Dualité/Propriétés

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**Propriétés**
Leçon : Dualité

Chapitre 2
Chap. préc. :	Définitions

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Dualité : Propriétés
Dualité/Propriétés », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Montrons quelques propriétés des espaces duals.

Propriété 1

E* est un espace vectoriel sur $\scriptstyle \mathbb K$ , de même dimension que E.

Dans la suite, E désigne un espace vectoriel de dimension quelconque.

Théorème

Soient $\varphi_1, \ldots, \varphi_k$ des formes linéaires sur E, soient $x_1, \ldots, x_k$ des vecteurs de E. On note $δ i, j$ le delta de Kronecker. On suppose que :

$\forall i,j \in \left[ \! \left[ 1, k \right] \! \right], \quad \varphi_i \left( x_j \right) = \delta_{i,j}$

Alors :

la famille $\left( \varphi_1, \ldots, \varphi_k \right)$ est libre dans E* ;
la famille $\left( x_1, \ldots, x_k \right)$ est libre dans E.

Montrons tout d'abord la liberté de la famille des formes linéaires :

Démonstration

Soient $\lambda_1, \ldots, \lambda_k$ des scalaires tels que $\sum_{i=1}^{k} \lambda_i \varphi_i = 0_{E^{*}}$ .

Pour tout j entre 1 et k, on applique la forme nulle au vecteur $x j$ :

$0_{\mathbb K} = 0_{E^{*}} \left( x_j \right) = \sum_{i=1}^{k} \lambda_i \varphi_i \left( x_j \right) = \lambda_j$

Ainsi, tous les $λ i$ sont nuls, donc la famille des formes linéaires est libre.

Montrons également la liberté de la famille des vecteurs :

Démonstration

Soient $\lambda_1, \ldots, \lambda_k$ des scalaires tels que $\sum_{i=1}^{k} \lambda_i x_i = 0_{E}$ .

Pour tout j entre 1 et k, on applique la forme $\varphi_j$ au vecteur nul :

$0_{\mathbb K} = \varphi_j \left( 0_E \right) = \varphi_j \left( \sum_{i=1}^{k} \lambda_i x_i \right) = \sum_{i=1}^{k} \lambda_i \varphi_j \left( x_i \right) = \lambda_j$

Ainsi, tous les $λ i$ sont nuls, donc la famille des vecteurs est libre.

Remarquons la symétrie des démonstrations.

Théorème et Définition : Base duale

Soit $(e_1,\ldots,e_n)\,$ une base de $E\,$ . Il existe une unique base de $E^*\,$ notée $(e^*_1,\ldots,e^*_n)\,$ vérifiant :

$\forall i,j \in \left[ \! \left[ 1, k \right] \! \right], \quad e^*_i \left(e_j \right) = \delta_{i,j}$ .

Cette base est la base duale de $(e_1,\ldots,e_n)\,$ .

Démonstration

Cette démonstration n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

Concrètement, les formes linéaires $e_i^*\,$ sont les applications coordonnées relativement à la base $(e_1,\ldots,e_n)\,$ : $e_i^*\,$ associe à un vecteur $x\,$ de $E\,$ sa i-ème coordonnée dans la base $(e_1,\ldots,e_n)\,$ .

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