Loi des grands nombres/Résultats préliminaires
Présentation[modifier | modifier le wikicode]
Dans cette page, nous allons présenter quelques résultats basiques de probabilités.
Inégalité de Markov[modifier | modifier le wikicode]
L'inégalité de Markov permet de donner une majoration des valeurs que peut prendre une variable aléatoire.
Inégalité de Markov
Soit X une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé et supposée presque sûrement positive ou nulle. Alors
Démonstration
On a l'inégalité
dès que . On en déduit que
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev[modifier | modifier le wikicode]
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet de donner une majoration des valeurs que peut prendre une variable aléatoire par rapport à son espérance.
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Soit X une variable aléatoire d'espérance et de variance finie (l'hypothèse de variance finie garantit l’existence de l'espérance). Alors :
Démonstration
En remarquant que
il suffit d'appliquer l'inégalité de Markov :