Limites d'une fonction/Limite finie en un point

Une page de Wikiversité.


Limite finie en un point
Nuvola apps edu mathematics-p.svg
Chapitre 1
Leçon : Limites d'une fonction
Retour au Sommaire
Chap. suiv. : Limite infinie en un point


Icon falscher Titel.svg

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Limites d'une fonction : Limite finie en un point
Limites d'une fonction/Limite finie en un point », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

[modifier] Limite finie en un réel : définition heuristique

Définition

Soit une fonction f\, définie sur un intervalle I\,, a \in I\, et L\in \R\,.

On dit que f\, a pour limite L\, en x=a\, si :

"f(x) peut être rendu aussi proche que l'on veut de L à condition de prendre x assez proche de a."

On note alors :

\lim_{x \to a} f(x) = L

Remarque :

  • On dit aussi : "f(x)\, tend vers L\, quand x\, tend vers a\,".

Exemple : Soit la fonction définie sur \R par f(x)=x^2\,.

Conjecturer la limite en x=3\, de f\,.

Solution

Quand x\, tend vers 3\,, alors x^2\, tend vers 9\,


Remarque : ceci n'est pas une démonstration !

 

Remarque : On pourrait croire que toute fonction f\, définie en x=a\, a pour limite f(a)\, en x=a\,.

Mais cela n'est pas toujours le cas. C'est le problème de la continuité.

[modifier] Continuité : définition heuristique et définition formelle

Continuidad de funciones 04.svg

Une fonction f est continue en un point a si on peut atteindre f(a) par la gauche et par la droite en suivant la courbe et « sans lever son crayon ». C'est le cas pour la fonction ci-contre.

Continuidad de funciones 05.svg

En revanche, dans ce cas, la courbe de f présente une « coupure » en x=a qui oblige à « lever le crayon » pour parcourir la courbe. On dit alors que la fonction f est discontinue au point a.


Définition
Continuidad de funciones 04.svg
  • Une fonction f\, est continue en x=a\, si

elle admet en x=a\, une limite égale à sa valeur f(a)\, :

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\,.
  • Si f\, est continue pour tout x=a\, de I\,,

on dit que f\, est continue sur l'intervalle I\,.

[modifier] Limite à gauche et à droite

Définition
Continuidad de funciones 08.svg

Quand on s'approche de a par la gauche (c'est-à-dire pour x se rapprochant de a tout en restant inférieur à a), la valeur de f(x) s'approche d'une valeur appelée la limite à gauche en x = a. Elle est notée :

\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)



Définition
Upper semi.png

Quand on s'approche de a par la droite (c'est-à-dire pour x se rapprochant de a tout en restant supérieur à a), la valeur de f(x) s'approche d'une valeur appelée la limite à droite en x = a. Elle est notée :

\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)



Graphe et discontinuité

Une fonction ne peut jamais donner deux valeurs différentes au même endroit. Cela implique que, au niveau d'un point de discontinuité, un seul point appartient effectivement à la courbe :

  • Si la fonction admet une limite à gauche en a, c'est le point « à gauche de la discontinuité » qui appartient bien à la courbe de la fonction. On le marque d'un cercle plein. À l'inverse, le point « à droite de la discontinuité » n'appartient pas à la courbe, et on le marque d'un cercle vide.
  • Si la fonction admet une limite à droite en a, c'est le point du bord « à droite de la discontinuité » qui appartient bien à la courbe de la fonction. On le marque d'un cercle plein. À l'inverse, le point du bord « à gauche de la discontinuité » n'appartient pas à la courbe, et on le marque d'un cercle vide.

Cette convention est illustrée sur les graphes des définitions des limites.

[modifier] Continuité en un point

On peut donner alors une définition plus précise de la continuité :


Définition
Continuidad de funciones 04.svg

Une fonction f est continue en x=a si : \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)=\lim_{x \to a^+} f(x)

[modifier] Exemple

Soit la fonction :

\begin{array}{ccccc} f&:&\R&\rightarrow&\R\\ ~&~&x&\mapsto&2x \end{array}
  • Pour a=4, f(a)=8.
  • Si x tend vers 4 par la gauche, f(x) va s'approcher de plus en plus de f(4)=8 : \lim_{x \to 4^-}f(x) = 8.
  • Si x tend vers 4 par la droite, f(x) va s'approcher de plus en plus de f(4)=8 : \lim_{x \to 4^+}f(x) = 8.
  • Donc f est continue en x=4.

[modifier] Conclusion

La plupart des fonctions usuelles sont continues en tout point de leur domaine de définition. Mais le langage des limites va permettre de parler de celles qui présentent des singularités en certains points, comme la fonction inverse f(x) = \frac{1}{x}, dont voici la courbe :

Función Continua 033.svg

On constate que la fonction inverse n'est pas continue en x=0, et que non seulement on est obligé de « lever le crayon » pour passer de la branche gauche de la courbe à la branche droite, mais en plus la courbe « part à l'infini ». Ceci nous amène à la notion de limite infinie en un point.


Crystal Clear action back.png Sommaire
Récupérée de « http://fr.wikiversity.org/wiki/Limites_d%27une_fonction/Limite_finie_en_un_point »