Espace préhilbertien réel/Exercices/Exercices divers

Exercice 5-1

$E={\mathcal {C}}^{2}([0,1],\mathbb {R} )$.

On pose $\forall (f,g)\in E^{2}\quad (f|g)=\int _{0}^{1}\left(fg+f'g'\right)$.

1. Vérifier que $(\cdot |\cdot )$ est un produit scalaire sur E.
2. On pose $V=\{f\in E\mid f(0)=f(1)=0\}$ et $W=\{f\in E\mid f''=f\}$.
   1. Vérifier que V et W sont orthogonaux.
   2. Exprimer la projection orthogonale de E sur V.
3. On pose $F=\{f\in E\mid f(0)=\alpha ,~f(1)=\beta \}$. Calculer $\inf _{f\in F}\int _{0}^{1}\left(f^{2}+f'^{2}\right)$.

Solution

1. On reconnait $(\cdot |\cdot )$ comme étant la restriction du produit scalaire canonique sur ${\mathcal {C}}^{1}([0,1],\mathbb {R} )$ :
   • la bilinéarité vient de la linéarité de la dérivation et de l'intégrale ;
   • la symétrie est évidente ;
   • cette forme est définie positive car pour toute fonction $f\in {\mathcal {C}}^{1}([0,1],\mathbb {R} )$ non nulle, $\int _{0}^{1}\left(f^{2}+f'^{2}\right)>0$.

   $(\cdot |\cdot )$ est donc bien un produit scalaire sur ${\mathcal {C}}^{1}([0,1],\mathbb {R} )$ et, par restriction, sur E. On pourrait d'ailleurs remplacer partout dans l'énoncé ${\mathcal {C}}^{2}([0,1],\mathbb {R} )$ par ${\mathcal {C}}^{1}([0,1],\mathbb {R} )$ (la définition de $W$ garde un sens et ses éléments sont automatiquement de classe $C^{\infty }$) sans changer un iota de ce qui suit.

2. 1. Soient $v\in V$ et $w\in W$. Une intégration par parties donne :

      $(v|w)=\left[vw'\right]_{0}^{1}+\int _{0}^{1}\left(vw-vw''\right)=0+\int _{0}^{1}v\left(w-w''\right)=0$.

   2. Soit $f\in E$. Notons $\alpha =f(0),\beta =f(1)$, et cherchons $\lambda ,\mu \in \mathbb {R}$ tels que la fonction $g:x\mapsto \lambda \operatorname {e} ^{x}+\mu \operatorname {e} ^{-x}$ (qui appartient à $W$ donc à $V^{\perp }$) vérifie : $f-g\in V$. Ainsi, $f-g$ sera le projeté orthogonal de $f$ sur $V$ (et cela prouvera de plus que $V$ et $W$ sont non seulement orthogonaux, mais supplémentaires). La condition sur $\lambda ,\mu$ est :

      $\lambda +\mu =\alpha$ et $\lambda \mathrm {e} +\mu \operatorname {e} ^{-1}=\beta$

      donc la solution est :

      $\lambda ={\frac {\mathrm {e} \beta -\alpha }{\operatorname {e} ^{2}-1}},\quad \mu =\mathrm {e} \,{\frac {\mathrm {e} \alpha -\beta }{\operatorname {e} ^{2}-1}}$.

3. Soit $f\in F$. Alors, $F=f+V$ donc

   $\inf _{h\in F}\|h\|^{2}=d(0,F)^{2}=d(0,f+V)^{2}=d(-V,f)^{2}$ est égal, avec les notations de la réponse 2.2, à

   $\|g\|^{2}=\left[gg'\right]_{0}^{1}+\int _{0}^{1}g\left(g-g''\right)=\left[gg'\right]_{0}^{1}+0=\left(\lambda ^{2}\operatorname {e} ^{2}-\mu ^{2}\operatorname {e} ^{-2}\right)-\left(\lambda ^{2}-\mu ^{2}\right)={\frac {(\mathrm {e} \beta -\alpha )^{2}+(\mathrm {e} \alpha -\beta )^{2}}{\operatorname {e} ^{2}-1}}$.

 

Exercice 5-2

Soient $a$ et $b$ deux vecteurs d'un espace préhilbertien $E$. On pose $\varphi (x)={\frac {\langle x\mid a\rangle \langle x\mid b\rangle }{\|x\|^{2}}}$.

Déterminer les bornes inférieure et supérieure de $\varphi$ sur $E\setminus \{0\}$.

