Initiation au calcul intégral/Exercices/Calcul d’intégrales de fonctions positives et aires associées

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**Calcul d’intégrales de fonctions positives et aires associées**
Leçon : Initiation au calcul intégral

Exercice 4
Chapitre du cours :	Initiation au calcul intégral
Cet exercice est de niveau 12.

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Initiation au calcul intégral/Exercices/Calcul d’intégrales de fonctions positives et aires associées », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

On demande de calculer les intégrales suivantes, de tracer rapidement par lecture sur la calculatrice la courbe de la fonction positive intégrée puis de hachurer l’aire correspondante à l’intégrale.

$I_1=\int_{-1}^1 (1-x^2)~\mathrm dx$

Solution

$\begin{align} I_1&=\int_{-1}^1 (1-x^2)~\mathrm dx\\ &=\left [ x-\frac{x^3}3\right ]_{x=-1}^{x=1}\\ &=\left ( 1-\frac13\right )-\left ( -1+\frac13\right )\\ &=2-\frac23 \end{align}$

Donc $I_1=\frac43$

$I_2=\int_1^2\frac1{x^2}~\mathrm dx$

Solution

$\begin{align} I_2&=\int_1^2\frac1{x^2}~\mathrm dx\\ &=\left [-\frac1{x}\right ]_{x=1}^{x=2}\\ &=-\frac12+1\\ \end{align}$

Donc $I_1=\frac12$

$I_3=\int_1^5x(2+x^2)^3~\mathrm dx$

Solution

$\begin{align} I_3&=\int_1^5x(2+x^2)^3~\mathrm dx\\ &=\int_1^5x(x^6+6x^4+12x^2+8)~\mathrm dx\\ &=\int_1^5x^7+6x^5+12x^3+8x~\mathrm dx\\ &=\left [\frac{x^8}8+6\frac{x^6}6+12\frac{x^4}4+8\frac{x^2}2\right ]_{x=1}^{x=5}\\ &=\left [\frac{x^8}8+x^6+3x^4+4x^2\right ]_{x=1}^{x=5}\\ &=\left ( \frac{5^8}8+5^6+3.5^4+4.5^2 \right )-\left ( \frac18+1+3+4\right )\\ \end{align}$

Donc

I 3 = 66420

$I_4=\int_0^{0,5}\frac1{2-3x}~\mathrm dx$

Solution

On reconnaît une fraction rationnelle constituée :

au numérateur d'un polynôme de degré 0
au dénominateur d'un polynôme de degré 1

Cette fraction peut se bricoler pour arriver à une expression de la forme $\frac{u'}u$ , qui s'intégrera avec la fonction ln. $\begin{align} I_4&=\int_0^{0,5}\frac1{2-3x}~\mathrm dx\\ &=\int_0^{0,5}\left (-\frac13 \right )\frac{-3}{2-3x}~\mathrm dx\\ &=\left (-\frac13 \right )\left [\ln(2-3x)\right ]_{x=0}^{x=0,5}\\ &=\left (-\frac13 \right ) (\ln(0,5)-\ln(2)) &=\left (-\frac13 \right ) (-\ln(2)-\ln(2)) \end{align}$

Donc $I_4=\frac{2\ln(2)}3$

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