Mécanique des milieux continus/Description de l’évolution du milieu continu

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**Description de l’évolution du milieu continu**
Leçon : Mécanique des milieux continus

Chapitre 1
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Chap. suiv. :	Grandeurs admettant une densité par rapport au volume

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Sommaire

1 Choix des coordonnées
2 Vitesse
3 Accélération
- 3.1 Définition
- 3.2 Calcul des composantes de l’accélération
4 Dérivée particulaire d’une fonction
- 4.1 Définition
- 4.2 Calcul de la dérivée particulaire d’une fonction
5 Dérivée particulaire d’un vecteur
6 Ligne de courant et trajectoires
- 6.1 Définition de la trajectoire d’une particule qui était en à l’instant t=0
- 6.2 Ligne de courant à l’instant t fixé passant par un point
7 Notation pour les dérivées

[modifier] Choix des coordonnées

$\epsilon\,$ : Espace affine (espace des points)
E : Espace vectoriel associé (espace des vecteurs)

On définit le domaine $D 0$ occupé par le milieu continu à l’instant 0 avec une répartition continu de matière à l’intérieur.

Bord de $D 0$ : surface $Σ 0$
Bort de $D t$ : surface $Σ t$

Dans l’espace des points $\epsilon\,$ , on peut choisir une origine O. Les points $M 0$ de $D 0$ sont déterminés par les composantes $X 1$ , $X 2$ et $X 3$ du vecteur $\textstyle{\vec X = \overrightarrow{OM_0}}$ dans la base $\vec{e_1}$ , $\vec{e_2}$ et $\vec{e_3}$ choisie orthonormée en générale.

A l’instant t, le point $M 0$ de $D 0$ est devenu un point M de $D t$ déterminé par les composantes $x 1$ , $x 2$ et $x 3$ du vecteur $\textstyle{\vec x = \overrightarrow{OM}}$ .

$\vec X = X_1 \vec{e_1} + X_2 \vec{e_2} + X_3 \vec{e_3} \qquad ; \qquad \vec x = x_1 \vec{e_1} + x_2 \vec{e_2} + x_3 \vec{e_3}$

Connaître le mouvement d’un milieu continu, c’est d’être capable d’exprimer la position du point M en fonction de sa position initiale $M 0$ et du temps t.

$x_1=\phi_1(X_1,X_2,X_3,t)\,$
$x_2=\phi_2(X_1,X_2,X_3,t)\, \qquad ou \qquad \vec x = \vec \phi(\vec X,t)$
$x_3=\phi_3(X_1,X_2,X_3,t)\,$

Connaître le mouvement, c’est connaître la fonction $\phi\,$ qui permet de faire la transformation entre les deux états étudiés ( $D 0$ et $D t$ ).

Hypothèses

Un point M est issu d’un seul point $M 0$ .

On appelle trajectoire la courbe suivie par le point $M 0$ au cours du temps.

On suppose que les trajectoires ne se mélangent pas.
On suppose que la fonction $\phi\,$ est continu et dérivable au moins 2 fois par rapport au temps. (-> permet d'introduire la vitesse et l'accélération en terme de fonction continu)
On suppose que la fonction $\phi\,$ est inversible par rapport à X. À tout instant t, $\vec x = \vec \phi(\vec X,t)$ peut s’inverser en $\vec X =\vec \psi(\vec x,t)$ .

Connaître le mouvement peut se regarder d’une deuxième façon : c’est d’être capable de dire où se trouvait à l’instant 0 la particule qui se trouve en x à l’instant t.
Les 4 variables ( $X 1$ , $X 2$ , $X 3$ , t) sont dites variables de Lagrange. C’est le choix de variable que l’on fait quand on exprime le mouvement de $\vec x =\vec \phi(\vec X,t)$ .
Les 4 variables ( $x 1$ , $x 2$ , $x 3$ , t) sont dites variables d'Euler. C’est le choix de variable que l’ont fait quand on veut exprimer le mouvement de $\vec X =\vec \psi(\vec x,t)$
.
Exemple : La vitesse d’un point M peut être exprimée en fonction de $M 0$ et de t (variables de Lagrange) ou en fonction de M et de t (variables d’Euler).

Un solide rigide est un milieu continu particulier. Il garde toujours la même forme. Son champ des vitesses s’exprime facilement en variables d’Euler.
Rappel : $\overrightarrow{V(M/T_0)} = \overrightarrow{V(G/T_0)} + \overrightarrow{\Omega(S/T_0)} \wedge \overrightarrow{GM}$ avec $T_0=(O;\vec e_1;\vec e_2;\vec e_3)$ (Pour un solide indéformable).
$\overrightarrow{V(G/T_0)}$ et $\overrightarrow{\Omega(S/T_0)}$ : ne dépendent que du temps.
$\overrightarrow{GM}$ : Position actuelle à l’instant t.

