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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Fonction dérivée : Dérivée d'une fonction composée
Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction composée », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
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Ce chapitre est d'un niveau strictement supérieur à celui de cette leçon.
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Début d’un théorème
Fin du théorème
Ce théorème sera démontré dans le chapitre « Dérivabilité » de la leçon sur les fonctions d'une variable réelle.
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Lorsqu'on utilise ce genre de théorème, il faut être particulièrement vigilant aux domaines de définition et de dérivabilité. Nous allons le voir sur quelques exemples.
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Début de l'exemple
Fin de l'exemple
Début d’un principe
Fin du principe
Le schéma est
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccl}\color {magenta}\mathbb {R} &\to &\color {green}\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\x&{\underset {\color {blue}f}{\mapsto }}&\color {blue}3x^{2}+2&{\underset {\color {red}g}{\mapsto }}&\color {red}\sin(\color {blue}3x^{2}+2\color {red})\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d64a5532fa2e3d5a76d9ae8833763067327628ee)
et se ramène à
![{\displaystyle {\begin{array}{ccl}\color {magenta}\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\x&{\underset {g\circ f}{\mapsto }}&\color {red}\sin(\color {blue}3x^{2}+2\color {red}).\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dafd4b05f79215d0ba1b1c3c6ce56c8eb34d624)
Les deux fonctions mises en jeu sont alors :
;
.
On a bien
.
est définie et dérivable sur
et, pour tout
,
.
est définie et dérivable sur
et
et, pour tout
,
.
- On applique la formule du théorème :
- Pour tout
:
Finalement, pour tout , .
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Début de l'exemple
Fin de l'exemple
Domaine de définition
Une racine carrée est définie si et seulement si son contenu est positif.
Une étude de la fonction du second degré
donne le tableau de signes suivant :
![{\displaystyle {\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&1&&2&&+\infty \\\hline {\text{Signe de }}x^{2}-3x+2&&+&0&-&0&+&\\\hline \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dce7a1ca4f07c5e1995a52b2119f02b7f88ed8a7)
Pour des rappels sur la résolution des inéquations du second degré, se reporter au cours sur les fonctions et équations du second degré.
Donc est définie sur .
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Étude de la dérivabilité
Le schéma est
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccl}{\mathcal {D}}&\to &\color {magenta}\mathbb {R} _{+}&\to &\mathbb {R} \\x&{\underset {\color {blue}f}{\mapsto }}&\color {blue}x^{2}-3x+2&{\underset {\color {red}g}{\mapsto }}&\color {red}{\sqrt {\color {blue}x^{2}-3x+2}}\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/379cff213ea6f0067c6dc734cd108ec519ef721c)
et se ramène à
![{\displaystyle {\begin{array}{ccl}{\mathcal {D}}&\to &\mathbb {R} \\x&{\underset {g\circ f}{\mapsto }}&\color {red}{\sqrt {\color {blue}x^{2}-3x+2}}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c583dda6d0fbcd292d7ca57e906576aed89775a)
Les deux fonctions mises en jeu sont alors :
et
.
On a bien
est définie et dérivable sur
et, pour tout
,
.
est définie sur
, mais n'est dérivable que sur
.
- Pour avoir la dérivabilité de
, il faut donc retirer tous les points pour lesquels
, c'est-à-dire 1 et 2.
Finalement, est dérivable sur
|
- On applique la formule du théorème :
- Pour tout
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=\color {red}g'\color {black}\circ \color {blue}f(x)\color {black}\times f'(x)\\&=\color {red}{\frac {1}{2{\sqrt {\color {blue}x^{2}-3x+2}}}}\color {black}\times (2x-3).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97816a453f429085150aae22deb1876742cdcf10)
Finalement, pour tout , .
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Dériver les fonctions suivantes en utilisant la formule de composition en précisant le domaine sur lequel cette dérivation est valable :
;
.
Solution
Étude de
Une racine carrée est définie dans
si et seulement si son contenu est positif.
Une étude de la fonction du second degré
montre que, pour tout
,
.