Solution

Fixons une base orthonormée d'un plan contenant $a$ et $b$. La matrice dans cette base de la forme quadratique $x\mapsto \langle x\mid a\rangle \langle x\mid b\rangle$ (restreinte au plan) est diagonalisable dans une base orthonormée et ses deux valeurs propres sont ${\frac {\langle a\mid b\rangle \pm \|a\|\|b\|}{2}}$ (avec comme vecteurs propres ${\frac {a}{\|a\|}}\pm {\frac {b}{\|b\|}}$). Ce sont donc les valeurs minimum et maximum (atteintes) de la forme quadratique sur le cercle unité du plan, ou encore, de $\varphi$ sur $E\setminus \{0\}$.

Remarque : c'est un cas particulier d'orthogonalisation simultanée, cf. Espace euclidien/Exercices/Adjoints et réduction spectrale#Exercice 6-9.

 

Soient $E$ un espace préhilbertien de dimension $>1$, $a$ un vecteur unitaire de $E$, $k\in \mathbb {R}$ et $q:E\to \mathbb {R}$ définie par $q(x)=2\langle x\mid a\rangle ^{2}+k\|x\|^{2}$.

Démontrer que $q$ est une forme quadratique sur $E$. Pour quels $k$ est-elle définie positive ?

Solution

$q$ est la forme quadratique associée à la forme bilinéaire symétrique $\varphi (x,y)=2\langle x\mid a\rangle \langle y\mid a\rangle +k\langle x\mid y\rangle$.

Pour tout $x\neq 0$, $q(x)/\|x\|^{2}=k+2\langle x\mid a\rangle ^{2}/\|x\|^{2}\in [k,k+2]$ par Cauchy-Schwarz, et ces bornes sont atteintes (respectivement pour $x$ orthogonal à $a$ et pour $x$ colinéaire à $a$). Donc $q$ est définie positive si et seulement si $k>0$.

 

Exercice 5-3

Soit $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ continue strictement positive.

1. Démontrer l'existence d'une famille $(P_{n})$ de polynômes telle que $\forall n\in \mathbb {N} \quad \deg(P_{n})=n$ et $\forall n,m\in \mathbb {N} \quad \int _{a}^{b}P_{n}P_{m}f=\delta _{n,m}$.
2. Démontrer qu'alors, chaque polynôme $P_{n}$ admet $n$ racines simples dans $\left]a,b\right[$.

Solution

1. L'application $\left(P,Q\right)\mapsto \langle P,Q\rangle :=\int _{a}^{b}PQf$ est un produit scalaire sur $\mathbb {R} [X]$. En appliquant à la base canonique $\left(X^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ l'algorithme de Gram-Schmidt, on obtient une base $(P_{n})$ de $\mathbb {R} [X]$ orthonormée pour ce produit scalaire.
2. Soit m ≤ n le nombre des points de $\left]a,b\right[$ où P_n change de signe ; notons $x_{1},\dots ,x_{m}$ ces points (ce sont les racines de P_n d'ordre impair appartenant à $\left]a,b\right[$). On va montrer que m = n. Soit $S(X)=\prod _{j=1}^{m}\left(X-x_{j}\right)$ ; ce polynôme de degré m change de signe en chaque point x_j ; le polynôme SP_n est donc strictement positif, ou strictement négatif, partout sur $\left]a,b\right[$ sauf aux points x_j, et il en est donc de même du produit $SP_{n}f$. Ainsi, le réel $\langle S,P_{n}\rangle$ — l'intégrale de ce produit — est non nul. Mais par construction, P_n est orthogonal à tous les polynômes de degré inférieur, donc le degré de S doit être n.

 

Exercice 5-4

Soient $E$ l'espace vectoriel des fonctions de [0, 1] dans $\mathbb {R}$ de classe C¹ et $N$ l'application définie sur $E$ par :

$\forall f\in E\quad N(f)=\left(f^{2}(0)+\int _{0}^{1}(f'(t))^{2}\,\mathrm {d} t\right)^{1/2}$.

Montrer que $N$ est une norme euclidienne sur $E$ et déterminer le produit scalaire auquel elle est associée.

Solution

On a évidemment $N(f)>0$ pour toute fonction $f\in E$ non nulle, et $N(f)^{2}=B(f,f)$, où $B$ est le produit scalaire défini par

$\forall (f,g)\in E^{2}~~B(f,g)=f(0)g(0)+\int _{0}^{1}f'(t)g'(t)\,\mathrm {d} t$.

 

Exercice 5-5

Soit $(E,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ un espace vectoriel euclidien. Les similitudes de $E$ sont les automorphismes de $E$ qui conservent l'orthogonalité :

${\rm {Sim}}(E)=\{u\in \mathrm {GL} (E)\mid \forall x,y\in E,x\perp y\Rightarrow u(x)\perp u(y)\}$.

