Début de la boite de navigation du chapitre
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Fonctions d'une variable complexe : Le logarithme complexe
Fonctions d'une variable complexe/Le logarithme complexe », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Avant de définir le logarithme complexe, rappelons la définition de l'exponentielle complexe par une série entière de rayon de convergence infini.
Définition de l'exponentielle complexe
L'exponentielle complexe est définie par :
![{\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} \quad \exp(z)=\operatorname {e} ^{z}=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {z^{m}}{m!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b3476e0006ad3d42cbb2e3087871524bbcbd7fb)
et holomorphe sur
.
|
Contrairement à l'exponentielle réelle l'exponentielle complexe n’est pas injective dans puisque .
|
Par conséquent on ne peut définir un logarithme dans
comme un logarithme dans
Grâce à l'exponentielle complexe nous pouvons étendre la définition des fonctions hyperboliques à
:
:
;
;
.
Pour des raisons purement géométriques, l'argument d'un nombre complexe n'est jamais défini que modulo
et on ne peut définir de façon naturelle de fonction argument à valeurs réelles.
Ici, on se fixera un choix de l'argument, de sorte que l’on ait les propriétés suivantes :
Définition de la fonction argument
on a :
![{\displaystyle \operatorname {Arg} (x+\mathrm {i} y)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\text{si }}x>0,\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\text{si }}x<0{\text{ et }}y>0,\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\text{si }}x<0{\text{ et }}y<0,\\+{\frac {\pi }{2}}&{\text{si }}x=0{\text{ et }}y>0,\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{si }}x=0{\text{ et }}y<0.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbada523326b6e644cb95ce9f46539bbe249487a)
On constate que cette fonction Arg(z) n’est pas prolongeable continument aux
, car si elle était définie sur
, on aurait un saut de
et elle serait alors discontinue sur son ouvert de définition.
On appelle cette fonction détermination principale de l'argument.
Définition du logarithme complexe
Alors,
est holomorphe sur
.
On note
, pour
, on a :
;
.
Ainsi
est holomorphe, puisque :
.
La dérivée de
se calcule en appliquant la règle de dérivation des fonctions composées :
,
ce qui donne :
.
Puissance généralisée (
![{\displaystyle z^{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5a0a433cdbf86eab4288d723fa9877945be0def)
)