrer que le théorème est vrai pour une succession de dioptres (un milieu dont l'indice varie par paliers). Ensuite il suffira de supposer que ces dioptres sont infiniment proches pour obtenir un milieu dont l'indice varie continument. Mais d'abord considérons le cas où l'on place un seul dioptre sur le trajet d'un rayon. On note A le point d'incidence du rayon sur le dioptre, et B un point que ce rayon atteint après le dioptre avec un chemin optique L. On note également $\vec u_1$ le vecteur directeur de $\vec {OA}$ et $\vec u_2$ le vecteur directeur de $\vec {AB}$ . Le chemin optique s'écrit :

$L = n_1 OA + n_2 AB = n_1 \vec u_1 \cdot \vec{OA} + n_2 \vec u_2 \cdot \vec{AB}$

Prenons alors un autre rayon infiniment proche passant par O, A' et B' . On note $\vec u_1\,'$ et $\vec u_2\,'$ ses vecteurs directeurs. Pour trouver la différence de chemin optique entre ces deux rayons, on calcule la différentielle de L :

$\begin{matrix} dL & = & n_1 \vec u_1 \cdot d\vec{OA} + n_2 \vec u_2 \cdot d\vec{AB} \\ & = & n_1 \vec u_1 \cdot d\vec{OA} - n_2 \vec u_2 \cdot d\vec{OA} + n_2 \vec u_2 \cdot d\vec{OB}\\ & = & \underbrace{ (n_1 \vec u_1 - n_2 \vec u_2 ) \cdot d\vec{OA} }_{=0 \mbox{ lois de Snell Descartes} } + n_2 \vec u_2 \cdot d\vec{OB} \\ & = & n_2 \vec u_2 \cdot \vec{BB'}\end{matrix}$ .

Donc finalement, si B et B' font partie de la même surface d'onde (dL = 0 par définition), alors les vecteurs $\vec u_2$ et $\vec{BB'}$ sont perpendiculaires. Autrement dit, le rayon est perpendiculaire à la surface d'onde.

On a ainsi démontré le théorème de Malus pour un seul dioptre. Pour terminer la démonstration, une récurrence serait nécessaire, mais les étapes sont identiques à cette dernière.

Notions de base d'optique géométrique

Les principes

Observations expérimentales

Notions de base d'optique géométrique/Lois de Snell-Descartes

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Sommaire

[modifier] Loi de la réflexion

[modifier] Loi de la réfraction

[modifier] Expression plus générale

[modifier] Conséquence : théorème de Malus

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