Donc est définie sur
|
Le schéma est
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccl}\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} _{+}^{*}&\to &\mathbb {R} \\x&{\underset {\color {blue}f}{\mapsto }}&\color {blue}x^{2}+x+1&{\underset {\color {red}g}{\mapsto }}&\color {red}{\sqrt {\color {blue}x^{2}+x+1}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2aff4da64dc47153f4dd3bf2d7acb97cf60bc66)
et se ramène à
![{\displaystyle {\begin{array}{ccl}{\mathcal {D}}&\to &\mathbb {R} \\x&{\underset {g\circ f}{\mapsto }}&\color {red}{\sqrt {\color {blue}x^{2}+x+1}}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a654f9bf58af4acb720e2d6f28d336112ec2f8e)
Les deux fonctions mises en jeu sont alors :
;
.
On a bien
.
est définie et dérivable sur
et, pour tout
,
.
est définie sur
, mais n'est dérivable que sur
.
- Pour avoir la dérivabilité de
, il faut vérifier que
ne s'annule pas sur
, ce qui est vrai.
Finalement, est dérivable sur .
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- On applique la formule du théorème :
- Pour tout
:
Finalement, pour tout ,
|
Étude de
Soit
.
![{\displaystyle {\begin{aligned}(5x-4)^{2}=0&\Leftrightarrow 5x-4=0\\&\Leftrightarrow x={\frac {4}{5}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc7857797b858d719c85abcb794470ae07eedc0f)
Donc est définie sur .
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Le schéma est
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccl}{\mathcal {D}}&\to &\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\x&{\underset {\color {blue}f}{\mapsto }}&\color {blue}(5x-4)^{2}&{\underset {\color {red}g}{\mapsto }}&\displaystyle {\color {red}{\frac {1}{\color {blue}(5x-4)^{2}}}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/579f8aae5f0510d6c447594725ba9b4f5810df9c)
et se ramène à
![{\displaystyle {\begin{array}{ccl}{\mathcal {D}}&\to &\mathbb {R} \\x&{\underset {g\circ f}{\mapsto }}&\displaystyle {\color {red}{\frac {1}{\color {blue}(5x-4)^{2}}}}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e63209ad7a205d4cd412a8a2d063f45bd339e454)
Les deux fonctions mises en jeu sont alors :
;
.
On a bien
.
est définie et dérivable sur
et, pour tout
,
.
est définie et dérivable sur ![{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0533765ec036adbcb5cc15bb277b299906c49ff)
- Pour avoir la définition et la dérivabilité de
, il faut donc retirer tous les points pour lesquels
, c'est-à-dire
.
Finalement, est dérivable sur .
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- On applique la formule du théorème :
- Pour tout
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}h_{2}'(x)&=\color {red}g'\color {black}\circ \color {blue}f(x)\color {black}\times f'(x)\\&=\color {red}-{\frac {1}{(\color {blue}(5x-4)^{2}\color {red})^{2}}}\color {black}\times 10(5x-4).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cfba999b16fc193e0fba2aa691f5fb8aba9c5bd)
Finalement, pour tout ,
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Soit
une fonction définie sur un domaine
à valeurs dans
On obtient les formules de dérivation de composées suivantes :
![{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}{\textrm {Fonction}}&\mathrm {D{\acute {e}}riv{\acute {e}}e} \\\hline u^{n}&nu^{n-1}u'\\\sin u&(\cos u)u'\\\cos u&-(\sin u)u'\\\operatorname {e} ^{u}&\operatorname {e} ^{u}u'\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fab5ec448072b335e8ab908a1dcca8af431ac75)
Si de plus, pour tout
,
![{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}{\textrm {Fonction}}&\mathrm {D{\acute {e}}riv{\acute {e}}e} \\\hline {\sqrt {u}}&{\frac {u'}{2{\sqrt {u}}}}\\\ln u&\displaystyle {\frac {u'}{u}}\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e14cef1979af1dc769870d7d451fade19831ba09)
Démonstration de ![{\displaystyle \left(u^{n}\right)'=nu^{n-1}u'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a85820c67eae48a674760f75692c726a50baf8fc)
Soit
, avec
.
avec
.
Or
![{\displaystyle v'(y)=ny^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fc4e0096e121154a4a20f70cfd9d8742befb797)
et avec la formule de dérivation d'une fonction composée :
![{\displaystyle (v\circ u)'=(v'\circ u)\times u'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9a47cb7f7edb86e1771313dd0c2a4f032296446)
donc
.