Ensemble des nombres réels et sous-ensembles/Ordre des nombres réels

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**Ordre des nombres réels**
Leçon : Ensemble des nombres réels et sous-ensembles

Chapitre 4
Chap. préc. :	Valeur exacte et valeurs approchées

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Ensemble des nombres réels et sous-ensembles/Ordre des nombres réels », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Opération sur une inégalité

Propriété

On peut ajouter aux deux membres d'une inégalité le même nombre réel

pour obtenir une inégalité équivalente de même sens.

Pour $a,b\in \R$ ,

Si $c\in \R,$ alors $a< b \Leftrightarrow a+ c< b+ c$

Remarque :

Cette propriété vaut aussi pour une soustraction.
Cette propriété vaut aussi pour une inégalité large $\leq\,$ .

Propriété

On peut multiplier les deux membres d'une inégalité par le même nombre réel strictement positif

pour obtenir une inégalité équivalente de même sens.

Pour $a,b\in \R$ ,

Si c est strictement positif alors $a< b \Leftrightarrow a\times c< b\times c$

Remarque :

Cette propriété vaut aussi pour une division.
Cette propriété vaut aussi pour une inégalité large $\leq\,$ .

Propriété

On peut multiplier les deux membres d'une inégalité par le même nombre réel strictement négatif

pour obtenir une inégalité équivalente de sens contraire.

Pour $a,b\in \R$ ,

Si c est strictement négatif alors $a< b \Leftrightarrow a\times c> b\times c$

Remarque :

Cette propriété vaut aussi pour une division.
Cette propriété vaut aussi pour une inégalité large $\leq\,$ .

Exemple

Résolution d'une inéquation du premier degré

Considérons l'inéquation $-3x+5\leq 4 (I)\,$

D'après la première propriété,

$(I)\Leftrightarrow$ $-3x+5-5\leq 4-5$

$(I)\Leftrightarrow$ $-3x\leq -1$

D'après la troisième propriété :

$(I)\Leftrightarrow$ $x\geq \frac{-1}{-3}$

$(I)\Leftrightarrow$ $x\geq \frac{1}{3}$

donc $S=[\frac{1}{3};+\infty[\,$

[modifier] Opérations sur deux inégalités

Propriété

On peut ajouter deux inégalités de même sens

pour obtenir une inégalité de même sens.

Pour $a, b, c, d\in \R\,$

$a<b\,$ et $c<d\,$ $\Rightarrow a+ c< b+d\,$

Exemple

Si a et b appartiennent à $]\frac{3}{2};+\infty[$ , montrons qu'alors $a+b-3>0\,$ .

On a :

$a> \frac{3}{2}$ et $b > \frac{3}{2}$

donc d'après la quatrième propriété :

$a+b> 3\,$

et d'après la première propriété

$a+b-3> 0\,$

Exemple

Si $a\in [-2;+\infty[\,$ et $b\in [3;+\infty[\,$ , montrer qu'alors $2a+5b\geq 11\,$ .

Remarque :

Cette propriété vaut aussi pour une inégalité large $\leq\,$ .
Cette propriété ne vaut pas pour une soustraction.

Exemple

Si a et b appartiennent à $]\frac{3}{2};+\infty[\,$ , peut-on affirmer qu'alors $a-b-3>0\,$ $?\,$

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