Elles forment un sous-groupe de $\mathrm {GL} (E)$. On considère par ailleurs le normalisateur de $\mathrm {O} (E)$ :

${\cal {G}}=\{u\in \mathrm {GL} (E)\mid \forall v\in \mathrm {O} (E)\quad uvu^{-1}\in \mathrm {O} (E)\}$.

1. Montrer que ${\rm {Sim}}(E)$ est inclus dans ${\cal {G}}$ (on pourra utiliser, sans le redémontrer, le fait que, pour toute similitude $u$, il existe un unique couple $(\lambda ,u_{0})\in \mathbb {R} ^{\times +}\times \mathrm {O} (E)$ tel que $u=\lambda {\rm {Id}}_{E}\circ u_{0}$).
2. On souhaite montrer l'inclusion réciproque. Soit $u\in {\cal {G}}$ et $x,y$ deux vecteurs orthogonaux de $E$.
   1. Montrer qu'il existe une symétrie orthogonale $s$ telle que $s(x)=x$ et $s(y)=-y$. Soient $F$ et $G$ les sous-espaces propres de $s$ associés à $1$ et $-1$ respectivement (donc $x\in F$ et $y\in G$).
   2. (Re)démontrer que $F\oplus G=E$ et que $F\perp G$.
   3. Montrer que $s'=usu^{-1}$ est d'une part une transformation orthogonale, d'autre part une symétrie. On notera $F'$ et $G'$ les sous-espaces propres de $s'$ associés à $1$ et $-1$ respectivement. En déduire que $F'$ et $G'$ sont en somme directe et sont orthogonaux.
   4. Montrer que $u(F)\subset F'$ et $u(G)\subset G'$.
   5. Conclure.
3. D'après la question 2.4, $u$ définit par restriction une application linéaire de $F$ dans $F'$ d'une part, une application linéaire de $G$ dans $G'$ d'autre part. Montrer que ce sont des isomorphismes.

Solution

1. Soit $u=\lambda u_{0}$ avec $\lambda >0$ et $u_{0}\in \mathrm {O} (E)$. Pour tout $v\in \mathrm {O} (E)$ on a $uvu^{-1}=u_{0}vu_{0}^{-1}\in \mathrm {O} (E)$.
2. 1. Puisque $x\perp y$, il existe $F,G$ supplémentaires orthogonaux tels que $x\in F$ et $y\in G$ (par exemple $F=$ le s.e.v. engendré par $x$ et $G=F^{\perp }$). La symétrie orthogonale par rapport à un tel $F$ répond à la question.
   2. D'une part $s$ est une symétrie, donc $s^{2}=\mathrm {id}$, donc le polynôme $X^{2}-1$ annule $s$, donc $s$ est diagonalisable et ses valeurs propres appartiennent à $\{-1,1\}$, donc $F\oplus G=E$. D'autre part $s\in \mathrm {O} (E)$ donc $\forall f\in F\quad \forall g\in G\quad \langle f,g\rangle =\langle s(f),s(g)\rangle =\langle f,-g\rangle =-\langle f,g\rangle$ donc $\langle f,g\rangle =0$, donc $F\perp G$.
   3. D'une part $u\in {\cal {G}}$ et $s\in \mathrm {O} (E)$ donc (par définition de ${\cal {G}}$) $usu^{-1}\in \mathrm {O} (E)$. D'autre part $(usu^{-1})^{2}=us^{2}u^{-1}=uu^{-1}=\mathrm {id}$ donc $usu^{-1}$ est une symétrie. Donc $s'$ est une symétrie orthogonale donc (cf. sous-question précédente) $F'$ et $G'$ sont supplémentaires orthogonaux.
   4. $\forall z\in E\quad s'(u(z))=u(s(z))$. En particulier $\forall f\in F\quad s'(u(f))=u(f)$ donc $u(F)\subset F'$ et $\forall g\in G\quad s'(u(g))=u(-g)=-u(g)$ donc $u(G)\subset G'$.
   5. D'après la sous-question 4 précédente, $u(x)\in F'$ et $u(y)\in G'$ donc d'après la sous-question 3, $u(x)\perp u(y)$. On a donc prouvé (pour tout $u\in {\cal {G}}$) que si $x\perp y$ alors $u(x)\perp u(y)$, c'est-à-dire que $u\in {\rm {Sim}}(E)$. Donc ${\cal {G}}\subset {\rm {Sim}}(E)$.
3. Puisque $s'=usu^{-1}$, on a $s=u^{-1}s'u$ donc (en remplaçant $u$ par $u^{-1}$ et échangeant les rôles de $s$ et $s'$ dans 2.4) $u^{-1}(F')\subset F$. La restriction de $u$, de $F$ dans $F'$, est donc un isomorphisme (dont l'isomorphisme réciproque est la restriction de $u^{-1}$, de $F'$ dans $F$). Idem en remplaçant $F,F'$ par $G,G'$.