Fonctions circulaires/Formules de duplication
Une page de Wikiversité.
 |
|||
| Chapitre 6 | |||
| Leçon : Fonctions circulaires | |||
|---|---|---|---|
| Chap. préc. : | Sommaire | ||
| Chap. suiv. : | Sommaire | ||
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Fonctions circulaires : Formules de duplication
Fonctions circulaires/Formules de duplication », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Dans cette leçon, nous nous intéressons aux formules qui relient
les sinus et cosinus d'un angle avec ceux de son double ou de sa moitié.
Certaines possèdent une interprétation géométrique intéressante.
Sommaire |
[modifier] Formules
[modifier] La formule de duplication du sinus
On démontre ici par un méthode élémentaire la formule de duplication du sinus.
[modifier] Le losange de côté 1
On se place dans un losange de côté 1.
On nomme 
un des angles, qui varie entre 0 et 
.
On a alors dans le triangle ACE rectangle en E :
donc l'aire du losange est :
Remarquons enfin que si on considère l'angle adjacent à \alpha, le résultat est encore valable puisque les deux angles on le même sinus.
Donc notre résultat est valble pour un angle \alpha variant entre 0 et π.
[modifier] Le triangle isocèle de côté 1
On se place dans un losange de côté 1.
On nomme un des angles, qui varie entre 0 et 
.
On a alors dans le triangle ADB rectangle en D :
donc l'aire du triangle ABC est est :
[modifier] La formule
En combinant les deux résultats précédents, on obtient :