Notation :

$y 1 (t)$	$y 2 (t)$	$y 3 (t)$	coordonnée du centre d’inertie
$ω 1 (t)$	$ω 2 (t)$	$ω 3 (t)$	composantes du vecteur rotation instantané
$\frac{dy_1(t)}{dt}$	$\frac{dy_2(t)}{dt}$	$\frac{dy_3(t)}{dt}$	composantes de la vitesse de G

La vitesse du point M a pour composantes :

$\begin{matrix} V_1(x_1,x_2,x_3,t) = \frac{dy_1(t)}{dt} + \omega_2(t) \left[ x_3-y_3(t) \right] - \omega_3(t) \left[ x_2-y_2(t) \right]\\ V_2(x_1,x_2,x_3,t) = \frac{dy_2(t)}{dt} + \omega_3(t) \left[ x_1-y_1(t) \right] - \omega_1(t) \left[ x_3-y_3(t) \right]\\ V_3(x_1,x_2,x_3,t) = \frac{dy_3(t)}{dt} + \omega_1(t) \left[ x_2-y_2(t) \right] - \omega_2(t) \left[ x_1-y_1(t) \right] \end{matrix}$

Ou encore

$\vec V(\vec x,t) = \frac{d\vec y(t)}{dt} + \vec \omega \wedge \left[\vec x - \vec y(t) \right]$

Comme on prend toujours le même repère $T 0$ , on ne le précise pas mais on précise bien les 4 variables $x 1$ , $x 2$ , $x 3$ et t.

[modifier] Vitesse

[modifier] Définition

La vitesse d’un point, c’est la dérivée de sa position par rapport au temps.

[modifier] Expression de la vitesse en variable Lagrange

En dérivant la position $\vec x =\vec \phi(\vec X,t)$ par rapport au temps on obtient un vecteur $\frac{\partial \vec \phi(\vec X,t)}{\partial t}$ dépendant de $\vec X$ et de t.
Ce n’est pas très pratique d’exprimer la vitesse en fonction de la position initiale et du temps. En effet quand on souhaite connaître une vitesse, c’est celle d’un point qu’on observe $\vec x$ et non d’un point dont sa position initiale était $\vec X$ .

[modifier] Expression de la vitesse en variable d’Euler

Le vecteur $\frac{\partial \vec \phi(\vec X,t)}{\partial t}$ peut être ré exprimé en varaiable d’Euler puisque $\vec X =\vec \psi(\vec x,t)$ . En faisant le remplacement de $\vec X$ par $\vec \psi(\vec x,t)$ on obtient :

$\vec V(\vec X,t) = \frac{\partial \vec \phi(\vec X,t)}{\partial t} \qquad -> \qquad \vec V(\vec x,t)= \frac {\partial \vec \phi(\vec \psi(\vec x,t),t)}{\partial t}$

[modifier] Méthode pratique pour exprimer la vitesse en variable d’Euler

Dérivée partiellement par rapport au temps la position $\vec x =\vec \phi(\vec X,t)$ . On obtient un vecteur $\frac{\partial \vec \phi(\vec X,t)}{\partial t}$ .
Inverser $\vec x =\vec \phi(\vec X,t)$ en $\vec X =\vec \psi(\vec x,t)$ .
Remplacer $\vec X$ par $\vec \psi(\vec x,t)$ dans $\frac{\partial \vec \phi(\vec X,t)}{\partial t}$ .

Exemple - Dilatation d'une boule

Représentation d'une boule qui se dilate

Facteur de dilatation $λ(t)$ supposé dérivable et positif.
Le vecteur $\vec x$ est définit par $\vec x(\vec X,t)=\lambda (t) \vec X$ .
A l'instant t=0, $\vec x$ est en $\vec X$ (position initiale) ce qui implique que $λ(0) = 1$ .

$\frac{\partial \vec \phi(\vec X,t)}{\partial t} = \frac {d \lambda (t)}{dt} \vec X$
$\vec x(\vec X,t)= \vec \phi(\vec X,t) =\lambda (t) \vec X \quad \to \quad \vec X = \frac {1}{\lambda (t)} \vec x$
$\frac{\partial \vec \phi(\vec X,t)}{\partial t} = \frac {d \lambda (t)}{dt} \vec X = \frac {d \lambda (t)}{dt} \frac {1}{\lambda (t)} \vec x$

La vitesse est donc égale à : $\vec V(\vec x,t)= \frac {d \lambda (t)}{dt} \frac {1}{\lambda (t)} \vec x$ (vitesse colinéaire à $\vec x \to$ déformation radiale)

[modifier] Accélération

[modifier] Définition

L’accélération, c’est la dérivée seconde de la position par rapport au temps.

