Introduction aux suites numériques/Exercices/La spirale infernale

On construit une spirale en mettant bout à bout des demi-cercles de plus en plus petits, chacun étant deux fois plus court que le précédent.

Le grand segment initial mesure 10 cm.

1. Quelle est la longueur de la spirale de la figure ?

2. Quelle serait sa longueur avec 2007 demi-cercles ?

3. Si on prolonge indéfiniment cette spirale, on constate qu'elle converge vers un point C ? Où ce point C se trouve-t-il sur le grand segment initial ?

Solution

1.

• Un arc de cercle de rayon $r$ a pour longueur $\pi r$.
• Si on note r₀ le rayon du premier demi-cercle (r₀ = 5 cm), r₁ le rayon du deuxième... on a :

$r_{n+1}={\frac {1}{2}}r_{n}$
On reconnaît une suite géométrique de raison ${\frac {1}{2}}$

• La longueur totale de la spirale est la somme des longueurs de tous les arcs :

$L=\pi r_{0}+\pi r_{1}+\ldots +\pi r_{n}=\pi \left(r_{0}+\ldots +r_{n}\right)$

• On reconnaît alors la somme des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique : $r_{0}+\ldots +r_{n}=r_{0}{\frac {1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{n+1}}{1-{\frac {1}{2}}}}$, on a ainsi :

$L=\pi r_{0}{\frac {1-{\frac {1}{2^{n+1}}}}{\frac {1}{2}}}=2\pi r_{0}\left(1-{\frac {1}{2^{n+1}}}\right)$

Sur la figure, n = 4, donc : $L_{4}=2\pi r_{0}\left(1-{\frac {1}{32}}\right)={\frac {155}{16}}\pi \approx 30,4342\,\mathrm {cm}$

2. Pour n = 2007, le calcul précédent donne :

$L_{2007}=2\pi r_{0}\left(1-{\frac {1}{2^{2008}}}\right)$

Ce qui est difficile à calculer, même pour un ordinateur...

On peut pousser le calcul plus loin : La spirale étant infinie, n tend vers l'infini, la solution est donc : $L=2\pi r_{0}$ C'est-à-dire la circonférence d'un cercle complet de rayon r₀.

3. On remarque, en prenant le centre du segment pour origine, que l'abscisse du centre :

• du premier demi-cercle est 0 ;
• du second est 0 - r₀/2 ;
• du troisième est 0 - r₀/2 + r₀/4 ;
• ...

On note x_n l'abscisse du n-ième centre, alors : $x_{n}=-{\frac {r_{0}}{2}}+{\frac {r_{0}}{4}}-{\frac {r_{0}}{8}}+\ldots =-r_{0}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-\ldots \right)$ La partie entre parenthèses est la somme d'une suite géométrique y_n de raison -1/2. On sait calculer cela, ce qui donne :

$x_{n}=-r_{0}{\frac {1}{2}}{\frac {1-\left(-{\frac {1}{2}}\right)^{n}}{1+{\frac {1}{2}}}}=-{\frac {r_{0}}{3}}\left(1-\left(-{\frac {1}{2}}\right)^{n}\right)$

Lorsque n tend vers l'infini, $\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}$ tend vers 0, l'abscisse du point C est donc finalement : $x=-{\frac {r_{0}}{3}}$