Limites d'une fonction/Limite finie en l'infini

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Introduction

Le but du langage des limites est de décrire le comportement des fonctions aux bornes de leur domaine de définition. Une telle borne peut être finie, ce qui donne lieu aux définitions des limites en un point, mais le domaine de définition peut aussi s'étendre jusqu'à l'infini.

Début de l'exemple

Exemple 1

Dans les cas de la fonction inverse, on constate que quand x devient très grand (on dit que x tend vers $+\infty$), son inverse ${\frac {1}{x}}$ s'approche de zéro. On dit que la fonction inverse tend vers zéro en $+\infty$.

On note $\lim _{x\to +\infty }f(x)=0$

De même, quand x devient très petit (on dit que x tend vers $-\infty$), son inverse ${\frac {1}{x}}$ s'approche aussi de zéro. On dit que la fonction inverse tend vers zéro en $-\infty$.

On note $\lim _{x\to -\infty }f(x)=0$

Fin de l'exemple

Définition heuristique

Définition

Une fonction f tend vers b quand x tend vers $+\infty$ si,

en prenant x suffisamment grand, on peut rendre f(x) aussi proche de b que l’on veut.

On note alors : $\lim _{x\to +\infty }f(x)=b$.

Début de l'exemple

Exemple 2

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=1=\lim _{x\to +\infty }f(x)$

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Exemple 3

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=-{\frac {\pi }{2}}$

$\lim _{x\to +\infty }f(x)={\frac {\pi }{2}}$

Fin de l'exemple