[modifier] Calcul des composantes de l’accélération

On recherche les composantes $γ 1$ , $γ 2$ et $γ 3$ du vecteur accélération $\vec \gamma$ en dérivant par rapport au temps les composantes de la vitesse.
Par exemple $\gamma^1(x^1,x^2,x^3,t) \,$ s’obtient en dérivant $V^1(x^1,x^2,x^3,t) \,$ par rapport au temps en n’oubliant pas que $x 1$ , $x 2$ et $x 3$ dépendent du temps ( $\vec x=\vec \phi(\vec X,t)$ ). On dit que x dépend implicitement du temps si on dérive $V 1$ par rapport au temps.

[modifier] Dérivée particulaire d’une fonction

[modifier] Définition

Soit $h(x^1,x^2,x^3,t) \,$ une fonction de la position actuelle $\vec x$ et du temps t, on appelle dérivée particulaire de la fonction h la fonction obtenue en dérivant par rapport au temps l'expression de la fonction h sans oublier que la position x dépend du temps ( $\vec x=\vec \phi(\vec X,t)$ ; on dit que $\vec x$ dépend du temps de façon implicite).

Remarque : La dérivée partielle $\frac{\partial h}{\partial t}$ ne tient compte que de la dépendance explicite par rapport au temps. Cela signifie qu’elle ne prendrait pas compte que $\vec x$ dépend implicitement du temps t.

Notation : La dérivée particulaire sera notée $\frac{dh}{dt}$ . C’est la dérivée partielle + la contribution de la dépendance implicite de $x 1$ , $x 2$ et $x 3$ par rapport au temps.

[modifier] Calcul de la dérivée particulaire d’une fonction

D’après le théorème de la dérivée d’une fonction composée, on peut écrire :

$\underbrace{\frac {dh}{dt}}_{\text{derivee particulaire}} = \underbrace{\frac{\partial h}{\partial t}}_{\text{derivee partielle}}+\underbrace{\frac{\partial h}{\partial x^1} \frac{\partial x^1}{\partial t} + \frac{\partial h}{\partial x^2} \frac{\partial x^2}{\partial t} + \frac{\partial h}{\partial x^3} \frac{\partial x^3}{\partial t}}_{\text{dependance implicite de}\ x\ \text{par rapport au temps}}$

[modifier] Dérivée particulaire d’un vecteur

[modifier] Définition

[modifier] Composantes de $\frac{d\vec w}{dt}$

La différenciation du vecteur $\vec w$ se fait, selon les coordonnées choisies :

$d\vec w = \frac{\partial \vec w}{\partial t} dt + \frac{\partial \vec w}{\partial x_1} dx_1 + \frac{\partial \vec w}{\partial x_2} dx_2 + \frac{\partial \vec w}{\partial x_3} dx_3$

En divisant par $d t$ , on trouve :

$\frac{d\vec w}{dt} = \frac{\partial \vec w}{\partial t} + \frac{dx_1}{dt}\frac{\partial \vec w}{\partial x_1} + \frac{dx_2}{dt} \frac{\partial \vec w}{\partial x_2}+ \frac{dx_3}{dt} \frac{\partial \vec w}{\partial x_3}$

Soit :

$\frac{d\vec w}{dt} = \frac{\partial \vec w}{\partial t} + (\vec v \cdot \overrightarrow{\textrm{grad}}) \vec w$

[modifier] Première expression de l’accélération

[modifier] Deuxième expression de l’accélération, une expression complètement vectorielle

[modifier] Ligne de courant et trajectoires

[modifier] Définition de la trajectoire d’une particule qui était en $\vec X$ à l’instant t=0

[modifier] Ligne de courant à l’instant t fixé passant par un point $\vec x_0$

[modifier] Notation pour les dérivées

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[modifier] Méthode pratique pour exprimer la vitesse en variable d’Euler

[modifier] Accélération

[modifier] Définition

[modifier] Calcul des composantes de l’accélération

[modifier] Dérivée particulaire d’une fonction

[modifier] Définition

[modifier] Calcul de la dérivée particulaire d’une fonction

[modifier] Dérivée particulaire d’un vecteur

[modifier] Définition

[modifier] Composantes de $\frac{d\vec w}{dt}$

[modifier] Première expression de l’accélération

[modifier] Deuxième expression de l’accélération, une expression complètement vectorielle

[modifier] Ligne de courant et trajectoires

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[modifier] Ligne de courant à l’instant t fixé passant par un point $\vec x_0$

[modifier] Notation pour les dérivées

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